Sinusfunktion – Erklärung, Eigenschaften und Anwendung

Erfahre alles über die Sinusfunktion, eine trigonometrische Funktion zur Beschreibung periodischer Vorgänge wie Schwingungen. Entdecke die Definition, wie man die Funktion zeichnet, sowie wichtige Konzepte wie Amplitude, Periode und Symmetrie. Dies und mehr im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Sinusfunktion

Sinusfunktion ( $\sin$ ) im Überblick
Sinusfunktion – Definition
Bogenmaß
Sinusfunktion zeichnen
Sinusfunktion $\sin(x)$ – Amplitude, Periode und Symmetrie
Sinusfunktion – Definitionsmenge und Wertemenge
Sinusfunktion – Nullstellen, Hochpunkte, Tiefpunkte
Allgemeine Sinusfunktionsgleichung – Stauchen, Strecken und Verschieben
Sinusfunktion – Umkehrfunktion, Ableitung und Aufleitung
Häufig gestellte Fragen zum Thema Sinusfunktion

Sinusfunktion ( $\sin$ ) im Überblick

Die Sinusfunktion ist eine trigonometrische Funktion.
Vorgänge, die sich periodisch wiederholen, können mithilfe einer Sinusfunktion beschrieben werden, wie z. B. bei harmonischen Schwingungen in der Physik.
Die Periode beschreibt den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten im Graphen mit dem gleichen y-Wert. $\sin(x)$ hat die Periode $2\pi$ .
Die Sinuskurve verläuft punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Quelle sofatutor.com

Sinusfunktion – Definition

Mithilfe des Einheitskreises, der einen Kreis mit einem Radius der Länge 1 beschreibt, können wir den Sinus erklären. Dazu betrachten wir ein rechtwinkliges Dreieck, das einen Eckpunkt im Mittelpunkt des Kreises, einen Eckpunkt auf der $x$ -Achse und einen Eckpunkt auf dem Kreisumfang liegend besitzt. Der Sinus ist definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck. Der Mittelpunkt des Kreises entspricht dem Koordinatenursprung. Somit entspricht die Ankathete dem $x$ -Wert des rechten Eckpunkts des Dreiecks auf der $x$ -Achse und die Gegenkathete dem $y$ -Wert des Punkts auf dem Kreis – wie im Bild sichtbar. Die Sinusfunktion ordnet so jedem Winkel $\alpha$ einen Wert $y$ zu:

Bogenmaß

Der Winkel $\alpha$ kann Werte zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$ annehmen. Jeder Winkel gehört zu einer Bogenlänge (Bogenmaß), die vom Winkel aufgespannt wird.
Die Formel für die Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß lautet:
$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{b}{2\pi}$

Beispiel: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Dies ist die Länge der Gegenkathete. Die zugehörige Bogenlänge, die vom Winkel aufgespannt wird, berechnen wir wie folgt:
$b= \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{3}$

Sinusfunktion zeichnen

Zunächst zeichnest du neben den Einheitskreis ein Koordinatensystem mit den Werten $0^\circ$ bis $360^\circ$ für den Winkel $\alpha$ auf der x-Achse und $\sin(\alpha)$ auf der $y$ -Achse. Nun projizierst du zu dem jeweiligen Winkel $\alpha$ den zugehörigen $y$ -Wert in dein Koordinatensystem (horizontale Linie von dem Punkt auf dem Einheitskreis bis zu dem entsprechenden $\alpha$ -Wert im Koordinatensystem).
Bei $\alpha = 0^\circ$ ist $\sin(\alpha)$ also 0, bei $90^\circ$ trägst du 1 als $y$ -Wert ein usw. Verwende verschiedene Werte für $\alpha$ von $0^\circ$ bis $360^\circ$ und verbinde die Punkte, um den Sinusgraphen zu erstellen.

Häufig wird die Variable $x$ in der Sinusfunktion verwendet. Dieses $x$ entspricht dem ins Bogenmaß umgerechneten Winkel $\alpha$ . D. h., auf der horizontalen Achse im Schaubild stehen nicht mehr die Winkel $\alpha$ , sondern Vielfache bzw. Bruchteile von $\pi$ .

Sinusfunktion $\sin(x)$ – Amplitude, Periode und Symmetrie

Die Amplitude von $\sin(x)$ beschreibt, wie sehr die Kurve nach oben und unten ausschlägt, und ist 1. Nach einem Kreisdurchlauf im Einheitskreis wiederholt sich die Sinuskurve. Dies bedeutet, $\sin(x)$ hat eine Periode von $2\pi$ . Somit ist $\sin(x) = \sin(x+2\pi)$ .
Außerdem ist die Sinuskurve punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, ausgedrückt in Formeln:
$\sin(x) = - \sin(-x)$ oder $\sin(-x) = - \sin(x)$
Beispiel: $\sin(\frac{1}{2} \pi) = 1$ und $- \sin ( -\frac{1}{2} \pi) = - (-1) = 1$

Sinusfunktion – Definitionsmenge und Wertemenge

Die Definitionsmenge der Sinusfunktion enthält alle reellen Zahlen. Man kann also einen beliebigen $x$ -Wert aus den reellen Zahlen in die Sinusfunktion einsetzen und erhält einen $y$ -Wert. Also ist $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ .

Die $y$ -Werte können zwischen $-1$ und $1$ liegen.
Somit ist die Wertemenge $\mathbb{W} = [-1,1]$ .

Sinusfunktion – Nullstellen, Hochpunkte, Tiefpunkte

Die Sinusfunktion hat Nullstellen bei $x=0, \pm\pi, \pm 2\pi,\ldots$ , Hochpunkte bei $x = \frac{1}{2} \pi, -\frac{3}{2} \pi, \frac{5}{2} \pi, -\frac{7}{2} \pi,\ldots$ und Tiefpunkte bei $x = \frac{3}{2} \pi, -\frac{1}{2} \pi, \frac{7}{2} \pi, -\frac{5}{2} \pi,\ldots$ .
Zwischen einem Tiefpunkt und einem darauffolgenden Hochpunkt ist die Sinusfunktion streng monoton steigend, zwischen einem Hochpunkt und dem darauffolgenden Tiefpunkt hingegen streng monoton fallend. Somit wiederholen sich auch die Bereiche der Monotonie periodisch.
Im nachfolgenden Bild können wir Nullstellen und Extrema ablesen.

Im Folgenden werden diese wichtigen Stellen der Sinusfunktion noch einmal aufgelistet:

Nullstellen (gleichzeitig Wendepunkte): $x_n = n \cdot \pi, n \in \mathbb{Z}$
Hochpunkte: $x_n = 2\pi n + \frac{1}{2}\pi, n \in \mathbb{Z}$
Tiefpunkte: $x_n = 2\pi n - \frac{1}{2}\pi, n \in \mathbb{Z}$

Allgemeine Sinusfunktionsgleichung – Stauchen, Strecken und Verschieben

Die allgemeine Sinusfunktion lautet:
$f(x) = a \cdot \sin(b\cdot x + c) + d$

Sie ergibt sich durch Verschiebung, Streckung und Stauchung der normalen Sinusfunktion $\sin(x)$ .
Folgender Steckbrief fasst die Veränderung der Sinusfunktion durch die Parameter $a$ , $b$ , $c$ , $d$ zusammen:

Parameter	Wirkung	Werte
a	Streckung/Stauchung in $y$ -Richtung	$-1 < a < +1$ : Stauchung $a < -1$ oder $a>1$ : Streckung $a < 0$ : zusätzlich Spiegelung an der $x$ -Achse
b	Streckung/Stauchung in $x$ -Richtung	$-1 < b < +1$ : Streckung $b < -1$ oder $b>1$ : Stauchung $b < 0$ : zusätzlich Spiegelung an der $y$ -Achse
c	Verschieben in $x$ -Richtung	$c > 0$ : Verschieben um $c$ nach links $c < 0$ : Verschieben um $c$ nach rechts
d	Verschieben in $y$ -Richtung	$d > 0$ : Verschieben um $d$ nach oben $d < 0$ : Verschieben um $d$ nach unten

Der Parameter $a$ bestimmt also die Amplitude, die Ausschläge nach oben und unten. Die Amplitude entspricht dabei genau dem Betrag von $a$ . Der Parameter $b$ hingegen verändert die Periodenlänge: Wenn der Betrag von $b$ größer als $1$ ist, finden mehr Schwingungen in gleicher Zeit statt, die Kurve wird wie eine Ziehharmonika zusammengedrückt.

Sinusfunktion – Umkehrfunktion, Ableitung und Aufleitung

Wenn Gleichungen einen Term mit $\sin$ enthalten oder wenn man den zu einem Sinuswert zugehörigen Winkel berechnen soll, braucht man die Umkehrfunktion des Sinus.
Die Umkehrfunktion des Sinus lautet Arkussinus ( $\arcsin$ ). Diese Funktion ist jedoch nur definiert, wenn Definitionsmenge sowie Wertebereich wie folgt geändert werden:
$\mathbb{D} = [-1,1]$ und $\mathbb{W} = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

In der Differenzialrechnung, also der Analyse von Änderungsraten, benötigen wir die Ableitung der Sinusfunktion, die der Cosinusfunktion entspricht:
$f^{\prime}(sin x) = cos x$
Die Aufleitung bzw. Stammfunktion von der Sinusfunktion hängt wieder mit der Cosinusfunktion zusammen:
$F(sin x) = - cos x$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Sinusfunktion

Was ist die Sinusfunktion?

Sie ist eine der trigonometrischen Funktionen und beschreibt Vorgänge, die sich periodisch wiederholen.

Hat die Sinusfunktion mehr Nullstellen als Tiefpunkte?

Aufgrund der Periodizität hat die Sinusfunktion jeweils unendlich viele Nullstellen und Tiefpunkte. Jedoch hat sie innerhalb eines bestimmten Intervalls (z. B. innerhalb einer Periode) mehr Nullstellen, da diese sogleich die Wendestellen zwischen Hoch- und Tiefpunkte sind.

Welche Periode hat die Sinusfunktion?

Die Funktion $\sin(x)$ hat die Periode $2\pi$ . Wird jedoch das Argument in der Klammer verändert, indem das $x$ mit einem Faktor multipliziert wird (z. B. $sin(3x)$ ), so ändert sich die Periode.

Was ist Sinus?

Sinus ist der Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.

Was ist die allgemeine Sinusfunktion?

Die allgemeine Sinusfunktion hat den Funktionsterm $f(x) = a \cdot \sin(b\cdot x + c) + d$ . Sie beinhaltet vier Parameter, die den Graphen verschieben, strecken und stauchen.

Wie sieht eine Sinusfunktion aus?

Eine Sinusfunktion beginnt im Koordinatenursprung und verläuft in periodischen Auf- und Abbewegungen zwischen den $y$ -Werten $\pm 1$ .

Wie berechnet man die Sinusfunktion?

Anhand der Konstruktion der Sinuskurve mithilfe des Einheitskreises können wir die Sinuswerte von gegebenen Winkeln ablesen. Markante Punkte sind dabei die Nullstellen ( $\sin(0\circ) = \sin(180\circ) = \sin(360\circ) = 0$ ), Hochpunkte (z.B. $\sin(90\circ) = 1$ ) und Tiefpunkte (z.B. $\sin(270\circ) = -1$ ).

Hat die Sinusfunktion unendlich viele Nullstellen?

Ja, die Nullstellen liegen bei $0, \pi, 2\pi,\ldots$ , haben also einen Abstand von $\pi$ .

Wie lautet die Wertemenge der Sinusfunktion?

Die Wertemenge der Sinusfunktion ist $\mathbb{W} = [-1,1]$ .

Wie entsteht die Sinusfunktion aus dem Einheitskreis?

Durch Projektion der zu den Winkeln $\alpha$ zugehörigen $y$ -Werte auf ein Koordinatensystem mit den Winkeln auf der $x$ – Achse und $\sin(\alpha)$ auf der $y$ -Achse.

Für was braucht man die Sinusfunktion?

Die Sinusfunktion findet z. B. in der Physik Anwendung, um harmonische Schwingungen zu beschreiben, beim Satz des Pythagoras, bei der Winkelberechnung in einem Dreieck etc.

Wie geht die Sinusfunktion?

Einfach erklärt verläuft $\sin(x)$ in periodischen Wellenbewegungen punktsymmetrisch zum Ursprung mit einer Amplitude von 1 und einer Periodenlänge von $2\pi$ .

Was ist die normale Sinusfunktion?

Die normale Sinusfunktion ist $\sin(x)$ , d. h., die Parameter a und b sind 1 und die Parameter c und d sind 0.

Was ist c bei der Sinusfunktion?

Bei der allgemeinen Sinusfunktion der Form $f(x) = a \cdot \sin(b\cdot x + c) + d$ bewirkt der Parameter $c$ eine Verschiebung der Sinusfunktion in $x$ -Richtung.

Sinusfunktion – Erklärung, Eigenschaften und Anwendung

Inhaltsverzeichnis zum Thema Sinusfunktion

Sinusfunktion () im Überblick

Leave A Comment Antworten abbrechen

Sinusfunktion ( $\sin$ ) im Überblick