Trigonometrie – Erklärung, Definitionen und Formeln

Lerne, wie Trigonometrie Teil der Geometrie ist und sich mit Winkelbeziehungen in rechtwinkligen Dreiecken befasst. Lerne die wichtigen trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens sowie den Satz des Pythagoras kennen.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Trigonometrie

Trigonometrie im Überblick

  • Trigonometrie ist ein Teil der Geometrie in der Mathematik.

  • Trigonometrie beschäftigt sich mit Seitenverhältnissen und Winkelbeziehungen in rechtwinkligen Dreiecken.

  • Wichtig sind die trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) Sinus, Cosinus und Tangens.

  • Es gibt mehrere wichtige Sätze in der Trigonometrie, wie z. B. den Satz des Pythagoras und die Identitäten, die die Winkelfunktionen in Beziehung zueinander setzen.

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Quelle sofatutor.com

Trigonometrie - Seitenlängen und Winkelgrößen
Trigonometrie - Seitenlängen und Winkelgrößen
Trigonometrie - Seitenlängen und WinkelgrößenRechter WinkelSatz des PythagorasWinkelsummensatzDreieckAnkathete, Gegenkathete, Hypotenusesin - cos - tanWie rechnet man Sinus - Cosinus - Tangens

Trigonometrie – Einführung und Grundlagen

In der Trigonometrie, die ein Teil der Geometrie ist, beschäftigen wir uns mit rechtwinkligen Dreiecken. Fehlende Größen, also Winkel oder Seitenlängen, sollen berechnet werden. Ein solches rechtwinkliges Dreieck liegt vor, wenn einer der drei Winkel 90^\circ beträgt. Die Seite, die dem 90^\circ-Winkel gegenüberliegt, wird als Hypotenuse bezeichnet. Die Seite gegenüber dem spitzen Winkel \alpha ist die Gegenkathete von \alpha und die dritte Seite, die an dem Winkel \alpha anliegt, wird als Ankathete bezeichnet. Sinus, Cosinus und Tangens sind wie folgt definiert:

Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

\sin(\alpha) =\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}

\cos(\alpha) =\dfrac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}

\tan(\alpha) =\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von } \alpha}

Folgende Merksätze können dir helfen, dir die Formeln besser zu merken:

  • Sinus und Cosinus enden auf „nus“, beide teilt man durch die HypoteNUSe.
  • Für den Sinus: Sing(h) (Gegenkathete durch Hypotenuse)
  • Für den Tangens: tanga (Gegenkathete durch Ankathete)
  • Für den Cosinus bleibt somit nur noch, die Ankathete durch die Hypotenuse zu teilen.

Exkurs: Wir betrachten hier immer Dreiecke in der Ebene. Neben dieser ebenen Trigonometrie gibt es auch die sphärische Trigonometrie, die sich mit sphärischen Dreiecken beschäftigt.

Trigonometrie – Sätze und Zusammenhänge einfach erklärt

Ein wichtiger Zusammenhang zwischen den oben genannten drei Funktionen ist:
\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Der wohl bekannteste Satz im Zusammenhang mit rechtwinkligen Dreiecken ist der Satz des Pythagoras:

a^2 + b^2 = c^2

Die Summe der beiden Kathetenquadrate ist gleich groß wie das Quadrat der Hypotenuse.

Mithilfe des Einheitskreises und des Satzes des Pythagoras können wir einen weiteren Zusammenhang zwischen Sinus und Cosinus herleiten, den sogenannten trigonometrischen Pythagoras. In den Einheitskreis zeichnen wir ein rechtwinkliges Dreieck mit dem spitzen Winkel \alpha (siehe Abbildung). Der Einheitskreis hat einen Radius von 1 und somit hat die Hypotenuse in diesem Dreieck die Länge 1. Unter Verwendung der obigen Definitionen sehen wir:

Einheitskreis mit Radius 1 und eingezeichneten trigonometrischen Funktionen

\sin(\alpha) entspricht der Länge der Gegenkathete und
\cos(\alpha) der Länge der Ankathete.
Einsetzen in den Satz des Pythagoras liefert:

(\sin\alpha)^2 + (\cos\alpha)^2 = 1,
da die Hypotenuse im Quadrat 1^2 = 1 ist.

Des Weiteren besagt der Winkelsummensatz, dass du mithilfe eines gegebenen Winkels \beta in einem rechtwinkligen Dreieck den gesuchten Winkel \alpha berechnen kannst. Wir wissen, dass die Innenwinkelsumme eines Dreiecks 180^\circ und ein Winkel im rechtwinkligen Dreieck 90^\circ beträgt. Somit können wir den Winkel \alpha berechnen:
\alpha = 180^\circ - 90^\circ - \beta = 90^\circ - \beta

Weitere Zusammenhänge (Identitäten) sind:
\begin{array}{ccl} \sin(90^\circ - \alpha) &=& \cos\alpha \\ \cos(90^\circ - \alpha) &=& \sin\alpha \\ \sin(\alpha \pm \beta) &=& \sin\alpha \cdot \cos\beta \pm \cos\alpha \cdot \sin\beta \\ \cos(\alpha \pm \beta) &=& \cos\alpha \cdot \cos\beta \mp \sin\alpha \cdot \sin\beta \end{array}

Die zwei letzten Gleichungen werden auch Additionstheoreme genannt.
Es gibt jedoch sehr viel mehr Zusammenhänge, die hergeleitet oder in einer Formelsammlung nachgeschlagen werden können. Mithilfe dieser Identitäten können zum Beispiel Terme mit trigonometrischen Funktionen umgeformt und vereinfacht werden.

Trigonometrie – Winkelfunktionen, ihre Schaubilder und Werte

Verlauf der Sinus- und Cosinusfunktion

Die Abbildung zeigt den Verlauf der Sinus- und Cosinusfunktion.
Die Winkel sind hier im sogenannten Bogenmaß x dargestellt, wobei gilt:
x = \dfrac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi

Es gibt einige charakteristische Werte, die du dir merken solltest, insbesondere für \sin und \cos. Diese sind in der folgenden Tabelle als Übersicht dargestellt.

Winkel \alpha \sin \alpha \cos \alpha \tan \alpha
0^\circ 0 1 0
30^\circ \dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{\sqrt{3}}{3}
45^\circ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} 1
60^\circ \dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{1}{2} \sqrt{3}
90^\circ 1 0 nicht definiert

Beispiel gleichschenkliges Dreieck

Jetzt haben wir viel über rechtwinklige Dreiecke gelernt. Was macht man aber nun, wenn man einen Winkel oder eine Seite in einem gleichschenkligen Dreieck berechnen will? 

Da gleichschenklige Dreiecke symmetrisch zur Höhe auf die Basis sind, können wir es entlang dieser in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke unterteilen. In diesen rechtwinkligen Dreiecken gelten dann alle Regeln von oben. 

gleichschenkliges Dreieck

Trigonometrie – Exkurs: Ableitungen

In der Differenzialrechnung benötigt man die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen:

f(x) &= \sin (x) \quad \rightarrow \quad f(x)^{\prime} = \cos(x)
f(x) &= \cos(x) \quad \rightarrow \quad f(x)^{\prime} = -\sin(x)
f(x) &= \tan(x) \quad \rightarrow \quad f(x)^{\prime} = \frac{1}{(\cos(x))^2}

Trigonometrie – Zusammenfassung

  • Mithilfe der Trigonometrie können wir fehlende Größen in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen.
  • In einem rechtwinkligen Dreieck können wir folgende Beziehungen finden:
    \sin(\alpha) =\dfrac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}
    \cos(\alpha) =\dfrac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}
    \tan(\alpha) =\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}
  • Es gibt verschiedene Sätze, die uns Zusammenhänge zwischen den trigonometrischen Funktionen herstellen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Trigonometrie

Trigonometrie ist ein Teil der Geometrie in Mathe. Die ebene Trigonometrie beschäftigt sich mit Winkeln und Seitenverhältnissen in rechtwinkligen Dreiecken. Daneben gibt es die sphärische Trigonometrie.

Trigonometrie leitet sich vom Griechischen ab. Dabei bedeutet trígonon Dreieck und métron Maß.

Der Tangens berechnet sich als Quotient aus Gegenkathete und Ankathete:

\tan(\alpha) =\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}

Oder man teilt den Sinuswert durch den Cosinuswert:

\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Durch Verwenden der Definitionen von \sin, \cos und \tan und verschiedenen Identitäten können fehlende Größen in rechtwinkligen Dreiecken berechnet werden.

Trigonometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Es beschäftigt sich damit, fehlende Größen wie Winkel und Seiten in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen.

Die Definitionen lauen wie folgt:
\sin(\alpha) =\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}

\cos(\alpha) =\dfrac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}

\tan(\alpha) =\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}

Unter Verwendung von trigonometrischen Funktionen und gegebenen Winkeln und Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck kann ein gesuchter Winkel berechnet werden.

Sie wird verwendet, wenn in einem rechtwinkligen Dreieck Winkel oder Seiten zu berechnen sind.

Vorläufer der Trigonometrie finden sich bereits in der Antike.

Die Trigonometrie gibt dir Formeln an die Hand, mit denen du eine fehlende Größe in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen kannst, wenn die anderen Größen gegeben sind.

Ja, da der Satz des Pythagoras sich mit Seitenverhältnissen in einem rechtwinkligen Dreieck beschäftigt.

Trigonometrie gehört zur Geometrie und liefert Möglichkeiten, fehlende Größen in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen.

Insbesondere die trigonometrischen Funktionen \sin, \cos und \tan. Jedoch gibt es noch weitere trigonometrische Funktionen, Identitäten und Sätze, wie den Satz des Pythagoras, die zur Trigonometrie gehören.

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