Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) – Definition, Erklärung und Beispiele

Das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei ganzen Zahlen ist definiert als die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von beiden Zahlen ist. Das bedeutet, es ist durch beide Zahlen ohne Rest teilbar.
Oft wird für das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen und in Mathe kurz geschrieben.

Im Folgenden werden einige Möglichkeiten vorgestellt, wie das kgV ermittelt werden kann. Als Beispiel betrachten wir dafür die beiden Zahlen und .

Wir notieren die Vielfachenmengen der beiden Zahlen. Die Vielfachenmengen enthalten alle Zahlen, die Vielfache von bzw. sind.

Die kleinste Zahl, die in beiden Vielfachenmengen vorkommt, ist .

Wir schreiben:

Hinweis: Du kannst auch nur die Vielfachenmenge der größeren Zahl aufschreiben und dabei überprüfen, ob die Zahlen auch Vielfache der kleineren Zahl sind.
Da nicht durch teilbar ist, erhältst du so ebenfalls als kleinstes gemeinsames Vielfaches von und .

Wir notieren die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen. Das heißt, wir schreiben die Zahlen als Produkt von Primzahlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist das Produkt aller Primfaktoren aus beiden Zerlegungen. Faktoren, die in beiden Zerlegungen vorkommen, wie hier die , werden dabei nur einmal multipliziert.

Wir erhalten:

Die verschiedenen Möglichkeiten siehst du hier noch einmal im Überblick:

Eine weitere Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen, ist der größte gemeinsame Teiler, kurz ggT. Das kgV kann mit folgender Formel berechnet werden:

Der größte gemeinsame Teiler von und in unserem Beispiel ist . Wir erhalten damit:

Im Folgenden betrachten wir noch ein Beispiel zur Bestimmung des kgV mit mehreren Zahlen sowie die Anwendung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen in der Bruchrechnung.

Gesucht ist das kleinste gemeinsame Vielfache von , und .
Wir führen eine Primfaktorzerlegung der Zahlen durch:

ist bereits eine Primzahl.

Wir multiplizieren die Primfaktoren aus allen Zerlegungen und erhalten:

Es ist auch möglich, das kleinste gemeinsame Vielfache von mehr als zwei Zahlen schrittweise zu bestimmen. Die Reihenfolge ist dabei nach den Rechenregeln vom kgV frei wählbar:

In der Bruchrechnung kann das kleinste gemeinsame Vielfache als Hauptnenner zur Addition und Subtraktion von Brüchen genutzt werden. Dazu ermitteln wir das kgV der Nenner und erweitern die Brüche entsprechend. Der so gefundene Hauptnenner ist der kleinstmögliche gemeinsame Nenner.

Beispiel:

Wir bestimmen das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner mit der Primfaktorzerlegung:

Wir erweitern beide Brüche auf den Hauptnenner und erhalten: