Natürliche Zahlen – Definition und Beispiele

Erfahre, dass natürliche Zahlen alle positiven Zahlen sind, die zum Zählen verwendet werden – beginnend mit 1. Lerne, wie man sie vergleicht, addiert, multipliziert und sogar in Brüche umwandelt. Dies und weitere spannende Fakten erwarten dich im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen im Überblick

  • Die natürlichen Zahlen sind in der Mathematik alle positiven Zahlen, die zum Zählen verwendet werden, also 1, 2, 3, \ldots.

  • Die Menge der natürlichen Zahlen \mathbb{N} fasst die natürlichen Zahlen zusammen.

  • Neben den natürlichen Zahlen sind die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen wichtige Zahlenmengen in der Mathematik.

Natürliche Zahlen Video

Quelle sofatutor.com

Die Zahlenmenge der natürlichen Zahlen – Definition

Die natürlichen Zahlen beginnen mit der Zahl 1. Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger, der um 1 größer ist als die Zahl selbst. Das bedeutet, man startet mit der kleinsten natürlichen Zahl 1 und addiert +1 und so entsteht eine Menge von Zahlen. Dies ist die Menge der natürlichen Zahlen und wird mit dem Symbol \mathbb{N} bezeichnet. Um die Menge der natürlichen Zahlen mit ihren Elementen aufzuschreiben, werden die geschweiften Mengenklammern verwendet:

\mathbb{N}=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;\ldots\}

Die drei Punkte am Ende der Mengenschreibweise bedeuten, dass die Menge in dem gleichen Muster fortgesetzt wird. Du kannst immer weiter +1 rechnen und damit die nächstgrößere natürliche Zahl erhalten. Deswegen ist es nicht möglich, alle natürlichen Zahlen aufzuschreiben. Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen.
Die Menge der natürlichen Zahlen wird auch als abzählbar unendlich bezeichnet, weil die Menge zwar unendlich groß ist, aber alle Elemente der Menge durchnummeriert bzw. gezählt werden können.

Es gibt unterschiedliche Sichtweisen, ob die Zahl \mathbf{0} zu den natürlichen Zahlen gehört oder nicht. Du findest in manchen Büchern daher das Zeichen \mathbb{N}_0​ für die Menge der natürlichen Zahlen mit der Zahl 0. Es gibt aber auch die Variante, dass die 0 direkt zu \mathbb{N} gezählt wird.

Menge der natürlichen Zahlen

Gerade und ungerade natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen können in gerade und ungerade Zahlen unterteilt werden. Laut der Definition für gerade natürliche Zahlen sind dies alle natürlichen Zahlen, die durch 2 teilbar sind. Die ungeraden Zahlen sind dann alle anderen natürlichen Zahlen, die nicht durch 2 teilbar sind.

Natürliche Zahlen vergleichen

Beim Vergleichen von natürlichen Zahlen geht es darum, welche Zahl größer oder kleiner ist. Als mathematisches Symbol werden dafür > und < verwendet. Das bedeutet:

  • 5 >3, man sagt „5 ist größer als 3“.
  • 4 < 8, man sagt „4 ist kleiner als 8“.

Um natürliche Zahlen zu vergleichen, gibt es verschiedene Möglichkeiten.

  • Vergleichen zweier Zahlen nach Anzahl der Stellen: Eine Zahl mit mehr Stellen ist größer als eine mit weniger Stellen, zum Beispiel: 167 > 20.
  • Vergleichen durch Subtraktion: Ergibt die Subtraktion der beiden Zahlen wieder eine natürliche Zahl, war der Minuend größer als der Subtrahend. Zum Beispiel:
    42 - 20 = 22, also 42 > 20
  • Vergleichen von natürlichen Zahlen mithilfe des Zahlenstrahls: Am Zahlenstrahl werden die Zahlen der Größe nach angeordnet. Deswegen gilt:
    Je weiter rechts eine Zahl auf dem Zahlenstrahl steht, desto größer ist sie. Je weiter links eine Zahl steht, desto kleiner ist sie.
Natürliche Zahlen am Zahlenstrahl vergleichen

Rechnen mit natürlichen Zahlen

Natürliche Zahlen können addiert und multipliziert werden.
Beispiele:

  • 22 + 332 = 354
  • 26 \cdot 102 = 2\,652

Natürliche Zahlen können auch subtrahiert und dividiert werden. Allerdings kann es dabei vorkommen, dass das Ergebnis der Rechnung keine natürliche Zahl mehr ist.
Beispiele:

  • 25 -13 = 12, hier ist das Ergebnis wieder eine natürliche Zahl.
  • 13-25 = -12, hier ist das Ergebnis negativ, also keine natürliche Zahl.

Gaußsche Summenformel

Es gibt eine Formel, mit der die Summe aller natürlichen Zahlen bis zu einer bestimmten Zahl n berechnet werden kann. Die Formel hat der berühmte Mathematiker Carl Friedrich Gauß aufgestellt. Sie lautet:

{\text{Summe aller natürlichen Zahlen bis zur Zahl }n: ~ 1 + 2 + \dots + n = \sum\limits_{i = 1}^{n} i = \dfrac{n\cdot(n+1)}{2} = \dfrac{n^2 + n}{2}}

Damit kann zum Beispiel ganz schnell die Summe aller natürlichen Zahlen bis 100 berechnet werden. Anstelle einzeln zu summieren (1 + 2 + \dots + 100), rechnen wir:
\dfrac{100 \cdot 101}{2} = \dfrac{10\,100}{2} = 5\,050

Brüche in natürliche Zahlen umwandeln

Entspricht der Wert eines Bruchs einer natürlichen Zahl, kann dieser Bruch auch als natürliche Zahl geschrieben werden. Dies ist dann der Fall, wenn im Nenner des gekürzten Bruchs eine 1 steht. Ist der Bruch noch nicht gekürzt, erkennt man, dass der Wert einer natürlichen Zahl entspricht, wenn der Nenner ein Teiler des Zählers ist.
Beispiel:

\dfrac{10}{5} = \dfrac{2}{1} = 2~ oder ~\dfrac{10}{5} = 10 : 5 = 2

Die Zahl 2 ist eine natürliche Zahl.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Natürliche Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen ist die unendliche Menge \mathbb{N} = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; \ldots.

Endliche oder periodische Kommazahlen gehören zu den rationalen Zahlen. Eine natürliche Zahl kann aber auch als Kommazahl geschrieben werden, mit einer 0 hinter dem Komma, zum Beispiel 5 = 5,0.

Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich, es gibt also unendlich viele natürliche Zahlen.

Nein, die natürlichen Zahlen sind alle positiv. Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit allen negativen ganzzahligen Zahlen die ganzen Zahlen.

Die natürlichen Zahlen sind Zahlen, mit denen du zählen kannst.

Negative Zahlen, Brüche oder Dezimalzahlen gehören nicht zu den natürlichen Zahlen.

Die Bezeichnung natürliche Zahlen hat sich etabliert, als der Mathematiker Richard Dedekind im 19. Jahrhundert die Menge erstmals formalisiert hat.

Ja, die natürlichen Zahlen sind definiert als die Menge aller positiven ganzen Zahlen.

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