Exponentialfunktionen – einfach erklärt
Inhaltsverzeichnis zum Thema Exponentialfunktionen
Exponentialfunktion – Definition Mathe
Exponentialfunktionen sind Funktionen der Form . Sie beschreiben exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall. Bei Exponentialfunktionen steht die Variable, z. B.
, immer im Exponenten. Der Parameter
ist die Basis von
und wird als Wachstumsfaktor der Exponentialfunktion bezeichnet. Die Basis ist immer positiv. Der Parameter
ist der Anfangswert oder Streckfaktor der Exponentialfunktion.
Ist die Basis , handelt es sich nicht um eine Exponentialfunktion, sondern um eine parallel zur
-Achse verlaufende lineare Funktion. Egal welcher Wert für
eingesetzt wird, der dazugehörige
-Wert ist gleich.
Mithilfe von Exponentialfunktionen kann das exponentielle Wachstum von Viren oder Bakterien beschrieben werden. Aber auch die Halbwertszeit von radioaktiven Stoffen lässt sich mithilfe von Exponentialfunktionen bestimmen.
Exponentialfunktion – Beispiel:
Der Graph zur Funktion hat die folgende Form:

Der Graph einer Exponentialfunktion wird auch als Exponentialkurve bezeichnet.
Tritt nur im Exponenten einer Funktion auf, sprechen wir von einer reinen Exponentialfunktion. Existiert ein zusätzliches
außerhalb des Exponenten, handelt es sich um eine verknüpfte Funktion.
Beispiel:
Exponentialfunktion – allgemeine Formel
Die allgemeine Funktionsgleichung der Exponentialfunktion lautet:
mit
und
Die Variable steht bei Exponentialfunktionen immer im Exponenten.
Beispiel: Ist die Basis , verdoppelt sich der Wert der Funktion mit jedem Schritt.
Exponentialfunktion – Eigenschaften des Funktionsgraphen
Der Funktionsgraph einer Exponentialfunktion verläuft entweder streng monoton steigend (exponentielles Wachstum) oder streng monoton fallend (exponentieller Zerfall).
Der Parameter beeinflusst die Steigung des Graphen der Funktion. Dabei gilt:
: streng monoton steigend
Je größerist, desto steiler verläuft der Graph der Funktion.
: streng monoton fallend
Je kleinerist, desto schneller fällt der Graph der Funktion.
Der Parameter gibt bei
den Schnittpunkt mit der
-Achse an, da
.

Für Exponentialfunktionen der Form gilt:
- Wertebereich:
- Asymptote:
-Achse
- Symmetrie: keine
- Nullstellen: keine
- Monotonie: streng monoton steigend für
, streng monoton fallend für
- Sie gehen immer durch die Punkt
und
.
Exponentialfunktionen – verschieben, strecken, stauchen und spiegeln an der -Achse
Neben dem Parameter können weitere Parameter den Verlauf des Funktionsgraphen einer Exponentialfunktion beeinflussen.
Streckung, Stauchung und Spiegelung der Funktion
Der sogenannte Streckfaktor streckt, staucht oder spiegelt die Exponentialfunktion. Dabei gilt:
: Streckung des Graphen
: Stauchung des Graphen
: Spiegelung des Graphen an der
-Achse
: Umkehrung des Monotonieverhaltens
Für gilt:
- Je größer
ist, desto weiter oben schneidet die Funktion die
-Achse.
entspricht dem Schnittpunkt mit der
-Achse.
Für gilt:
- Der Funktionsgraph ist an der
-Achse gespiegelt.
- Je kleiner
, desto weiter unten schneidet die Funktion die
-Achse.
Eigenschaften
Für Exponentialfunktionen der Form gilt:
- Wertebereich für
:
- Wertebereich für
:
- Asymptote:
-Achse
- Symmetrie: keine
- Nullstellen: keine
- Monotonie: streng monoton steigend für
und
sowie
und
, streng monoton fallend für
und
sowie
und
- Sie gehen immer durch die Punkt
und
.
Beispiele
Der Graph der Funktion verläuft oberhalb der
-Achse und geht durch die Punkte
und
.

Der Graph der Funktion verläuft ebenfalls oberhalb der
-Achse und geht durch die Punkte
und
.

Verschieben in -Richtung
Durch die Verschiebungskonstante wird die Funktion um
Einheiten in
-Richtung verschoben. Dabei gilt:
: Verschiebung nach links
: Verschiebung nach rechts
Die Funktionsgleichung lautet dann:
Die Verschiebung in Richtung der -Achse kann auch als Streckung oder Stauchung geschrieben werden. Durch die Potenzgesetze gilt:
Die Verschiebung um Einheiten entspricht also einer Streckung mit dem Faktor
.
Verschiebung in -Richtung
Durch die Verschiebungskonstante wird die Funktion um
Einheiten in Richtung der
-Achse verschoben. Dabei gilt:
: Verschiebung nach oben
: Verschiebung nach unten
Die Funktionsgleichung lautet dann:
Durch die Verschiebung nach oben oder unten verschiebt sich auch die Asymptote der Exponentialfunktion zu . Zudem kann durch die Verschiebung nach unten (bei positiven
) eine Nullstelle entstehen. Bei der Verschiebung nach oben kann eine Nullstelle entstehen, wenn
negativ ist. Zudem ändert sich der Wertebereich der Funktion z. B. zu
für
.
Exponentialfunktion zeichnen
Wie lineare und quadratische Funktionen lassen sich auch Exponentialfunktionen mithilfe von Wertetabellen zeichnen. Um den Graphen einer Exponentialfunktion in ein Koordinatensystem zu zeichnen, erstellen wir also zunächst eine Wertetabelle.
Dafür wählen wir verschiedene -Werte und berechnen die zugehörigen
-Werte. Die so entstandenen Wertepaare können im Anschluss in ein Koordinatensystem eingetragen werden. Die Punkte werden dann zum Graphen der Funktion verbunden.
Beachte: Jede Exponentialfunktion besitzt eine waagrechte Asymptote bei , das heißt eine Linie, der sich der Graph nähert, sie jedoch nie berührt. Beim Einzeichnen musst du beachten, dass der Graph diese Linie nicht berührt oder schneidet.
Beispiel
Die folgende Funktion soll gezeichnet werden:
Da die Funktion die Form hat und
positiv ist, liegt die Funktion oberhalb der
-Achse und hat eine Asymptote bei
. Zudem schneidet sie die
-Achse bei
. Weitere Punkte können wir mithilfe einer Wertetabelle berechnen:
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Diese Punkte können wir nun in einem Koordinatensystem abtragen und zum Graphen der Funktion verbinden.

Exponentialfunktion – Funktionsgleichung bestimmen
Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lässt sich anhand von Punkten, die Teil der Lösungsmenge sind, oder anhand des Graphen der Funktion bestimmen.
Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufstellen
Die Exponentialfunktionen der Form lassen sich mithilfe von einem Punkt bestimmen. Alle Funktionen dieser Form gehen durch den Punkt
, schneiden sich jedoch in keinem weiteren Punkt. Es muss also ein Punkt (außer
) gegeben sein, um die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion der Form
aufzustellen.
Kennen wir einen Punkt, der auf dem Graphen der Exponentialfunktion liegt, können wir den -Wert und den
-Wert in die Funktionsgleichung einsetzen und erhalten durch Äquivalenzumformung den Wert für
.
Besitzt die Funktion zusätzlich einen Streckfaktor , müssen zwei Punkte gegeben sein, um die Funktionsgleichung zu bestimmen. Wir erstellen zwei Gleichungen, indem wir die Koordinaten der beiden Punkte jeweils in die Funktionsgleichung einsetzen. Eine der beiden Gleichungen stellen wir im Anschluss nach
um und setzen den für
erhaltenen Term in die andere Gleichung ein. Somit können wir
berechnen. Den Wert für
setzen wir im Anschluss in eine der beiden Gleichungen ein, um
zu ermitteln.
Besonders einfach ist das Bestimmen der Funktionsgleichung, wenn wir die Punkte mit den -Werten
und
wählen. Für diese gilt:
So können und
sehr einfach bestimmt werden.
Enthält die Gleichung zusätzlich noch einen dritten oder vierten Parameter ( und
), müssen entsprechend ein dritter und vierter Punkt oder andere zusätzliche Informationen, z. B. zur Asymptote der Funktion, gegeben sein, um die Funktionsgleichung zu bestimmen.
Beispiel
Eine Exponentialfunktion der Form geht durch die Punkte
und
. Wie lautet die Funktionsgleichung?
Zunächst setzen wir beide Punkte in die Funktion ein und erhalten die Gleichungen:
Nun können wir die erste Gleichung nach umstellen:
Diesen Term können wir nun für in die zweite Gleichung einsetzen und zusammenfassen:
Nun können wir diese Gleichung nach auflösen und erhalten:
Durch das Einsetzen von erhalten wir für
:
Die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion lautet:
Exponentialfunktion – Funktionsgleichung aus Graphen bestimmen
Ist uns der Graph einer Exponentialfunktion gegeben, können wir bereits an der Steigung erkennen, ob größer oder kleiner als
ist. Verläuft der Graph oberhalb der
-Achse, ist für
die Funktion streng monoton steigend, für
ist die Funktion streng monoton fallend. Geht der Graph zusätzlich durch den Punkt
, handelt es sich um eine Exponentialfunktion der Form
. Das bedeutet, wir wählen einen weiteren Punkt auf dem Graphen und können damit die Funktionsgleichung bestimmen.
Schneidet der Graph die -Achse an einem anderen Punkt, können wir den Parameter
der Exponentialfunktion ablesen. Bei
handelt es sich um den
-Achsenabschnitt. Mithilfe von
und einem weiteren Punkt, der auf dem Graphen liegt, lässt sich auch
ermitteln.
Beispiel 1
Die Gleichung des folgenden Funktionsgraphen soll bestimmt werden:

Da der Graph streng monoton steigt und oberhalb der -Achse verläuft, wissen wir, dass
größer als
ist. Zudem geht der Graph durch den Punkt
, somit handelt es sich um eine Funktion der Form
. Um
zu berechnen, wählen wir uns einen weiteren Punkt, der auf dem Graphen liegt und setzen die Koordinaten in die Funktionsgleichung ein:
Die Funktionsgleichung lautet also:
Beispiel 2
Die Gleichung des folgenden Funktionsgraphen soll bestimmt werden:

Da der Graph streng monoton fällt und oberhalb der -Achse verläuft, wissen wir, dass
kleiner als
ist. Zudem geht der Graph durch den Punkt
, somit handelt es sich um eine Funktion der Form
. Um
und
zu berechnen, wählen wir uns zwei Punkte, die auf dem Graphen liegen, und setzen die Koordinaten in die Funktionsgleichung ein:
Wir wissen, dass alle Funktionsgraphen von Funktionen der Form durch den Punkt
gehen. Daraus folgt:
Setzen wir diesen Wert für und die Koordinaten von
für
und
in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir für
:
Die Funktionsgleichung lautet also:
Die natürliche Exponentialfunktion
Die -Funktion oder natürliche Exponentialfunktion ist ein Spezialfall der Exponentialfunktion. Dabei bildet die eulersche Zahl
die Basis der Funktion:
mit
Die Steigung der -Funktion entspricht in jedem Punkt genau ihrem Funktionswert. Daher ist die Ableitung von
ebenfalls
.
Umkehrfunktion von Exponentialfunktionen
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion:
Diese wird benötigt, wenn die Exponentialfunktion nach aufgelöst werden soll. Die Umkehrfunktion der
-Funktion ist die
-Funktion (natürlicher Logarithmus
).
Beispiel
Exponentialfunktion – Ableitung
Für das Ableiten von Exponentialfunktionen gilt:
Um eine Exponentialfunktion abzuleiten, kannst du diese zunächst umschreiben als:
Die rechte Seite lässt sich nun einfach durch die Kettenregel ableiten.
Beispiel
Exponentialfunktion integrieren
Exponentialfunktion – Kurvendiskussion Beispiel
An der folgenden Exponentialfunktion soll eine Kurvendiskussion durchgeführt werden:
Dabei handelt es sich nicht um eine reine Exponentialfunktion, sondern um eine verknüpfte Funktion, da die Variable nicht nur im Exponenten steht.
Exponentialfunktion – Definitionsbereich
Der Definitionsbereich umfasst alle Zahlen, die für in die Funktionsgleichung eingesetzt werden können. Bei Exponentialfunktionen sind das alle reellen Zahlen. Es gilt also:
Beispiel
Da für alle reellen Zahlen in die Gleichung eingesetzt werden können, ist der Definitionsbereich der Funktion:
Exponentialfunktionen – -Achsenabschnitt
Exponentialfunktionen schneiden die -Achse maximal an einer Stelle. Setzen wir für
in der Gleichung null ein, dann erhalten wir den
-Achsenabschnitt.
Beispiel
Der Schnittpunkt mit der -Achse liegt bei
.
Exponentialfunktion – Nullstellen
Als Nullstellen werden die Schnittpunkte von Funktionen mit der -Achse bezeichnet. Exponentialfunktionen der Form
besitzen keine Nullstellen. Sie nähern sich der
-Achse lediglich an, schneiden diese jedoch nie. Ist die Funktion durch den Parameter
nach oben oder unten verschoben oder mit einer anderen Funktion verknüpft, kann die Funktion eine Nullstelle besitzen. Diese erhalten wir, indem wir den Funktionswert
setzen.
Beispiel
Da es sich um ein Produkt handelt, gilt der Satz vom Nullprodukt: Ist ein Faktor null, ist das Produkt ebenfalls null.
Wir müssen also schauen, für welche Zahlen einer der beiden Faktoren gleich null wird:
Egal welche Zahl im Exponenten steht, der zweite Faktor wird niemals null, denn Exponentialfunktionen haben für sich keine Nullstelle. Somit ergibt sich für diese Funktion eine Nullstelle bei .
Exponentialfunktionen – Grenzwerte
Grenzwerte werden bestimmt, indem wir das Verhalten der Funktion betrachten, wenn gegen plus bzw. gegen minus unendlich läuft. Bei Exponentialfunktionen mit
gilt:
Grenzwert gegen plus unendlich:
für
für
Grenzwert gegen minus unendlich:
für
für
Beispiel
Im Unendlichen dominiert stets der Teil der Funktion, der die Exponentialfunktion enthält. Den quadratischen Teil können wir in diesem Beispiel vernachlässigen.
Für gegen
nähert sich der Graph der Funktion also asymptotisch der
-Achse. Für
gegen
gehen die Funktionswerte gegen
.
Exponentialfunktion – Symmetrie
Für achsensymmetrische Funktionen gilt:
Für punktsymmetrische Funktionen gilt:
Keine der beiden Bedingungen ist für reine Exponentialfunktionen erfüllt. Reine Exponentialfunktionen sind weder achsen- noch punktsymmetrisch.
Beispiel
Achsensymmetrie:
Punktsymmetrie:
Die Funktion ist weder achsen- noch punktsymmetrisch.
Exponentialfunktion – Hoch- und Tiefpunkte
Reine Exponentialfunktionen haben weder Hoch- noch Tiefpunkte. Als Verknüpfung mit anderen Funktionen können Extrema auftreten.
Zur Berechnung der Extrempunkte werden die ersten zwei Ableitungen der Funktion benötigt.
Beispiel
Zunächst berechnen wir die ersten beiden Ableitungen:
Wie genau du -Funktionen ableitest, lernst du im Text
-Funktionen ableiten. Zunächst überprüfen wir die notwendige Bedingung. Dafür setzen wir die erste Ableitung gleich null:
Daraus ergeben sich die Nullstellen und
. Nun müssen wir die hinreichende Bedingung prüfen. Dafür setzen wir die Nullstellen in die zweite Ableitung ein und überprüfen, ob sie an diesen Stellen ungleich null ist.
Um die Extrempunkte zu erhalten, benötigen wir die dazugehörigen -Werte. Dafür setzen wir die
-Werte in die Gleichung ein und erhalten die Extrempunkte:
Der Graph dieser Funktion besitzt einen Tiefpunkt bei und einen Hochpunkt bei
.
Exponentialfunktion – Wendepunkte
Reine Exponentialfunktionen besitzen keine Wendepunkte. Als Verknüpfung mit anderen Funktionen können Wendepunkte auftreten.
Zur Berechnung der Wendepunkte werden die ersten drei Ableitungen der Funktion benötigt.
Beispiel
Zunächst berechnen wir die dritte Ableitung der Funktion:
Nun setzen wir die zweite Ableitung gleich null:
Wir erhalten die Nullstellen:
Nun müssen wir die hinreichende Bedingung prüfen. Dafür setzen wir die Nullstellen in die dritte Ableitung ein und überprüfen, ob sie an diesen Stellen ungleich null ist.
Bei beiden Stellen handelt es sich also um Wendepunkte. Um die dazugehörigen -Werte zu berechnen, setzen wir die
-Werte in die Ausgangsfunktion ein:
Der Graph dieser Funktion besitzt zwei Wendepunkte bei und bei
.
Exponentialfunktion – Wertebereich
Der Wertebereich umfasst alle für möglichen Werte. Bei einer Exponentialfunktion mit positivem
liegt der Wertebereich zwischen der Asymptote der Funktion und plus unendlich. Bei einer Exponentialfunktion mit einem negativen
liegt der Wertebereich zwischen minus unendlich und der Asymptote. Durch den Verschiebungsfaktor
oder das Verknüpfen der Funktion kann sich dieser Wertebereich ändern.
Beispiel
Die Funktion nähert sich gegen gegen null, besitzt jedoch vorher einen Tiefpunkt bei
. Somit umfasst der Wertbereich alle Zahlen größer gleich null:
Funktionsgraph zeichnen
Mithilfe einer Wertetabelle und den aus der Kurvendiskussion bekannten Punkten kann nun der Funktionsgraph der Exponentialfunktion gezeichnet werden.
Beispiel
Der Graph der Funktion sieht folgendermaßen aus:

Exponentialfunktion aufstellen
Ist eine Textaufgabe gegeben, aus der eine Exponentialfunktion aufgestellt werden soll, ist es zunächst wichtig, die gegebenen Werte den entsprechenden Parametern zuzuordnen.
Beispiel – exponentielles Wachstum
Aufgabe
Emma legt Euro zu einem Zinssatz von
an. Wie lautet die Exponentialgleichung, die das Zinswachstum beschreibt? Wie viel Geld liegt nach
Jahren auf dem Konto?
Lösung
Zunächst müssen die angegebenen Werte den entsprechenden Parametern zugeordnet werden. Bei handelt es sich um den Anfangswert. Daraus folgt:
Der Parameter ist der Wachstumsfaktor. Diesen berechnen wir als:
Setzen wir beide Werte in die Formel ein, erhalten wir die Exponentialfunktion:
Um zu berechnen, wie viel Geld nach Jahren auf dem Konto liegt, müssen wir für
die
einsetzen und erhalten:
Antwortsatz
Die Exponentialfunktion zur Aufgabe lautet und nach
Jahren befinden sich
Euro auf dem Konto.
Beispiel – exponentieller Zerfall
Aufgabe
Der Baumbestand eines Walds nimmt jährlich um ab. Zu Beginn der Messung betrug die Waldfläche
Hektar. Wie lautet die Exponentialgleichung, die die verbleibende Waldfläche nach
Jahren beschreibt? Wie groß ist die Waldfläche
Jahre nach Beginn der Messung?
Lösung
Der Anfangswert ist:
Der Wachstumsfaktor berechnet sich als:
Es wird minusgerechnet, da es sich um eine Abnahme handelt.
Setzen wir beide Werte in die Formel ein, erhalten wir die Exponentialfunktion:
Um die Waldfläche Jahre nach Beginn der Messung zu berechnen, setzen wir für
die
ein und erhalten den Wert:
Antwortsatz
Die Exponentialfunktion zur Aufgabe lautet und nach
Jahren beträgt die Waldfläche noch
Hektar.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Exponentialfunktionen