Sinusfunktion – Erklärung, Eigenschaften und Anwendung

Inhaltsverzeichnis zum Thema Sinusfunktion

Sinusfunktion (\sin) im Überblick

  • Die Sinusfunktion ist eine trigonometrische Funktion.

  • Vorgänge, die sich periodisch wiederholen, können mithilfe einer Sinusfunktion beschrieben werden, wie z.B. bei harmonischen Schwingungen in der Physik.

  • Die Periode beschreibt den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten im Graphen mit demselben y-Wert. \sin(x) hat die Periode 2\pi.

  • Die Sinuskurve verläuft punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

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Quelle sofatutor.com

Sinusfunktion – Definition

Mithilfe des Einheitskreises, welcher einen Kreis mit einem Radius der Länge 1 beschreibt, können wir den Sinus erklären. Dazu betrachten wir ein rechtwinkliges Dreieck, das einen Eckpunkt im Mittelpunkt des Kreises, einen Eckpunkt auf der x-Achse und einen Eckpunkte auf dem Kreisumfang liegend besitzt. Der Sinus ist definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck. Der Mittelpunkt des Kreises entspricht dem Koordinatenursprung. Somit entspricht die Ankathete dem x-Wert des rechten Eckpunktes des Dreiecks auf der x-Achse und die Gegenkathete dem y-Wert des Punktes auf dem Kreis, wie im Bild sichtbar. Die Sinusfunktion ordnet so jedem Winkel \alpha einen Wert y zu:

Sinusfunktion: Einheitskreis

Bogenmaß

Der Winkel \alpha kann Werte zwischen 0^\circ und 360^\circ annehmen. Jeder Winkel gehört zu einer Bogenlänge (Bogenmaß), die vom Winkel aufgespannt wird.
Die Formel für die Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß lautet:
\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{b}{2\pi}

Beispiel: \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}. Dies ist die Länge der Gegenkathete. Die zugehörige Bogenlänge, die vom Winkel aufgespannt wird, berechnen wir wie folgt:
b= \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{3}.

Sinusfunktion zeichnen

Zunächst zeichnest du neben den Einheitskreis ein Koordinatensystem mit den Werten 0^\circ bis 360^\circ für den Winkel \alpha auf der x-Achse und \sin(\alpha) auf der y-Achse. Nun projizierst du zu dem jeweiligen Winkel \alpha den zugehörigen y-Wert in dein Koordinatensystem (horizontale Linie von dem Punkt auf dem Einheitskreis bis zu dem entsprechenden \alpha-Wert im Koordinatensystem).
Bei \alpha = 0^\circ ist \sin(\alpha) also 0, bei 90^\circ trägst du 1 als y-Wert ein usw. Verwende verschiedene Werte für \alpha von 0^\circ bis 360^\circ und verbinde die Punkte, um den Sinusgraphen zu erstellen.

Einheitskreis und zugehörige Sinuskurve

Häufig wird die Variable x in der Sinusfunktion verwendet. Dieses x entspricht dem in Bogenmaß umgerechneten Winkel \alpha. D. h. auf der horizontalen Achse im Schaubild stehen nicht mehr die Winkel \alpha, sondern Vielfache bzw. Bruchteile von \pi.

Sinusfunktion \sin(x) – Amplitude, Periode und Symmetrie

Die Amplitude von \sin(x) beschreibt, wie sehr die Kurve nach oben und unten ausschlägt und ist 1. Nach einem Kreisdurchlauf im Einheitskreis wiederholt sich die Sinuskurve. Dies bedeutet, \sin(x) hat eine Periode von 2\pi. Somit ist \sin(x) = \sin(x+2\pi).
Außerdem ist die Sinuskurve punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, ausgedrückt in Formeln:
\sin(x) = - \sin(-x) oder \sin(-x) = - \sin(x)
Beispiel: \sin(\frac{1}{2} \pi) = 1 und - \sin ( -\frac{1}{2} \pi) = - (-1) = 1

Sinusfunktion – Definitionsmenge und Wertemenge

Die Definitionsmenge der Sinusfunktion enthält alle reellen Zahlen. Man kann also einen beliebigen x-Wert aus den reellen Zahlen in die Sinusfunktion einsetzen und erhält einen y-Wert. Also ist \mathbb{D} = \mathbb{R}.

Die y-Werte können zwischen -1 und 1 liegen.
Somit ist die Wertemenge \mathbb{W} = [-1,1].

Sinusfunktion – Nullstellen, Hochpunkte, Tiefpunkte

Die Sinusfunktion hat Nullstellen bei x=0, \pm\pi, \pm 2\pi,\ldots, Hochpunkte bei x = \frac{1}{2} \pi, -\frac{3}{2} \pi, \frac{5}{2} \pi, -\frac{7}{2} \pi,\ldots und Tiefpunkte bei x = \frac{3}{2} \pi, -\frac{1}{2} \pi, \frac{7}{2} \pi, -\frac{5}{2} \pi,\ldots.
Zwischen einem Tiefpunkt und einem darauffolgenden Hochpunkt ist die Sinusfunktion streng monoton steigend, zwischen einem Hochpunkt und darauffolgenden Tiefpunkt hingegen streng monoton fallend. Somit wiederholen sich auch die Bereiche der Monotonie periodisch.
Im nachfolgenden Bild können wir Nullstellen und Extrema ablesen.

Sinuskurve mit Nullstellen, Hochpunkten und Tiefpunkten

Im Folgenden werden diese wichtigen Stellen der Sinusfunktion noch einmal aufgelistet:

  • Nullstellen (gleichzeitig Wendepunkte): x_n = n \cdot \pi, n \in \mathbb{Z}
  • Hochpunkte: x_n = 2\pi n + \frac{1}{2}\pi, n \in \mathbb{Z}
  • Tiefpunkte: x_n = 2\pi n - \frac{1}{2}\pi, n \in \mathbb{Z}

Allgemeine Sinusfunktionsgleichung – Stauchen, Strecken und Verschieben

Die allgemeine Sinusfunktion lautet:
f(x) = a \cdot \sin(b\cdot x + c) + d

Sie ergibt sich durch Verschiebung, Streckung und Stauchung der normalen Sinusfunktion \sin(x).
Folgender Steckbrief fasst die Veränderung der Sinusfunktion durch die Parameter a, b, c, d zusammen:

Parameter Wirkung Werte
a Streckung/Stauchung in y-Richtung -1 < a < +1: Stauchung
a < -1 oder a>1: Streckung
a < 0: zusätzlich Spiegelung an der x-Achse
b Streckung/Stauchung in x-Richtung -1 < b < +1: Streckung
b < -1 oder b>1: Stauchung
b < 0: zusätzlich Spiegelung an der y-Achse
c Verschieben in x-Richtung c > 0: Verschieben um c nach links
c < 0: Verschieben um c nach rechts
d Verschieben in y-Richtung d > 0: Verschieben um d nach oben
d < 0: Verschieben um d nach unten

Der Parameter a bestimmt also die Amplitude, die Ausschläge nach oben und unten. Die Amplitude entspricht dabei genau dem Betrag von a. Der Parameter b hingegen verändert die Periodenlänge: Wenn der Betrag von b größer als 1 ist, finden mehr Schwingungen in gleicher Zeit statt, die Kurve wird wie eine Ziehharmonika zusammengedrückt.

Sinusfunktion – Umkehrfunktion, Ableitung und Aufleitung

Wenn Gleichungen einen Term mit \sin enthalten oder wenn man den zu einem Sinuswert zugehörigen Winkel berechnen soll, so braucht man die Umkehrfunktion des Sinus.
Die Umkehrfunktion des Sinus lautet Arkussinus (\arcsin). Diese Funktion ist jedoch nur definiert, wenn Definitionsmenge, sowie Wertebereich wie folgt geändert werden:
\mathbb{D} = [-1,1] und \mathbb{W} = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}].

In der Differenzialrechnung, also der Analyse von Änderungsraten, benötigen wir die Ableitung der Sinusfunktion, welche der Cosinusfunktion entspricht:
f^{\prime}(sin x) = cos x.
Die Aufleitung bzw. Stammfunktion von der Sinusfunktion hängt wieder mit der Cosinusfunktion zusammen:
F(sin x) = - cos x

Häufig gestellte Fragen zum Thema Sinusfunktion

Sie ist eine der trigonometrischen Funktionen und beschreibt Vorgänge, die sich periodisch wiederholen.

Aufgrund der Periodizität hat die Sinusfunktion jeweils unendlich viele Nullstellen und Tiefpunkte. Jedoch hat sie innerhalb eines bestimmten Intervalls (z. B. innerhalb einer Periode) mehr Nullstellen, da diese sogleich die Wendestellen zwischen Hoch- und Tiefpunkte sind.

Die Funktion \sin(x) hat die Periode 2\pi. Wird jedoch das Argument in der Klammer verändert, indem das x mit einem Faktor multipliziert wird (z. B. sin(3x)), so ändert sich die Periode.

Sinus ist der Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.

Die allgemeine Sinusfunktion hat den Funktionsterm f(x) = a \cdot \sin(b\cdot x + c) + d. Sie beinhaltet vier Parameter, die den Graphen verschieben, strecken und stauchen.

Eine Sinusfunktion beginnt im Koordinatenursprung und verläuft in periodischen Auf- und Abbewegungen zwischen den y-Werten \pm 1.

Anhand der Konstruktion der Sinuskurve mithilfe des Einheitskreises, können wir die Sinuswerte von gegebenen Winkeln ablesen. Markante Punkte sind dabei die Nullstellen (\sin(0\circ) = \sin(180\circ) = \sin(360\circ) = 0), Hochpunkte (z.B. \sin(90\circ) = 1) und Tiefpunkte (z.B. \sin(270\circ) = -1).
Ja, die Nullstellen liegen bei 0, \pi, 2\pi,\ldots, haben also einen Abstand von \pi.
Die Wertemenge der Sinusfunktion ist \mathbb{W} = [-1,1].

Durch Projektion der zu den Winkeln \alpha zugehörigen y-Werte auf ein Koordinatensystem mit den Winkeln auf der x– Achse und \sin(\alpha) auf der y-Achse.

Die Sinusfunktion findet z.B. in der Physik Anwendung, um harmonische Schwingungen zu beschreiben, beim Satz des Pythagoras, bei der Winkelberechnung in einem Dreieck uvm.
Einfach erklärt verläuft \sin(x) in periodischen Wellenbewegungen punktsymmetrisch zum Ursprung mit einer Amplitude von 1 und einer Periodenlänge von 2\pi.
Die normale Sinusfunktion ist \sin(x), d. h. die Parameter a und b sind 1 und die Parameter c und d sind 0.
Bei der allgemeinen Sinusfunktion der Form f(x) = a \cdot \sin(b\cdot x + c) + d bewirkt der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Sinusfunktion in x-Richtung.

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