Matrizen – Definition, Eigenschaften und Anwendungen
Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema von Zahlen, das verschiedene mathematische Operationen ermöglicht. Erfahre mehr über Matrizen, ihre Eigenschaften wie Ordnung und Typen, Rechenregeln und Anwendungen wie Flächenberechnung und lineare Gleichungssysteme.
Inhaltsverzeichnis zum Thema Matrizen
Das Quiz zum Thema: Matrizen
Was bezeichnet man als Matrix in der Mathematik?
Frage 1 von 5
Wie nennt man eine Matrix mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten?
Frage 2 von 5
Welche Eigenschaft muss erfüllt sein, um zwei Matrizen miteinander multiplizieren zu können?
Frage 3 von 5
Was bedeutet es, wenn eine Matrix symmetrisch ist?
Frage 4 von 5
Wie wird die Transponierte einer Matrix berechnet?
Frage 5 von 5
Wie willst du heute lernen?
Matrizen – Definition und Eigenschaften
Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema von Zahlen, ähnlich wie eine Tabelle, ein magisches Quadrat oder ein ausgefülltes Sudoku. Anders als mit Tabellen kann mit Matrizen in der Mathematik direkt gerechnet werden. Dabei gelten ähnliche Rechenregel wie beim Rechnen mit Zahlen. Matrizen werden zum Beispiel verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, um Vektoren auf lineare Unabhängigkeit zu testen oder um das Volumen eines Parallelotops zu berechnen.
Definition der Matrix
In der Mathematik ist eine Matrix ein rechteckiges Schema von Zahlen, das von runden Klammern umschlossen wird. Die Zahlen in der Matrix nennt man die Einträge der Matrix.
Matrizen benennt man in der Regel durch lateinische Großbuchstaben: ,
,
, …,
, …,
,
usw. Die Einträge der Matrix bezeichnet man mit den zugehörigen Kleinbuchstaben. Hier ist ein Beispiel:
Alle Zahlen, die in einer Matrix vertikal untereinander stehen, bilden zusammen jeweils eine Spalte der Matrix. Alle Zahlen, die horizontal nebeneinander stehen, bilden jeweils eine Zeile der Matrix.
In unserem Beispiel oben ist
die zweite Zeile der Matrix und
die dritte Spalte von .
Die Ordnung einer Matrix gibt an, wie viele Zeilen und Spalten die Matrix hat. Die erste Zahl benennt die Anzahl der Zeilen, die zweite Zahl die Anzahl der Spalten. Die Matrix in unserem Beispiel hat
Zeilen und
Spalten, daher ist
eine
-Matrix.
Will man die Anzahl der Zeilen und Spalten nicht ausdrücklich festlegen, verwendet man meistens die Variablen für die Anzahl der Zeilen und
für die Anzahl der Spalten. Eine
–Matrix hat also
Zeilen und
Spalten.
Um die Einträge in einer Matrix benennen zu können, verwendet man einen Doppelindex . Die Variablen
und
sind Platzhalter für Zahlen, die die Zeile und die Spalte der Matrix bezeichnen. Der Doppelindex wird als zwei einzelne Zahlen gelesen, geschrieben wird er ohne Kommatrennung. Den Doppelindex
lesen wir beispielsweise als „zwei drei“
Die beiden Zahlen des Doppelindex geben an, an welcher Stelle in der Matrix der Eintrag steht. Die erste Zahl benennt die Zeile, die zweite Zahl die Spalte: Der Eintrag
einer Matrix
steht in der
-ten Zeile und
-ten Spalte.
In unserem Beispiel oben ist also , denn in der zweiten Zeile von
steht in der ersten Spalte die Zahl
.
Beachte, dass es in der Regel nur möglich ist, zu sagen, welche Zahl in der Matrix an der Stelle steht, aber nicht umgekehrt, an welcher Stelle
eine vorgegebene Zahl steht. Denn die Zahlen in der Matrix können mehrfach vorkommen. In unserem Beispiel steht die Zahl
sowohl in der ersten Zeile der ersten Spalte als auch in der dritten Zeile der zweiten Spalte. Daher ist
.
Typen von Matrizen
Es gibt viele verschiedene Typen von Matrizen. Im Allgemeinen ist die Anzahl der Zeilen einer Matrix ungleich der Anzahl der Spalten.
- Matrizen, die nur eine Zeile oder Spalte haben, können als Vektoren aufgefasst werden. Dabei ist eine
-Matrix ein Spaltenvektor, eine
-Matrix heißt Zeilenvektor.
- Matrizen mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten nennt man quadratische Matrizen. Zum Beispiel sind
-Matrizen und
-Matrizen quadratisch, aber
-Matrizen und
-Matrizen sind nicht quadratisch.
- Eine Matrix heißt symmetrisch, wenn ihre Zeilen und Spalten übereinstimmen, d. h., wenn die erste Zeile gleich der ersten Spalte ist, die zweite Zeile gleich der zweiten Spalte usw. Hier ist ein Beispiel und ein Gegenbeispiel:
Die Matrixist symmetrisch, die Matrix
ist nicht symmetrisch.
- Eine symmetrische Matrix heißt Diagonalmatrix, wenn alle Einträge mit zwei verschiedenen Indexen null sind. Die Einträge, bei denen beide Zahlen des Doppelindex übereinstimmen, heißen Diagonaleinträge. Bei einer Diagonalmatrix sind also höchstens die Diagonaleinträge von null verschieden. Aber auch Diagonaleinträge dürfen null sein. Hier sind zwei Beispiele und Gegenbeispiele:
Die Matrizenund
sind Diagonalmatrizen. Die Matrizenund
sind keine Diagonalmatrizen.
- Ein spezieller Typ von Diagonalmatrizen sind die Einheitsmatrizen. Eine Matrix heißt Einheitsmatrix, wenn für alle Einträge der Form
gilt:
, und für alle anderen Einträge (also alle Einträge
mit
) gilt:
. Mit anderen Worten: Eine Einheitsmatrix ist eine Diagonalmatrix, bei der auf der Diagonalen überall
steht. Zu jeder natürlichen Zahl
gibt es genau eine Einheitsmatrix der Ordnung
. Im Folgenden siehst du als Beispiel die Einheitsmatrizen der Ordnung
,
und
:
Rechnen mit Matrizen
Wir wollen nun die wichtigsten Rechenregeln beim Rechnen mit Matrizen betrachten.
Addition und Skalar-Multiplikation von Matrizen
Zwei Matrizen der gleichen Ordnung kann man addieren. Dabei werden alle Einträge einzeln addiert und das Ergebnis ist wieder eine Matrix der gleichen Ordnung. Diese Addition von Matrizen wird durch ein Beispiel einfach erklärt:
Wir addieren die Matrizen
und
Die Summe ist die Matrix
Eine Matrix kann auch mit einem Skalar, also einer reellen Zahl, multipliziert werden. Diese Skalar-Multiplikation geht genauso wie bei Vektoren: Wir multiplizieren jeden einzelnen Eintrag mit dem Skalar.
Wir schauen uns das an einem Beispiel an und multiplizieren die Matrix mit dem Skalar
:
Durch diese Addition und Skalar-Multiplikation können wir mit Matrizen der gleichen Ordnung rechnen.
Multiplikation von Vektoren mit Matrizen
Eine -Matrix
kann man mit einem Vektor
der Länge
multiplizieren. Das Produkt
ist wieder ein Vektor der Länge
. Die
-te Komponente des Vektors
erhältst du, indem du das Skalarprodukt der
-ten Zeile von
mit dem Vektor
berechnest. Wir verdeutlichen das an einem Beispiel und multiplizieren die Matrix
mit dem Vektor
Das Produkt ist der Vektor
Multiplikation von Matrizen
Eine weitere Rechenoperation mit Matrizen ist die Matrix-Multiplikation. Zwei Matrizen und
beliebiger Ordnung können nicht miteinander multipliziert werden. Um das Produkt
berechnen zu können, muss die Anzahl der Spalten von
mit der Anzahl der Zeilen von
übereinstimmen. Die Matrix
hat dann genauso viele Zeilen wie
und genauso viele Spalten wie
. Mit anderen Worten: Eine
-Matrix
kann mit einer
-Matrix multipliziert werden. Als Produkt
ergibt sich eine
-Matrix.
Die Einträge von werden folgendermaßen berechnet: An der Stelle
steht das Skalarprodukt der
-ten Zeile von
mit der
-ten Spalte von
:
Wir zeigen das an einem konkreten Beispiel und berechnen das Produkt der Matrizen
und
ist eine
-Matrix und
eine
-Matrix. Wir können die Matrizen multiplizieren, weil
genauso viele Spalten hat, wie
Zeilen hat. Das Produkt
ist die folgende
-Matrix:
Die Matrizen und
aus unserem Beispiel können wir auch umgekehrt multiplizieren, denn die Anzahl der Spalten von
ist gleich der Anzahl der Zeilen von
. Das Produkt
ist dann eine
-Matrix:
An diesen Beispielen erkennst du deutlich, dass die Matrix-Multiplikation nicht kommutativ ist: Die Matrizen und
sind nicht gleich. In unserem Beispiel haben
und
nicht einmal die gleiche Ordnung.
Quadratische Matrizen der gleichen Ordnung können immer in beiden Richtungen miteinander multipliziert werden. Aber auch hier ist die Matrix-Multiplikation nicht kommutativ. Wir zeigen wieder ein Beispiel und multiplizieren die Matrizen
und
Die beiden Produkte sind:
und
Matrizen transponieren
Eine weitere wichtige Rechenoperation mit Matrizen ist die Transposition. Die Transponierte einer Matrix
erhältst du, indem du die Zeilen und Spalten der Matrix vertauschst: Aus der ersten Zeile wird die erste Spalte (und umgekehrt), aus der zweiten Zeile wird die zweite Spalte usw. Die Transponierte einer
-Matrix ist dann eine
-Matrix.
Wir machen das an einem Beispiel deutlich: Die Transponierte der Matrix
ist die Matrix
Im Allgemeinen kannst du die Einträge der transponierten Matrix bestimmen, indem du bei den Einträgen der Matrix die beiden Zahlen des Doppelindex vertauscht. Steht in der Matrix
in der
-ten Zeile und
-ten Spalte der Eintrag
, ist es bei der transponierten Matrix umgekehrt: An der Stelle
steht der Eintrag
aus der Matrix
, d. h.
.
Bei symmetrischen Matrizen kann die Transposition auch benutzt werden, um zu überprüfen, ob die Matrix symmetrisch ist: Eine Matrix ist genau dann symmetrisch, wenn gilt: .
Die Determinante
Die Determinante einer Matrix
ist eine Zahl
. Sie existiert nur für quadratische Matrizen. Für die Determinante einer Matrix sind die Bezeichnungen
,
oder
geläufig.
Wir zeigen hier die Berechnung der Determinante für -Matrizen und für
-Matrizen. Die Berechnung der Determinante einer
-Matrix geht ähnlich, ist aber etwas umfangreicher.
Die Formel für die Determinante einer -Matrix lautet:
Du multipliziert also die Einträge auf der Diagonalen und subtrahierst davon das Produkt der beiden anderen Einträge. Wir berechnen ein konkretes Beispiel:
Die Formel für die Determinante einer -Matrix lautet:
Du multiplizierst die Einträge auf den drei Hauptdiagonalen (die von links oben nach rechts unten verlaufen) und subtrahierst davon die Produkte der drei Nebendiagonalen.
Wir berechnen wieder ein konkretes Beispiel:
Anwendungen von Matrizen
Matrizen haben in der Mathematik viele verschiedene Anwendungen. Wir erklären im folgenden die Anwendung von Matrizen
- zur Flächen- und Volumenberechnung,
- zum Testen von Vektoren auf lineare Unabhängigkeit,
- zur Formulierung linearer Gleichungssysteme und
- bei Berechnungen mit Übergangsmatrizen.
Berechnung von Flächeninhalten und Volumina
Die Determinante einer Matrix wird verwendet, um Flächeninhalte oder Volumina zu berechnen. Für Flächeninhalte wird eine -Matrix, für Volumina eine
-Matrix genutzt.
Flächeninhalt von Dreiecken und Parallelogrammen
Die Determinante ist ein gutes Werkzeug, um den Flächeninhalt von Parallelogrammen oder Dreiecken in der Ebene zu berechnen. Du benötigst nur die Koordinaten der drei Eckpunkte ,
und
des Dreiecks.

In unserem Beispiel ist ,
und
. Aus den Koordinaten berechnest du die Verbindungsvektoren
und
Nun schreibst du diese beiden Vektoren als Spalten in eine Matrix . Dabei soll die Reihenfolge der Vektoren so sein, dass die Drehung vom ersten zum zweiten Vektor gegen den Uhrzeigersinn erfolgt. Mit anderen Worten: Die Vektoren sollen eine rechtshändig orientierte Basis bilden. In unserem Beispiel ist
die richtige Reihenfolge. Wir erhalten also die Matrix:
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist:
Was passiert, wenn die Vektoren ,
nicht rechtshändig orientiert sind? Das können wir einfach erklären, indem wir in der Matrix oben die beiden Spalten vertauschen:
Wenn wir jetzt in die Formel für den Flächeninhalt einsetzen, erhalten wir:
Die falsche Reihenfolge der Spaltenvektoren ändert das Vorzeichen der Determinante. Wenn du über die Reihenfolge der Vektoren nicht nachdenken willst, kannst du in der Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks immer den Betrag der Determinante nehmen. Dann erhältst du automatisch das richtige Vorzeichen:
Analog zum Flächeninhalt von Dreiecken berechnest du auch den Flächeninhalt des von zwei Vektoren und
aufgespannten Parallelogramms
. In unserem Beispiel mit
und
ist das von
und
aufgespannte Parallelogramm genau die Verdoppelung des Dreiecks
. Daher ist der Flächeninhalt des Parallelogramms doppelt so groß wie der des Dreiecks: Du schreibst die Vektoren
und
als Spalten in eine Matrix
und berechnest den Betrag der Determinante dieser Matrix:
Volumen von Parallelotopen
Drei linear unabhängige Vektoren ,
und
im dreidimensionalen Raum spannen ein Parallelotop
auf. Ein Parallelotop ist die dreidimensionale Verallgemeinerung eines Parallelogramms. Das Volumen dieses Parallelotops berechnest du ganz analog zum Flächeninhalt eines Parallelogramms in der zweidimensionalen Ebene: Du schreibst die drei Vektoren als Spalten in eine Matrix
. Das Volumen des Parallelotops
ist der Betrag der Determinante von
:

Wir berechnen als Beispiel das Volumen des von den Vektoren
und
und
aufgespannten Parallelotops
:
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
Vektoren im dreidimensionalen Raum kannst du mithilfe der Determinante auf lineare Unabhängigkeit testen. Die Vektoren ,
und
sind genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante der Matrix
mit diesen Vektoren als Spalten ungleich null ist:
linear unabhängig
Wir erläutern das an einem Beispiel und betrachten die Vektoren
,
und
Auf den ersten Blick ist nicht zu erkennen, ob die Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind. Wir schreiben die Vektoren als Spalten in die Matrix :
Nun berechnen wir die Determinante dieser Matrix:
Die Vektoren ,
und
sind also linear abhängig.
Lineare Gleichungssysteme mit Matrizen lösen
Die Informationen eines linearen Gleichungssystems können in Form einer quadratischen Matrix und eines Vektors notiert werden. Das Rechenverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme kann dann auf die Matrix und den Vektor der rechten Seite angewendet werden. Wir zeigen an einem Beispiel, wie du aus einem linearen Gleichungssystem die Matrix und den Vektor der rechten Seite gewinnst.
Als Beispiel verwenden wir das lineare Gleichungssystem:
Die Koeffizientenmatrix dieses linearen Gleichungssystems wird aus den Koeffizienten der Variablen in den einzelnen Gleichungen gebildet. Wir schreiben die Koeffizienten der ersten Gleichung in die erste Zeile. Dabei steht der Koeffizient von
in der ersten Spalte, der Koeffizient von
in der zweiten Spalte usw. Vor der Variablen
steht kein Koeffizient, dort ergänzen wir
als Koeffizienten.
In die zweite Zeile schreiben wir die Koeffizienten der zweiten Gleichung usw. In der dritten Zeile müssen wir beachten, dass die Variable nicht vorkommt. Wir ergänzen daher den Koeffizienten
.
So erhalten wir die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems:
Die Zahlen auf der rechten Seite des linearen Gleichungssystems schreiben wir in einen Vektor :
Die Variablen ,
und
schreiben wir ebenfalls in einen Vektor:
Mithilfe der Multiplikation von Matrizen und Vektoren können wir das lineare Gleichungssystem in der Form schreiben. Mit der Matrix
und den Vektoren
und
sieht das so aus:
Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, kannst du Additions- und Subtraktionsverfahren direkt auf eine erweiterte Koeffizientenmatrix anwenden: Du ergänzt die Matrix um den Vektor der rechten Seite. Die erweiterte Koeffizientenmatrix
sieht in unserem Beispiel so aus:
Indem du mit der erweiterten Koeffizientenmatrix rechnest, ersparst du dir, in jeder Umformung alle Variablen mitzuschreiben. Auf diese Weise lässt sich das Lösen linearer Gleichungssysteme mit dem gaußschen Eliminationsverfahren durch die Matrizenrechnung sehr effizient organisieren.
Berechnungen mit Übergangsmatrizen
Wir zeigen an einem Beispiel, wie eine Matrix aus einer Sachaufgabe abgeleitet wird und die Matrizenrechnung hilft, die Aufgabe zu lösen:
Gegeben sind drei Stromanbieter mit Namen ,
und
. Die Unternehmen analysieren die Kundenbewegungen im Jahresdurchschnitt: Unternehmen
verliert jährlich im Durchschnitt
seiner Kunden an Unternehmen
und
seiner Unternehmen an das Unternehmen
, die restlichen
sind Bestandskunden. Der Stromanbieter
verliert nur
seiner Kunden an
, aber keine an
. Und
verliert
seiner Kunden an
und
seiner Kunden an
. Zum Zeitpunkt
betragen die Marktanteile der Unternehmen
für Unternehmen
und
für Unternehmen
. Da es zu diesem Zeitpunkt nur drei Unternehmen am Markt gibt, besteht der Marktanteil des Unternehmens
aus den verbleibenden
.
Um die wirtschaftliche Entwicklung der Unternehmen beurteilen zu können, berechnen wir die Marktanteile der Unternehmen nach einem Jahr. Die Prozentsätze der Kundenbewegungen aus der Aufgabenstellung formen wir in Dezimalbrüche um. Die Kundenbewegungen zwischen den verschiedenen Anbietern sind in dem folgenden Übergangsdiagramm oder Flussdiagramm dargestellt:

Aus dem Diagramm bilden wir die Übergangsmatrix. Der Eintrag der Übergangsmatrix gibt den Anteil der Kunden an, die vom Stromanbieter der Nummer
zum Anbieter mit der Nummer
wechseln. Wir ordnen dem Anbieter
die Nummer
zu, dem Anbieter
die Nummer
und dem Anbieter
die Nummer
. Aus dem Diagramm erhalten wir die folgende Übergangsmatrix
:
Bei einer Übergangsmatrix ist die Summer der Einträge jeder Spalte .
Aus der Übergangsmatrix und den Marktanteilen der Unternehmen zum Zeitpunkt können wir die Marktanteile nach einem Jahr oder nach mehreren Jahren berechnen. Dazu schreiben wir die Marktanteile im Jahr
in einen Vektor
:
Die Verteilung der Marktanteile nach einem Jahr berechnen wir, indem wir die Übergangsmatrix mit dem Vektor
multiplizieren. Dies ergibt den Vektor
der Marktanteile nach einem Jahr:
Der große Gewinn der Matrixrechnung ist, dass wir direkt die Marktanteile nach zwei, drei oder vier Jahren berechnen können. Wenn wir voraussetzen, dass die jährlichen Durchschnitte der Kundenbewegungen immer gleich bleiben, multiplizieren wir den Anteile-Vektor mit der Übergangsmatrix
und erhalten den Vektor
der Marktanteile nach zwei Jahren:
Häufig gestellte Fragen zum Thema Matrizen
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