Laplace-Experiment – Mathe

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Erfahre, wie die Laplace-Formel angewendet wird und welche Bedingungen erfüllt sein müssen. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Laplace-Experiment

Das Quiz zum Thema: Laplace-Experiment

Was ist ein Laplace-Experiment?

Frage 1 von 5

Wie lautet die Laplace-Regel?

Frage 2 von 5

Wie erkenne ich ein Laplace-Experiment?

Frage 3 von 5

Was sind die Eigenschaften eines Laplace-Experiments?

Frage 4 von 5

Was ist die Laplace-Regel?

Frage 5 von 5

Das Laplace-Experiment im Überblick

  • Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
  • Die Laplace-Regel lautet: P(E) = \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ereigisse}}{\text{Anzahl möglicher Ereignisse}} = \dfrac{\vert E \vert}{\vert \Omega \vert}
  • Bei einem Laplace-Würfel hat beispielsweise jede der \vert \Omega \vert = 6 Zahlen die Wahrscheinlichkeit P = \frac{1}{6}.

Laplace Experiment: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Laplace-Experiment – Erklärung

Bei dem Laplace-Experiment handelt es sich um einen Zufallsversuch mit besonderen Merkmalen

Zufallsversuch – Definition
Als Zufallsversuch (Zufallsexperiment) wird in Mathe ein Vorgang bezeichnet, der ohne Veränderung wiederholt werden kann. Der Ausgang des Experiments ist dabei unter den bekannten Möglichkeiten nicht vorhersehbar.
Ein Beispiel für ein Zufallsexperiment  ist das Würfeln mit einem immer gleichen Würfel. Hier wissen wir, dass das Ergebnis eine der Zahlen des Würfels ist. Welches Ergebnis die einzelnen Würfe liefern, ist vorab jedoch nicht bekannt.

Ergebnis – Definition
Als Ergebnis (auch Elementarereignis) wird ein möglicher Ausgang eines Zufallsversuchs bezeichnet. Alle möglichen Ergebnisse sind in der Ergebnismenge \Omega zusammengefasst.
Ereignis – Definition
Ein Ereignis E umfasst eine beliebige Anzahl von Ergebnissen eines Zufallsexperiments, diese werden dann auch als für das Ereignis günstig bezeichnet. Dabei unterscheiden wir:

  • Unmögliches Ereignis: \vert E \vert = 0 ~ – es gibt keine günstigen Ergebnisse.
  • Elementarereignis: \vert E \vert = 1 ~ – es gibt genau ein günstiges Ergebnis.
  • Mögliches Ereignis: \vert E \vert \geq 1 ~ – es gibt mindestens ein günstiges Ergebnis.
  • Sicheres Ereignis: \vert E \vert = \vert \Omega \vert ~ – alle Ergebnisse der Ergebnismenge \Omega sind günstig.

Laplace-Experiment – Definition

Ein Zufallsversuch, bei dem alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, wird als Laplace-Experiment (Laplace-Versuch) bezeichnet.
Das bedeutet, dass ein Laplace-Experiment, neben den Voraussetzungen für den Zufallsversuch, die Bedingung erfüllt, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. 

Laplace-Experiment – Formel

Mit der Laplace-Formel kann die Wahrscheinlichkeit einzelner Ereignisse berechnet werden. Diese Formel wird auch als Laplace-Regel bezeichnet. Dabei wird die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse geteilt.

P(E) = \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} = \dfrac{\vert E \vert}{\vert \Omega \vert}

Dabei ist:

  • P(E): Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E
  • \vert E \vert: Anzahl der günstigen Ergebnisse
  • \vert \Omega \vert: Anzahl der möglichen Ergebnisse

Als günstige Ergebnisse werden die Ergebnisse bezeichnet, die Teil der Ergebnismenge von Ereignis E sind.
Beispiel:
Ist das gesuchte Ereignis das Würfeln einer geraden Zahl mit einem sechsseitigen Würfel, dann ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse 3, da das Ereignis „gerade“ beim Würfeln der 2, der 4 und der 6 eintritt. Die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist 6. Für die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ergibt sich nach der Laplace-Formel:

P(E) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}

Solche Ereignisse werden auch als zusammengesetzte Ereignisse bezeichnet, da sie aus mehreren Elementarereignissen zusammengesetzt sind.
Für Elementarereignisse gibt es genau ein günstiges Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeit für ein Elementarereignis ist damit nach der Laplace-Formel:

P(\text{Elementarereignis}) = \dfrac{1}{\text{Anzahl der Elementarereignisse}} = \dfrac{1}{\vert \Omega \vert}

Beispiel:
Für den Wurf mit einem sechsseitigen Würfel gibt es 6 Elementarereignisse. Da sich die Gesamtwahrscheinlichkeit gleichmäßig auf diese Ereignisse verteilt, ist die Wahrscheinlichkeit jedes der 6 Ergebnisse: \dfrac{1}{6}.
Es gilt:
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \dfrac{1}{6}

Laplace Experiment Würfel

Laplace-Experiment – Zusammenfassung der Eigenschaften

Der Laplace-Versuch ist eine besondere Form der Zufallsversuche. Die folgende Tabelle zeigt, welche Eigenschaften erfüllt sein müssen, damit es sich um einen Zufallsversuch oder um einen Laplace-Versuch handelt.

Bedingung Zufallsversuch Laplace-Versuch
Alle möglichen Ausgänge sind bekannt. x x
Der Ausgang ist nicht vorhersehbar. x x
Der Versuch kann beliebig oft wiederholt werden. x x
Die Bedingungen bei der Durchführung sind immer gleich. x x
Alle Elementarereignisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit. x

Das Besondere am Laplace-Versuch ist also die gleiche Wahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse.
Die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit P eines Ereignisses E lautet:

P(E) = \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} = \dfrac{\vert E \vert}{\vert \Omega \vert}

Laplace-Experiment – Beispiele

Ein typisches Beispiel für ein Laplace-Experiment ist das Werfen einer (Lapalce-)Münze. Dabei landet die Münze mit einer Wahrscheinlichkeit von je 50\,\% auf einer der beiden Seiten.
Auch das Drehen an einem Glücksrad, bei dem alle Felder gleich groß sind, ist ein Laplace-Experiment.
Im Folgenden wollen wir die Laplace-Formel an weiteren Beispielen anwenden.

Laplace-Experiment – Urne

Befinden sich in einer Urne nur gleich große Kugeln, wird jede Kugel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen und es handelt sich um ein Laplace-Experiment.
Nehmen wir an, es befinden sich 8 Kugeln in der Urne. Davon sind 5 Kugeln grün und 3 Kugeln rot. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ziehst du eine rote Kugel (R)?

Die allgemeine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit lautet:

P(E) = \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} = \dfrac{\vert E \vert}{\vert \Omega \vert}

Da sich 8 Kugeln in der Urne befinden, ist die Anzahl aller möglichen Ergebnisse 8. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse lautet 3, da 3 der Kugeln rot sind. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis R: „eine rote Kugel wird gezogen“:

P(R) = \dfrac{\vert R \vert}{\vert \Omega \vert} = \dfrac{3}{8} = 37,\!5\,\%

Laplace-Experiment – Würfel

Betrachten wir einen ungezinkten sechsseitigen Würfel. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu würfeln, die durch 3 teilbar ist?
Die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist 6. Da nur die Zahlen 3 und 6 durch 3 teilbar sind, ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse 2. Somit liegt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis T: „teilbar durch drei“ bei:

P(T) = \dfrac{\vert T \vert}{\vert \Omega \vert} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 33,\!3\,\%

Nicht-Laplace-Experimente – Beispiele

Als Gegenteil der Laplace-Experimente werden Zufallsexperimente bezeichnet, bei denen die Ereignisse nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. Bei diesen Experimenten kann die Laplace-Formel nicht angewandt werden.
Beispiele für ein Nicht-Laplace-Experiment sind das Würfeln mit einem gezinkten Würfel oder das Werfen einer Reißzwecke, die fast immer auf den Kopf fällt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Laplace-Experiment

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. Das Würfeln mit einem ungezinkten Würfel ist ein Beispiel für ein Laplace-Experiment. Das Werfen einer Reißzwecke ist kein Laplace-Experiment, da sie fast immer auf dem Kopf landen wird. 

Ja, da bei einer normalen Münze beide Seiten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit (50\,\%) oben landen. Ist die Münze allerdings gezinkt oder manipuliert, sodass eine Seite öfter gezeigt wird, dann erfüllt sich die Laplace-Bedingung nicht.

Mit der Laplace-Regel kann die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses E berechnet werden. Sie lautet:
P(E) = \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} = \dfrac{\vert E \vert}{\vert \Omega \vert}

Sind bei einem Zufallsversuch die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse gleich groß, handelt es sich um ein Laplace-Experiment.

Bei einem Laplace-Experiment können die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnet werden, indem die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse geteilt wird.

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