Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) – Definition, Erklärung und Beispiele

Lerne, was das kleinste gemeinsame Vielfache ist und wie man es findet. Es ist die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches mehrerer Zahlen ist. Methoden zur Bestimmung umfassen die Vielfachenmenge, die Primfaktorzerlegung und den größten gemeinsamen Teiler. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Das Quiz zum Thema: Kleinstes gemeinsames Vielfaches und kgV berechnen

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)?

Frage 1 von 5

Wie wird das kleinste gemeinsame Vielfache oft abgekürzt?

Frage 2 von 5

Welche Methode kann verwendet werden, um das kgV zu bestimmen?

Frage 3 von 5

Was ist der größte gemeinsame Teiler (ggT) in Bezug auf das kgV?

Frage 4 von 5

In welcher Rechnung kann das kgV als Hauptnenner genutzt werden?

Frage 5 von 5

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) im Überblick

  • Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste natürliche Zahl, die gleichzeitig ein Vielfaches mehrerer Zahlen ist.
  • Für das kleinste gemeinsame Vielfache wird häufig die Abkürzung kgV verwendet.

  • Es gibt verschiedene Methoden, das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen, beispielsweise über die Vielfachenmenge oder mit einer Primfaktorzerlegung.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Kleinstes gemeinsames Vielfaches – Definition und Erklärung

Das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei ganzen Zahlen ist definiert als die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von beiden Zahlen ist. Das bedeutet, es ist durch beide Zahlen ohne Rest teilbar.
Oft wird für das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen a und b in Mathe kurz \text{kgV}(a, b) geschrieben.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches finden

Im Folgenden werden einige Möglichkeiten vorgestellt, wie das kgV ermittelt werden kann. Als Beispiel betrachten wir dafür die beiden Zahlen 14 und 21.

Vielfachenmenge

Wir notieren die Vielfachenmengen der beiden Zahlen. Die Vielfachenmengen enthalten alle Zahlen, die Vielfache von 14 bzw. 21 sind.

V_{14} = \{14, 28, \mathbf{42}, 56, 70, 84, 98, \dots\}

V_{21} = \{21, \mathbf{42}, 63, 84, 105, \dots\}

Die kleinste Zahl, die in beiden Vielfachenmengen vorkommt, ist 42.

Wir schreiben: \text{kgV}(14, 21) = 42

Hinweis: Du kannst auch nur die Vielfachenmenge der größeren Zahl aufschreiben und dabei überprüfen, ob die Zahlen auch Vielfache der kleineren Zahl sind.
Da 21 nicht durch 14 teilbar ist, erhältst du so ebenfalls 42 als kleinstes gemeinsames Vielfaches von 14 und 21.

Primfaktorzerlegung

Wir notieren die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen. Das heißt, wir schreiben die Zahlen als Produkt von Primzahlen.

14 = 2 \cdot \mathbf{7}

21 = 3 \cdot \mathbf{7}

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist das Produkt aller Primfaktoren aus beiden Zerlegungen. Faktoren, die in beiden Zerlegungen vorkommen, wie hier die 7, werden dabei nur einmal multipliziert.

Wir erhalten: \text{kgV}(14, 21) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42

Die verschiedenen Möglichkeiten siehst du hier noch einmal im Überblick:

kleinstes gemeinsames Vielfaches finden

Kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler

Eine weitere Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen, ist der größte gemeinsame Teiler, kurz ggT. Das kgV kann mit folgender Formel berechnet werden:
\text{kgV}(a, b) = \dfrac{a \cdot b}{\text{ggT}(a, b)}

Der größte gemeinsame Teiler von 14 und 21 in unserem Beispiel ist \text{ggT}(14, 21) = 7. Wir erhalten damit:

\text{kgV}(14, 21) = \dfrac{14 \cdot 21}{\text{ggT}(14, 21)} = \dfrac{14 \cdot 21}{7} = 42

Kleinstes gemeinsames Vielfaches – weitere Beispiele

Im Folgenden betrachten wir noch ein Beispiel zur Bestimmung des kgV mit mehreren Zahlen sowie die Anwendung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen in der Bruchrechnung.

kgV von mehreren Zahlen

Gesucht ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 5, 12 und 16.
Wir führen eine Primfaktorzerlegung der Zahlen durch:

5 ist bereits eine Primzahl.
12 = 2 \cdot 2 \cdot 3
16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Wir multiplizieren die Primfaktoren aus allen Zerlegungen und erhalten:
\text{kgV}(5, 12, 16) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 240
Es ist auch möglich, das kleinste gemeinsame Vielfache von mehr als zwei Zahlen schrittweise zu bestimmen. Die Reihenfolge ist dabei nach den Rechenregeln vom kgV frei wählbar:

zwei Zahlen drei oder mehr Zahlen
\text{kgV}(a, b) = \text{kgV}(b, a) \text{kgV}(a, b, c) = \text{kgV}(\text{kgV}(a, b), c) = \text{kgV}(a, \text{kgV}(b, c)) = \text{kgV}(b, \text{kgV}(a,c))

Bruchrechnung mit dem kgV

In der Bruchrechnung kann das kleinste gemeinsame Vielfache als Hauptnenner zur Addition und Subtraktion von Brüchen genutzt werden. Dazu ermitteln wir das kgV der Nenner und erweitern die Brüche entsprechend. Der so gefundene Hauptnenner ist der kleinstmögliche gemeinsame Nenner.

Beispiel: \dfrac{3}{15} + \dfrac{2}{21}

Wir bestimmen das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner mit der Primfaktorzerlegung:

15 = 3 \cdot 5
21 = 3 \cdot 7

\Rightarrow \quad \text{kgV}(15, 21) = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105

Wir erweitern beide Brüche auf den Hauptnenner 105 und erhalten:

\dfrac{3 \cdot 7}{15 \cdot 7} + \dfrac{2 \cdot 5}{21 \cdot 5} = \dfrac{21}{105} + \dfrac{10}{105} = \dfrac{31}{105}

Häufig gestellte Fragen zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV)

Das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches beider Zahlen ist.
Allgemein kann das kleinste gemeinsame Vielfache auch für drei oder mehr Zahlen angegeben werden.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, zum Beispiel über die Vielfachenmenge oder mit einer Primfaktorzerlegung.

Das kleinste gemeinsame Vielfache kann beispielsweise als Produkt aller Primfaktoren, die in den Zerlegungen der Zahlen vorkommen, berechnet werden. Faktoren, die in der Primfaktorzerlegung mehrerer Zahlen vorkommen, werden dabei nur einmal multipliziert.

Eine schnelle Methode, das kleinste gemeinsame Vielfache zu ermitteln, ist die Primfaktorzerlegung. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist dann das Produkt aller vorkommenden Faktoren.

Super! Das Thema: Kleinstes gemeinsames Vielfaches und kgV berechnen kannst du schon! Teile deine Learnings und Fragen mit der Community!