Zinsrechnung – Grundlagen, Formeln und Beispiele

Erfahre, wie Kapital mit Zinssatz über Zeit verzinst wird und was Zinseszins bedeutet. Verstehe wichtige Begriffe wie Kapital, Zinsen und Zinssatz.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Zinsrechnung – Grundlagen, Formeln und Beispiele

Zinsrechnung im Überblick

  • Bei der Zinsrechnung geht es um die Verzinsung eines Kapitals K mit einem bestimmten Zinssatz p\%.
  • Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung.
  • Als Zinseszins werden Zinsen bezeichnet, die zusätzlich entstehen, wenn ein Kapital über mehrere Jahre verzinst wird.
Zinsrechnung

Quelle sofatutor.com

Zinsrechnung einfach erklärt – Grundlagen und Formeln

Bei der Zinsrechnung geht es darum, dass ein Kapital mit einem bestimmten Zinssatz über einen festgelegten Zeitraum verzinst wird. Zusätzlich zum angelegten Kapital hast du nach Ablauf der Anlagedauer Zinsen auf deinem Konto.
Wichtige Begriffe sind also

  • das Kapital K,
  • die Zinsen Z und
  • der Zinssatz p\%.

Die Zinsen Z für ein Jahr berechnen sich aus dem Produkt von Kapital K und Zinssatz p\%:

Z = K \cdot p\%

Die Zinsformel kannst du so umstellen, dass jede der Größen berechnet werden kann.

K = \dfrac{Z}{p\%}

p\% = \dfrac{Z}{K}

So kannst du neben den Zinsen auch den Zinssatz oder das Kapital berechnen, wenn die anderen beiden Größen gegeben sind.

Zinsen, Zinssatz und Kapital

Die Zinsrechnung kann als Anwendungsgebiet der Prozentrechnung verstanden werden. Dabei entsprechen sich die folgenden Größen:

Prozentrechnung Zinsrechnung
Grundwert G Kapital K
Prozentsatz p\% Zinssatz p\%
Prozentwert P Zinsen Z

Prozent- und Zinssatz werden in Prozent oder als Dezimalzahl angegeben.

Zinsrechnung mit gegebenem Zeitraum

Wie der Jahreszins berechnet wird, hast du bereits gelernt. Die Formel für die Zinsen eines Jahres lautet Z = K \cdot p\%.
Wichtig bei der Betrachtung abweichender Zeiträume ist, dass du weißt, dass das Jahr als kaufmännisches Jahr betrachtet wird. Ein kaufmännisches Jahr hat 360 Tage und jeder Monat 30 Tage.

Jahreszins, Monatszins und Tageszins

Wird ein Kapital kürzer als ein Jahr angelegt, berechnest du die Zinsen anteilig.

Möchtest du die Zinsen für einen Zeitraum von m Monaten berechnen, multiplizierst du die Zinsformel mit dem Bruch \frac{m}{12}. Die Variable m steht für die Anzahl der vollen Monate, in denen das Kapital verzinst wird. Da ein ganzes Jahr 12 Monate hat, teilen wir durch 12, um den Anteil zu ermitteln.
Z_m = K \cdot p\% \cdot \dfrac{m}{12}

Ähnlich kannst du beim Berechnen der Tageszinsen vorgehen. Multipliziere die Formel zur Berechnung der Zinsen in diesem Fall mit dem Bruch \frac{t}{360}. Die Variable t steht für die Anzahl der vollen Tage, die in dem Zeitraum liegen, über den das Kapital verzinst wird. Den Anteil erhalten wir, indem wir durch die 360 Tage eines ganzen Jahres teilen.
Z_t = K \cdot p\% \cdot \dfrac{t}{360}

Hier siehst du die Formel, mit denen du die Zinsen für genau ein Jahr, einen Monat oder einen Tag berechnen kannst zusammengefasst.

Zusammenfassung Zinsrechnung Formel

Zinsrechnung – Zinseszins

In der Regel werden Guthabenszinsen jährlich gezahlt. Das erkennst du auch daran, dass der Zinssatz häufig mit dem Zusatz p. a. angegeben wird, der für per annum (lat. für pro Jahr) steht.
Das bedeutet Folgendes: Ist ein Jahr vergangen, werden die berechneten Zinsen gutgeschrieben und erhöhen so das Kapital, das im Folgejahr verzinst wird. Das Kapital wird so jedes Jahr größer, wodurch auch die Zinsen mehr werden, da diese, neben dem Zinssatz, vom Kapital abhängen.

Stell dir vor, du legst zu Jahresbeginn 100 € zu einem Zinssatz von 2,\!3\,\% an.
Die Zinsen nach einem Jahr betragen entsprechend Z = 100 € \cdot~ 0,\!023 = 2,\!3 € und werden am Ende des Jahres gutgeschrieben.
Das Kapital K_1 nach einem Jahr beträgt K_1 = 102,\!3 €. Zur Berechnung der Zinsen für das zweite Jahr dient nun dieses Kapital K_1 als Grundlage:
K_1 \cdot 2,\!3\,\% = 102,\!3 € ~\cdot~ 0,\!023 = 2,\!35 €
Diese Zinsen werden wiederum auf das Kapital addiert, nach zwei Jahren beträgt das Kapital demnach:
K_2 = K_1 + 2,\!35 € =~ 102,\!3 € ~+~ 2,\!35 € ~=~ 104,\!65 €
Dieses Kapital wird nun im nächsten Jahr weiter verzinst.
Das Kapital wächst also jedes Jahr um den gleichen Faktor, wobei das Kapital selbst immer größer wird. Du kannst auch von exponentiellem Wachstum sprechen.

Allgemein kannst du bei einer Verzinsung über mehrere Jahre die folgende Formel verwenden:

K_x=K \cdot (1+p\%)^{x}

Die Variable x beschreibt die Anzahl der Jahre und entsprechend steht K_x für das Kapital nach x Jahren Verzinsung.

Zinseszins auf einen Blick

Beispiele zur Zinsrechnung

Im Folgenden sind einige Beispiele aufgeführt, an denen du die Zinsrechnung üben und dein Wissen testen kannst.

Beispiel 1
Dein Bruder legt für ein Jahr 75 € zu einem Zinssatz von 4\,\% an. Du legst gleichzeitig 90 € zu einem Zinssatz von 2,\!9\,\% an. Wer von euch hat am Ende des Jahres das höhere Guthaben?

Dein Bruder bekommt zu seinen Konditionen Z = 75 € ~\cdot~ 0,\!04 = 3 € Zinsen. Addierst du diese auf sein Kapital, hat er am Ende des Jahres ein Guthaben von 78 €.
Du bekommst nach einem Jahr Z = 90 € ~\cdot~ 0,\!029 = 2,\!61 € Zinsen gutgeschrieben und hast mit 92,\!61 € das größere Guthaben, obwohl du weniger Zinsen erhalten hast.

Beispiel 2
Ein Sparkonto mit einem Guthaben von 585 € und einer Verzinsung von 1,\!6\,\% soll zum 01.07. aufgelöst werden. Wie viele Zinsen werden anteilig zur Auflösung gutgeschrieben?

Um zu berechnen, wie viele Zinsen noch zum Guthaben hinzukommen, berechnest du die Zinsen für ein ganzes Jahr und multiplizierst diese anschließend mit dem Faktor \frac{6}{12}, da das Geld noch für 6 Monate angelegt war.

Z=585 € ~\cdot~ 0,\!016 \cdot \dfrac{6}{12}=4,\!68 €

Zur Auflösung werden noch 4,\!68 € gutgeschrieben.

Beispiel 3
Ein Sparer legt zu Jahresbeginn 670 € an. Nach Gutschrift der Zinsen nach einem Jahr beträgt sein Guthaben 716,\!9 €. Zu welchem Zinssatz p\% war das Geld angelegt?

Um den Zinssatz zu berechnen, verwendest du die umgestellte Zinsformel:
p\%=\dfrac{Z}{K}
Die Zinsen Z berechnest du, indem du das Startkapital vom Endkapital abziehst.

Z = 716,\!9 € ~-~670 € ~=~46,9 €

Den Wert für Z kannst du dann mit dem Kapital K in die Formel einsetzen.

p\% = \dfrac{\euro{46,\!9}}{\euro{670}}=0,\!07=7\,\%

Das Kapital war also zu einem Zinssatz von p\%=7\,\% angelegt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Zinsrechnung

Die Zinsrechnung ist ein Teilgebiet der Prozentrechnung. Ein Kapital K wird über einen festgelegten Zeitraum zu einem vorher festgelegten Zinssatz p\% verzinst.

Die Größen der Zinsrechnung entsprechen dabei folgenden Größen der Prozentrechnung:

  • Das Kapital entspricht dem Grundwert,
  • der Zinssatz dem Prozentsatz und 
  • die Zinsen dem Prozentwert.

Die Zinsen Z können aus dem Produkt des Kapitals und des Zinssatzes berechnet werden.

Z=K \cdot p\%

Die Zinsrechnung funktioniert ähnlich wie die Prozentrechnung, da sie ein Teilgebiet dieser ist. Grundlage ist die Zinsformel, die nach allen drei Größen umgestellt werden kann. Dabei kann das Dreieck der Zinsrechnung helfen.

Bei einer Verzinsung über mehrere Jahre wird zusätzlich der Zinseszins relevant.

Der Zinseszins bezeichnet die Verzinsung bereits erhaltener Zinsen. Um sie zu berechnen, musst du nach jedem Jahr die erhaltenen Zinsen zum Kapital addieren und dieses Gesamtkapital als Grundlage für die Zinsen des nächsten Jahres verwenden.
Du kannst das Guthaben nach x Jahren auch mit der Formel {K_x=K \cdot (1+p\%)^{x}} berechnen. Dabei wird die zusätzliche Verzinsung berücksichtigt. 

Die Zinsen Z berechnest du aus dem Produkt von Kapital und K und Zinssatz p\%. Die Formel lautet:
Z=K \cdot p\%

Bei der einfachen Zinsrechnung werden die Zinsen nur auf das Startkapital berechnet. Auch über eine Anlagedauer von mehreren Jahren orientieren sich die jährlichen Zinsen am Startguthaben.

Bei der zusammengesetzten Verzinsung werden die Zinsen dem Guthaben jährlich gutgeschrieben und weiter verzinst.

Der Zinssatz p\% ist das Verhältnis von den Zinsen zum Kapital. Du kannst den Zinssatz mit der Formel p\%=\frac{Z}{K} berechnen.

Der Endwert der Zinsrechnung ist das Kapital zuzüglich der erhaltenen Zinsen. Für ein Jahr berechnet sich der Endwert also mit K+Z.

Der Anfangswert entspricht dem angelegten Kapital K. Er wird mit der Formel K=\frac{Z}{p\%} berechnet.

Verzinsung bedeutet, dass auf ein angelegtes Kapital Zinsen entsprechend dem Zinssatz berechnet werden. In der Regel werden die Zinsen am Ende des Jahres gutgeschrieben.

Der Zinssatz ist ein prozentualer Wert, der auf ein gegebenes Kapital berechnet wird. Er ist gleichzusetzen mit dem Prozentsatz in der Prozentrechnung.

Bei der Zinseszinsrechnung werden die Zinsen jährlich gutgeschrieben und erhöhen so das zu verzinsende Kapital des nächsten Jahres. Es kommt zum exponentiellen Wachstum des Kapitals.

Eine Zinsperiode ist der Zeitraum zwischen der Gutschrift von Zinsen. Meist werden Zinsen jährlich gezahlt und die Zinsperiode ist entsprechend ein Jahr. Es gibt aber auch kürzere Zinsperioden. Die Zinsperiode verkürzt sich außerdem, wenn das Guthaben vorzeitig ausgezahlt wird und die Zinsen anteilig berechnet werden.

Der Barwert entspricht dem Startkapital. Entsprechend wird er genau wie dieses berechnet mit der Formel K=\frac{Z}{p\%}.

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