Exponentialfunktionen – einfach erklärt

Exponentialfunktionen sind Funktionen der Form . Sie beschreiben exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall. Bei Exponentialfunktionen steht die Variable, z. B. , immer im Exponenten. Der Parameter ist die Basis von und wird als Wachstumsfaktor der Exponentialfunktion bezeichnet. Die Basis ist immer positiv. Der Parameter ist der Anfangswert oder Streckfaktor der Exponentialfunktion.

Ist die Basis , handelt es sich nicht um eine Exponentialfunktion, sondern um eine parallel zur -Achse verlaufende lineare Funktion. Egal welcher Wert für eingesetzt wird, der dazugehörige -Wert ist gleich.

Mithilfe von Exponentialfunktionen kann das exponentielle Wachstum von Viren oder Bakterien beschrieben werden. Aber auch die Halbwertszeit von radioaktiven Stoffen lässt sich mithilfe von Exponentialfunktionen bestimmen.

Exponentialfunktion – Beispiel:

Der Graph zur Funktion hat die folgende Form:

Der Graph einer Exponentialfunktion wird auch als Exponentialkurve bezeichnet.

Tritt nur im Exponenten einer Funktion auf, sprechen wir von einer reinen Exponentialfunktion. Existiert ein zusätzliches außerhalb des Exponenten, handelt es sich um eine verknüpfte Funktion.
Beispiel:

Die allgemeine Funktionsgleichung der Exponentialfunktion lautet:

mit und

Die Variable steht bei Exponentialfunktionen immer im Exponenten.
Beispiel: Ist die Basis , verdoppelt sich der Wert der Funktion mit jedem Schritt.

Der Funktionsgraph einer Exponentialfunktion verläuft entweder streng monoton steigend (exponentielles Wachstum) oder streng monoton fallend (exponentieller Zerfall).
Der Parameter beeinflusst die Steigung des Graphen der Funktion. Dabei gilt:

• : streng monoton steigend
  Je größer ist, desto steiler verläuft der Graph der Funktion.
• : streng monoton fallend
  Je kleiner ist, desto schneller fällt der Graph der Funktion.

Der Parameter gibt bei den Schnittpunkt mit der -Achse an, da .

Für Exponentialfunktionen der Form gilt:

• Wertebereich:
• Asymptote: -Achse
• Symmetrie: keine
• Nullstellen: keine
• Monotonie: streng monoton steigend für , streng monoton fallend für
• Sie gehen immer durch die Punkt und .

Neben dem Parameter können weitere Parameter den Verlauf des Funktionsgraphen einer Exponentialfunktion beeinflussen.

Der sogenannte Streckfaktor streckt, staucht oder spiegelt die Exponentialfunktion. Dabei gilt:

• : Streckung des Graphen
• : Stauchung des Graphen
• : Spiegelung des Graphen an der -Achse
• : Umkehrung des Monotonieverhaltens

Für gilt:

• Je größer ist, desto weiter oben schneidet die Funktion die -Achse.
• entspricht dem Schnittpunkt mit der -Achse.

Für gilt:

• Der Funktionsgraph ist an der -Achse gespiegelt.
• Je kleiner , desto weiter unten schneidet die Funktion die -Achse.

Eigenschaften
Für Exponentialfunktionen der Form gilt:

• Wertebereich für :
• Wertebereich für :
• Asymptote: -Achse
• Symmetrie: keine
• Nullstellen: keine
• Monotonie: streng monoton steigend für und sowie und , streng monoton fallend für und sowie und
• Sie gehen immer durch die Punkt und .

Beispiele
Der Graph der Funktion verläuft oberhalb der -Achse und geht durch die Punkte und .

Der Graph der Funktion verläuft ebenfalls oberhalb der -Achse und geht durch die Punkte und .

Durch die Verschiebungskonstante wird die Funktion um Einheiten in -Richtung verschoben. Dabei gilt:

: Verschiebung nach links
: Verschiebung nach rechts

Die Funktionsgleichung lautet dann:

Die Verschiebung in Richtung der -Achse kann auch als Streckung oder Stauchung geschrieben werden. Durch die Potenzgesetze gilt:

Die Verschiebung um Einheiten entspricht also einer Streckung mit dem Faktor .

Durch die Verschiebungskonstante wird die Funktion um Einheiten in Richtung der -Achse verschoben. Dabei gilt:

• : Verschiebung nach oben
• : Verschiebung nach unten

Die Funktionsgleichung lautet dann:

Durch die Verschiebung nach oben oder unten verschiebt sich auch die Asymptote der Exponentialfunktion zu . Zudem kann durch die Verschiebung nach unten (bei positiven ) eine Nullstelle entstehen. Bei der Verschiebung nach oben kann eine Nullstelle entstehen, wenn negativ ist. Zudem ändert sich der Wertebereich der Funktion z. B. zu für .

Wie lineare und quadratische Funktionen lassen sich auch Exponentialfunktionen mithilfe von Wertetabellen zeichnen. Um den Graphen einer Exponentialfunktion in ein Koordinatensystem zu zeichnen, erstellen wir also zunächst eine Wertetabelle.
Dafür wählen wir verschiedene -Werte und berechnen die zugehörigen -Werte. Die so entstandenen Wertepaare können im Anschluss in ein Koordinatensystem eingetragen werden. Die Punkte werden dann zum Graphen der Funktion verbunden.
Beachte: Jede Exponentialfunktion besitzt eine waagrechte Asymptote bei , das heißt eine Linie, der sich der Graph nähert, sie jedoch nie berührt. Beim Einzeichnen musst du beachten, dass der Graph diese Linie nicht berührt oder schneidet.

Beispiel
Die folgende Funktion soll gezeichnet werden:

Da die Funktion die Form hat und positiv ist, liegt die Funktion oberhalb der -Achse und hat eine Asymptote bei . Zudem schneidet sie die -Achse bei . Weitere Punkte können wir mithilfe einer Wertetabelle berechnen:

Diese Punkte können wir nun in einem Koordinatensystem abtragen und zum Graphen der Funktion verbinden.

Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lässt sich anhand von Punkten, die Teil der Lösungsmenge sind, oder anhand des Graphen der Funktion bestimmen.

Die Exponentialfunktionen der Form lassen sich mithilfe von einem Punkt bestimmen. Alle Funktionen dieser Form gehen durch den Punkt , schneiden sich jedoch in keinem weiteren Punkt. Es muss also ein Punkt (außer ) gegeben sein, um die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion der Form aufzustellen.
Kennen wir einen Punkt, der auf dem Graphen der Exponentialfunktion liegt, können wir den -Wert und den -Wert in die Funktionsgleichung einsetzen und erhalten durch Äquivalenzumformung den Wert für .

Besitzt die Funktion zusätzlich einen Streckfaktor , müssen zwei Punkte gegeben sein, um die Funktionsgleichung zu bestimmen. Wir erstellen zwei Gleichungen, indem wir die Koordinaten der beiden Punkte jeweils in die Funktionsgleichung einsetzen. Eine der beiden Gleichungen stellen wir im Anschluss nach um und setzen den für erhaltenen Term in die andere Gleichung ein. Somit können wir berechnen. Den Wert für setzen wir im Anschluss in eine der beiden Gleichungen ein, um zu ermitteln.
Besonders einfach ist das Bestimmen der Funktionsgleichung, wenn wir die Punkte mit den -Werten und wählen. Für diese gilt:

So können und sehr einfach bestimmt werden.
Enthält die Gleichung zusätzlich noch einen dritten oder vierten Parameter ( und ), müssen entsprechend ein dritter und vierter Punkt oder andere zusätzliche Informationen, z. B. zur Asymptote der Funktion, gegeben sein, um die Funktionsgleichung zu bestimmen.

Beispiel
Eine Exponentialfunktion der Form geht durch die Punkte und . Wie lautet die Funktionsgleichung?
Zunächst setzen wir beide Punkte in die Funktion ein und erhalten die Gleichungen:

Nun können wir die erste Gleichung nach umstellen:

Diesen Term können wir nun für in die zweite Gleichung einsetzen und zusammenfassen:

Nun können wir diese Gleichung nach auflösen und erhalten:

Durch das Einsetzen von erhalten wir für :

Die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion lautet:

Ist uns der Graph einer Exponentialfunktion gegeben, können wir bereits an der Steigung erkennen, ob größer oder kleiner als ist. Verläuft der Graph oberhalb der -Achse, ist für die Funktion streng monoton steigend, für ist die Funktion streng monoton fallend. Geht der Graph zusätzlich durch den Punkt , handelt es sich um eine Exponentialfunktion der Form . Das bedeutet, wir wählen einen weiteren Punkt auf dem Graphen und können damit die Funktionsgleichung bestimmen.
Schneidet der Graph die -Achse an einem anderen Punkt, können wir den Parameter der Exponentialfunktion ablesen. Bei handelt es sich um den -Achsenabschnitt. Mithilfe von und einem weiteren Punkt, der auf dem Graphen liegt, lässt sich auch ermitteln.

Beispiel 1
Die Gleichung des folgenden Funktionsgraphen soll bestimmt werden:

Da der Graph streng monoton steigt und oberhalb der -Achse verläuft, wissen wir, dass größer als ist. Zudem geht der Graph durch den Punkt , somit handelt es sich um eine Funktion der Form . Um zu berechnen, wählen wir uns einen weiteren Punkt, der auf dem Graphen liegt und setzen die Koordinaten in die Funktionsgleichung ein:

Die Funktionsgleichung lautet also:

Beispiel 2
Die Gleichung des folgenden Funktionsgraphen soll bestimmt werden:

Da der Graph streng monoton fällt und oberhalb der -Achse verläuft, wissen wir, dass kleiner als ist. Zudem geht der Graph durch den Punkt , somit handelt es sich um eine Funktion der Form . Um und zu berechnen, wählen wir uns zwei Punkte, die auf dem Graphen liegen, und setzen die Koordinaten in die Funktionsgleichung ein:

Wir wissen, dass alle Funktionsgraphen von Funktionen der Form durch den Punkt gehen. Daraus folgt:

Setzen wir diesen Wert für und die Koordinaten von für und in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir für :

Die Funktionsgleichung lautet also:

Die -Funktion oder natürliche Exponentialfunktion ist ein Spezialfall der Exponentialfunktion. Dabei bildet die eulersche Zahl die Basis der Funktion:

mit

Die Steigung der -Funktion entspricht in jedem Punkt genau ihrem Funktionswert. Daher ist die Ableitung von ebenfalls .

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion:

Diese wird benötigt, wenn die Exponentialfunktion nach aufgelöst werden soll. Die Umkehrfunktion der -Funktion ist die -Funktion (natürlicher Logarithmus ).

Beispiel

Für das Ableiten von Exponentialfunktionen gilt:

Um eine Exponentialfunktion abzuleiten, kannst du diese zunächst umschreiben als:

Die rechte Seite lässt sich nun einfach durch die Kettenregel ableiten.

Beispiel

Die Stammfunktion der Exponentialfunktion lautet:

Beispiel

An der folgenden Exponentialfunktion soll eine Kurvendiskussion durchgeführt werden:

Dabei handelt es sich nicht um eine reine Exponentialfunktion, sondern um eine verknüpfte Funktion, da die Variable nicht nur im Exponenten steht.

Der Definitionsbereich umfasst alle Zahlen, die für in die Funktionsgleichung eingesetzt werden können. Bei Exponentialfunktionen sind das alle reellen Zahlen. Es gilt also:

Beispiel
Da für alle reellen Zahlen in die Gleichung eingesetzt werden können, ist der Definitionsbereich der Funktion:

Exponentialfunktionen schneiden die -Achse maximal an einer Stelle. Setzen wir für in der Gleichung null ein, dann erhalten wir den -Achsenabschnitt.

Beispiel

Der Schnittpunkt mit der -Achse liegt bei .

Als Nullstellen werden die Schnittpunkte von Funktionen mit der -Achse bezeichnet. Exponentialfunktionen der Form besitzen keine Nullstellen. Sie nähern sich der -Achse lediglich an, schneiden diese jedoch nie. Ist die Funktion durch den Parameter nach oben oder unten verschoben oder mit einer anderen Funktion verknüpft, kann die Funktion eine Nullstelle besitzen. Diese erhalten wir, indem wir den Funktionswert setzen.

Beispiel

Da es sich um ein Produkt handelt, gilt der Satz vom Nullprodukt: Ist ein Faktor null, ist das Produkt ebenfalls null.
Wir müssen also schauen, für welche Zahlen einer der beiden Faktoren gleich null wird:

Egal welche Zahl im Exponenten steht, der zweite Faktor wird niemals null, denn Exponentialfunktionen haben für sich keine Nullstelle. Somit ergibt sich für diese Funktion eine Nullstelle bei .

Grenzwerte werden bestimmt, indem wir das Verhalten der Funktion betrachten, wenn gegen plus bzw. gegen minus unendlich läuft. Bei Exponentialfunktionen mit gilt:

Grenzwert gegen plus unendlich:

• für
• für

Grenzwert gegen minus unendlich:

• für
• für

Beispiel
Im Unendlichen dominiert stets der Teil der Funktion, der die Exponentialfunktion enthält. Den quadratischen Teil können wir in diesem Beispiel vernachlässigen.

Für gegen nähert sich der Graph der Funktion also asymptotisch der -Achse. Für gegen gehen die Funktionswerte gegen .

Für achsensymmetrische Funktionen gilt:

Für punktsymmetrische Funktionen gilt:

Keine der beiden Bedingungen ist für reine Exponentialfunktionen erfüllt. Reine Exponentialfunktionen sind weder achsen- noch punktsymmetrisch.

Beispiel
Achsensymmetrie:
Punktsymmetrie:

Die Funktion ist weder achsen- noch punktsymmetrisch.

Reine Exponentialfunktionen haben weder Hoch- noch Tiefpunkte. Als Verknüpfung mit anderen Funktionen können Extrema auftreten.
Zur Berechnung der Extrempunkte werden die ersten zwei Ableitungen der Funktion benötigt.

Beispiel
Zunächst berechnen wir die ersten beiden Ableitungen:

Wie genau du -Funktionen ableitest, lernst du im Text -Funktionen ableiten. Zunächst überprüfen wir die notwendige Bedingung. Dafür setzen wir die erste Ableitung gleich null:

Daraus ergeben sich die Nullstellen und . Nun müssen wir die hinreichende Bedingung prüfen. Dafür setzen wir die Nullstellen in die zweite Ableitung ein und überprüfen, ob sie an diesen Stellen ungleich null ist.

Um die Extrempunkte zu erhalten, benötigen wir die dazugehörigen -Werte. Dafür setzen wir die -Werte in die Gleichung ein und erhalten die Extrempunkte:

Der Graph dieser Funktion besitzt einen Tiefpunkt bei und einen Hochpunkt bei .

Reine Exponentialfunktionen besitzen keine Wendepunkte. Als Verknüpfung mit anderen Funktionen können Wendepunkte auftreten.
Zur Berechnung der Wendepunkte werden die ersten drei Ableitungen der Funktion benötigt.

Beispiel
Zunächst berechnen wir die dritte Ableitung der Funktion:

Nun setzen wir die zweite Ableitung gleich null:

Wir erhalten die Nullstellen:

Nun müssen wir die hinreichende Bedingung prüfen. Dafür setzen wir die Nullstellen in die dritte Ableitung ein und überprüfen, ob sie an diesen Stellen ungleich null ist.

Bei beiden Stellen handelt es sich also um Wendepunkte. Um die dazugehörigen -Werte zu berechnen, setzen wir die -Werte in die Ausgangsfunktion ein:

Der Graph dieser Funktion besitzt zwei Wendepunkte bei und bei .

Der Wertebereich umfasst alle für möglichen Werte. Bei einer Exponentialfunktion mit positivem liegt der Wertebereich zwischen der Asymptote der Funktion und plus unendlich. Bei einer Exponentialfunktion mit einem negativen liegt der Wertebereich zwischen minus unendlich und der Asymptote. Durch den Verschiebungsfaktor oder das Verknüpfen der Funktion kann sich dieser Wertebereich ändern.

Beispiel
Die Funktion nähert sich gegen gegen null, besitzt jedoch vorher einen Tiefpunkt bei . Somit umfasst der Wertbereich alle Zahlen größer gleich null:

Mithilfe einer Wertetabelle und den aus der Kurvendiskussion bekannten Punkten kann nun der Funktionsgraph der Exponentialfunktion gezeichnet werden.

Beispiel
Der Graph der Funktion sieht folgendermaßen aus:

Ist eine Textaufgabe gegeben, aus der eine Exponentialfunktion aufgestellt werden soll, ist es zunächst wichtig, die gegebenen Werte den entsprechenden Parametern zuzuordnen.

Aufgabe
Emma legt Euro zu einem Zinssatz von an. Wie lautet die Exponentialgleichung, die das Zinswachstum beschreibt? Wie viel Geld liegt nach Jahren auf dem Konto?

Lösung
Zunächst müssen die angegebenen Werte den entsprechenden Parametern zugeordnet werden. Bei handelt es sich um den Anfangswert. Daraus folgt:

Der Parameter ist der Wachstumsfaktor. Diesen berechnen wir als:

Setzen wir beide Werte in die Formel ein, erhalten wir die Exponentialfunktion:

Um zu berechnen, wie viel Geld nach Jahren auf dem Konto liegt, müssen wir für die einsetzen und erhalten:

Antwortsatz
Die Exponentialfunktion zur Aufgabe lautet und nach Jahren befinden sich Euro auf dem Konto.

Aufgabe
Der Baumbestand eines Walds nimmt jährlich um ab. Zu Beginn der Messung betrug die Waldfläche Hektar. Wie lautet die Exponentialgleichung, die die verbleibende Waldfläche nach Jahren beschreibt? Wie groß ist die Waldfläche Jahre nach Beginn der Messung?

Lösung
Der Anfangswert ist:

Der Wachstumsfaktor berechnet sich als:

Es wird minusgerechnet, da es sich um eine Abnahme handelt.
Setzen wir beide Werte in die Formel ein, erhalten wir die Exponentialfunktion:

Um die Waldfläche Jahre nach Beginn der Messung zu berechnen, setzen wir für die ein und erhalten den Wert:

Antwortsatz
Die Exponentialfunktion zur Aufgabe lautet und nach Jahren beträgt die Waldfläche noch Hektar.