Sinusfunktion – Erklärung, Eigenschaften und Anwendung
Inhaltsverzeichnis zum Thema Sinusfunktion
Sinusfunktion – Definition
Mithilfe des Einheitskreises, welcher einen Kreis mit einem Radius der Länge 1 beschreibt, können wir den Sinus erklären. Dazu betrachten wir ein rechtwinkliges Dreieck, das einen Eckpunkt im Mittelpunkt des Kreises, einen Eckpunkt auf der -Achse und einen Eckpunkte auf dem Kreisumfang liegend besitzt. Der Sinus ist definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck. Der Mittelpunkt des Kreises entspricht dem Koordinatenursprung. Somit entspricht die Ankathete dem
-Wert des rechten Eckpunktes des Dreiecks auf der
-Achse und die Gegenkathete dem
-Wert des Punktes auf dem Kreis, wie im Bild sichtbar. Die Sinusfunktion ordnet so jedem Winkel
einen Wert
zu:

Bogenmaß
Der Winkel kann Werte zwischen
und
annehmen. Jeder Winkel gehört zu einer Bogenlänge (Bogenmaß), die vom Winkel aufgespannt wird.
Die Formel für die Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß lautet:
Beispiel: . Dies ist die Länge der Gegenkathete. Die zugehörige Bogenlänge, die vom Winkel aufgespannt wird, berechnen wir wie folgt:
.
Sinusfunktion zeichnen
Zunächst zeichnest du neben den Einheitskreis ein Koordinatensystem mit den Werten bis
für den Winkel
auf der x-Achse und
auf der
-Achse. Nun projizierst du zu dem jeweiligen Winkel
den zugehörigen
-Wert in dein Koordinatensystem (horizontale Linie von dem Punkt auf dem Einheitskreis bis zu dem entsprechenden
-Wert im Koordinatensystem).
Bei ist
also 0, bei
trägst du 1 als
-Wert ein usw. Verwende verschiedene Werte für
von
bis
und verbinde die Punkte, um den Sinusgraphen zu erstellen.

Häufig wird die Variable in der Sinusfunktion verwendet. Dieses
entspricht dem in Bogenmaß umgerechneten Winkel
. D. h. auf der horizontalen Achse im Schaubild stehen nicht mehr die Winkel
, sondern Vielfache bzw. Bruchteile von
.
Sinusfunktion – Amplitude, Periode und Symmetrie
Die Amplitude von beschreibt, wie sehr die Kurve nach oben und unten ausschlägt und ist 1. Nach einem Kreisdurchlauf im Einheitskreis wiederholt sich die Sinuskurve. Dies bedeutet,
hat eine Periode von
. Somit ist
.
Außerdem ist die Sinuskurve punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, ausgedrückt in Formeln:
oder
Beispiel: und
Sinusfunktion – Definitionsmenge und Wertemenge
Die Definitionsmenge der Sinusfunktion enthält alle reellen Zahlen. Man kann also einen beliebigen -Wert aus den reellen Zahlen in die Sinusfunktion einsetzen und erhält einen
-Wert. Also ist
.
Die -Werte können zwischen
und
liegen.
Somit ist die Wertemenge .
Sinusfunktion – Nullstellen, Hochpunkte, Tiefpunkte
Die Sinusfunktion hat Nullstellen bei , Hochpunkte bei
und Tiefpunkte bei
.
Zwischen einem Tiefpunkt und einem darauffolgenden Hochpunkt ist die Sinusfunktion streng monoton steigend, zwischen einem Hochpunkt und darauffolgenden Tiefpunkt hingegen streng monoton fallend. Somit wiederholen sich auch die Bereiche der Monotonie periodisch.
Im nachfolgenden Bild können wir Nullstellen und Extrema ablesen.

Im Folgenden werden diese wichtigen Stellen der Sinusfunktion noch einmal aufgelistet:
- Nullstellen (gleichzeitig Wendepunkte):
- Hochpunkte:
- Tiefpunkte:
Allgemeine Sinusfunktionsgleichung – Stauchen, Strecken und Verschieben
Die allgemeine Sinusfunktion lautet:
Sie ergibt sich durch Verschiebung, Streckung und Stauchung der normalen Sinusfunktion .
Folgender Steckbrief fasst die Veränderung der Sinusfunktion durch die Parameter ,
,
,
zusammen:
Parameter | Wirkung | Werte |
---|---|---|
a | Streckung/Stauchung in ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
b | Streckung/Stauchung in ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
c | Verschieben in ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
d | Verschieben in ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
Der Parameter bestimmt also die Amplitude, die Ausschläge nach oben und unten. Die Amplitude entspricht dabei genau dem Betrag von
. Der Parameter
hingegen verändert die Periodenlänge: Wenn der Betrag von
größer als
ist, finden mehr Schwingungen in gleicher Zeit statt, die Kurve wird wie eine Ziehharmonika zusammengedrückt.
Sinusfunktion – Umkehrfunktion, Ableitung und Aufleitung
Wenn Gleichungen einen Term mit enthalten oder wenn man den zu einem Sinuswert zugehörigen Winkel berechnen soll, so braucht man die Umkehrfunktion des Sinus.
Die Umkehrfunktion des Sinus lautet Arkussinus (). Diese Funktion ist jedoch nur definiert, wenn Definitionsmenge, sowie Wertebereich wie folgt geändert werden:
und
.
In der Differenzialrechnung, also der Analyse von Änderungsraten, benötigen wir die Ableitung der Sinusfunktion, welche der Cosinusfunktion entspricht:
.
Die Aufleitung bzw. Stammfunktion von der Sinusfunktion hängt wieder mit der Cosinusfunktion zusammen:
Häufig gestellte Fragen zum Thema Sinusfunktion