Additionstheoreme – trigonometrische Funktionen

Erfahre, wie Additionstheoreme Sinus, Cosinus und Tangensfunktionen vereinfachen und berechnen. Mit Herleitungsbeispielen und Anwendungen in trigonometrischen Termen. Dies und vieles mehr finden Sie im folgenden Text.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Additionstheoreme

Additionstheoreme im Überblick

  • Die Additionstheoreme gibt es für Sinus-, Cosinus- sowie Tangensfunktionen.

  • Sie können dir dabei helfen, Terme zu vereinfachen, in denen trigonometrische Funktionen vorkommen.
  • Für die Herleitung der Additionstheoreme kannst du auf die Eulerformel der trigonometrischen Funktionen zurückgreifen.
Additionstheoreme: Lernvideo

Quelle: sofatutor.com

Additionstheoreme der Sinus- und Cosinusfunktion 

Ist die Variable einer trigonometrischen Funktion die Summe oder Differenz zweier Variablen, deren Funktionswerte du bereits kennst, kannst du die Additionstheoreme anwenden.
Mithilfe der Additionstheoreme kannst du den Ausdruck umformen und berechnen.

Die Additionstheoreme für die Sinusfunktion lauten:

\begin{array}{rcl} \sin(\alpha+\beta) &=& \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta)+\sin(\beta) \cdot \cos(\alpha) \\ \\ \sin(\alpha-\beta) &=& \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta)-\sin(\beta) \cdot \cos(\alpha) \end{array}

Die Additionstheoreme der Cosinusfunktion lauten:

\begin{array}{rcl} \cos(\alpha+\beta) &=& \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) \\ \\ \cos(\alpha-\beta) &=& \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) \end{array}

Die Variablen \alpha und \beta sind Winkelgrößen, die im Bogenmaß oder im Gradmaß angegeben werden können.

Für den Fall, dass \alpha = \beta gilt, kannst du die Additionstheoreme umformen:

\begin{array}{rcl} \sin(2\alpha) = \sin(\alpha+\alpha) &=& \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)+\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) \\ &=& 2 \cdot \sin(\alpha) \cos(\alpha) \\ \\ \cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha) &=& \cos(\alpha) \cdot \cos(\alpha)-\sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha) \\ &=& \cos^{2}(\alpha)-\sin^{2}(\alpha) \end{array}

Additionstheorem des Tangens

Auch für die Tangensfunktion gibt es Additionstheoreme. Diese lauten:

\begin{array}{rcl} \tan(\alpha+\beta) &=& \dfrac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)} \\ \\ \tan(\alpha-\beta) &=& \dfrac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)} \end{array}

Wie bei den Additionstheoremen der Sinus- und Cosinusfunktion sind \alpha und \beta Winkelgrößen im Bogen- oder Gradmaß.

Herleitung der Additionstheoreme

Für die Herleitung der Additionstheoreme der Sinus- und Cosinusfunktion kannst du die sogenannte Eulerformel verwenden. Diese lautet:

e^{i\varphi} = \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi)

Mithilfe der Eulerformel kannst du die Sinus- und Cosinusfunktion durch die Exponentialfunktion ausdrücken:

\begin{array}{rcl} \sin(\varphi) &=& \dfrac{e^{i \varphi} - e^{-i \varphi}}{2i} \\ \cos(\varphi) &=& \dfrac{e^{i \varphi} + e^{-i \varphi}}{2} \end{array}

Wir setzen diese Darstellung der Sinus- und der Cosinusfunktion in die rechte Seite des Additionstheorems für \sin(\alpha+\beta) ein und erhalten:

\begin{array}{rcl} \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta)+\sin(\beta) \cdot \cos(\alpha) &=& \dfrac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i} \cdot \dfrac{e^{i\beta}+e^{-i\beta}}{2} + \dfrac{e^{i\beta}-e^{-i\beta}}{2i} \cdot \dfrac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2} \\ \\ &=& \dfrac{e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}-e^{-i\alpha} \cdot e^{i\beta} + e^{i\alpha} \cdot e^{-i\beta} - e^{-i\alpha} \cdot e^{-i\beta}}{4i} + \dfrac{e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}+e^{-i\alpha} \cdot e^{i\beta} - e^{i\alpha} \cdot e^{-i\beta} - e^{-i\alpha} \cdot e^{-i\beta}}{4i} \\ \\ &=& \dfrac{2e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} - 2 e^{-i\alpha} \cdot e^{-i\beta}}{4i} \\ \\ &=& \dfrac{e^{i\cdot (\alpha+\beta)} - e^{-i\cdot(\alpha-\beta)}}{2i} \\ \\ &=& \sin(\alpha+\beta) \end{array}

Für die Umformung e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} = e^{i\cdot (\alpha+\beta)} im vorletzten Schritt haben wir das Potenzgesetz e^{x+y} = e^x \cdot e^y benutzt.

Das Additionstheorem für \sin(\alpha-\beta) lässt sich analog herleiten.

Auch die Herleitung des Additionstheorems von \cos(\alpha + \beta) funktioniert ähnlich:

\begin{array}{rcl} \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) &=& \dfrac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2} \cdot \dfrac{e^{i\beta}+e^{-i\beta}}{2} - \dfrac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i} \cdot \dfrac{e^{i\beta}-e^{-i\beta}}{2i} \\ \\ &=& \dfrac{e^{i(\alpha+\beta)}+ e^{i(\alpha-\beta)}+e^{-i(\alpha-\beta)} + e^{-i(\alpha+\beta)}}{4} + \dfrac{e^{i(\alpha+\beta)}- e^{i(\alpha-\beta)}-e^{-i(\alpha-\beta)} + e^{-i(\alpha+\beta)}}{4} \\ \\ &=& \dfrac{2e^{i(\alpha+\beta)} + 2 e^{-i(\alpha +\beta)}}{4} \\ \\ &=& \dfrac{e^{i(\alpha+\beta)} + e^{-i(\alpha+\beta)}}{2} \\ \\ &=& \cos(\alpha+\beta) \end{array}

Auch hier geht die Herleitung des Additionstheorems von \cos(\alpha - \beta) ganz analog.

Der Tangens eines Winkels \varphi ist definiert durch \tan(\varphi) = \dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}. Zur Herleitung der Additionstheoreme des Tangens kannst du die zuvor bewiesenen Additionstheoreme für Sinus und Cosinus verwenden. Wir schreiben also \tan(\alpha+\beta) = \dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} und setzen im Zähler und im Nenner die Additionstheoreme ein. Im nächsten Schritt erweitern wir Zähler und Nenner mit \dfrac{1}{\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)}, um Terme mit dem Tangens zu erzeugen:

\begin{array}{rcl} \tan(\alpha+\beta) &=& \dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} \\ &=& \dfrac{ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta)+\sin(\beta) \cdot \cos(\alpha) }{ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) } \cdot \dfrac{ \frac{1}{\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)} }{ \frac{1}{\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)} } \\ \\ &=& \dfrac{ \dfrac{\sin(\alpha) \cdot \cos(\beta)}{\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)} + \dfrac{\sin(\beta) \cdot \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)} }{ \dfrac{\cos(\alpha) \cdot \cos(\beta)}{\cos(\alpha) \cdot\cos(\beta)} -\dfrac{\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)} } \\ \\ &=& \dfrac{ \tan(\alpha)+\tan(\beta) }{ 1-\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta) } \end{array}

Trigonometrische Theoreme anwenden

Die Additionstheoreme kannst du zur Umformung von trigonometrischen Termen verwenden.

Du hast beispielsweise den Term \cos(105^\circ) gegeben. Diesen kannst du umformen zu \cos(105^\circ)=\cos(60^\circ + 45^\circ). Anschließend kannst du das Additionstheorem und die bekannten Werte der trigonometrischen Funktionen der Winkel 60^\circ und 45^\circ verwenden, um den Wert des Terms \cos(105^\circ) zu berechnen:

\begin{array}{rcl} \cos(60^\circ + 45^\circ) &=& \cos(60^\circ) \cdot \cos(45^\circ)-\sin(60^\circ) \cdot \sin(45^\circ) \\ \\ &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ &=& \frac{\sqrt{2}}{4} -\frac{\sqrt{6}}{4} \\ \\ &=& \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \end{array}

Die Werte der Sinus- und Cosinusfunktion kannst du entweder nachschlagen oder mit dem Taschenrechner berechnen.

Versuche dich doch einmal selbst mit dem Term \sin(75^\circ). Dieser lässt sich umformen zu \sin(75^\circ)=\sin(120^\circ-45^\circ).
Mit dem passenden Additionstheorem der Sinusfunktion erhältst du:

\begin{array}{rcl} \sin(120^\circ-45^\circ) &=& \sin(120^\circ) \cdot \cos(45^\circ)-\sin(45^\circ) \cdot \cos(120^\circ) \\ \\ &=& \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{-1}{2} \\ \\ &=& \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \\ \\ &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{array}

Alternativ wäre auch eine Umformung zu \sin(30^\circ+45^\circ) möglich.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Additionstheoreme

Additionstheoreme sind Formeln zur Umformung trigonometrischer Funktionen. Sie werden verwendet, wenn in einer trigonometrischen Funktion die Summe oder Differenz zweier Winkel steht. Es gibt Additionstheoreme für die Sinus-, Cosinus- sowie Tangensfunktion.

Die Summe aus Sinus und Cosinus hängt von der Stelle ab, an der die beiden Funktionen betrachtet werden.

Ist die Variable der Cosinusfunktion die Summe zweier Winkel, kannst du ein Additionstheorem anwenden. Dafür nutzt du die Formel \cos(\alpha+\beta)=\sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)-\cos(\alpha) \cdot \cos(\beta).

Additionstheoreme kommen zum Einsatz, wenn in einer trigonometrischen Funktion die Summe oder Differenz zweier Winkel steht. Durch die Umformung mithilfe der Additionstheoreme kann der Funktionswert berechnet werden.

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