Produktregel – Formel, Erklärung und Beispiele

Die Produktregel ist eine Ableitungsregel für Funktionen, deren Term aus dem Produkt zweier Funktionen besteht. Hier erfährst du, wie du Produkte von Funktionen ableitest und wie die Regel in Kombination mit anderen Ableitungsregeln funktioniert. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Produktregel

Die Produktregel im Überblick
Produktregel einfach erklärt
Produktregel – Beispiele
Produktregel – $e$ -Funktion
Produktregel – drei Faktoren
Produktregel und Kettenregel
Umkehrung der Produktregel – partielle Integration
Häufig gestellte Fragen zur Produktregel

Die Produktregel im Überblick

Mit der Produktregel werden Funktionen abgeleitet, deren Funktionsterm aus dem Produkt zweier Funktionen besteht.
Die wichtigsten Ableitungsregeln neben der Produktregel sind die Kettenregel und die Quotientenregel.
Die Produktregel kann beim Differenzieren auch mit anderen Ableitungsregeln verknüpft werden.

Quelle sofatutor.com

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Produktregel

Produktregel einfach erklärt

Die Produktregel lässt sich in der folgenden Formel zusammenfassen:

$(u(x) \cdot v(x))^\prime = u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x)$

Mit der Produktregel kann in Mathe allgemein die Ableitung einer Funktion $f$ bestimmt werden, die in der Form $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ vorliegt. Hierbei sind $u(x)$ und $v(x)$ wiederum Funktionen. Wir können so Produkte von Funktionen ableiten. Dazu bestimmen wir zunächst die Ableitungen der Faktoren $u(x)$ und $v(x)$ und setzen dann die Ableitung entsprechend der Regel zusammen.

In der Abbildung siehst du, wie die Schritte bei einem Beispiel angewendet werden:

Eine Herleitung der Produktregel kann zum Beispiel durch Anwendung der $h$ -Methode zur Differenzierung der Funktion $u(x) \cdot v(x)$ erfolgen.

Produktregel – Beispiele

Wir wollen nun die Produktregel auf einige Beispiele anwenden.

Produktregel – $e$ -Funktion

Gesucht ist die Ableitung der Funktion $f(x) = (x^2 - 2)e^x$ .

Der Funktionsterm ist das Produkt aus der Klammer $u(x) = x^2 - 2$ und der $e$ -Funktion $v(x) = e^x$ .

Wir leiten beide Faktoren ab:
$\begin{array}{ll} u(x) = x^2 - 2 & \quad u^\prime(x) = 2x \\ v(x) = e^x & \quad v^\prime(x) = e^x \end{array}$

Für die Ableitung ergibt sich:
$\begin{array}{rclccccccl} f^\prime(x) & = & u^\prime(x) & \cdot & v(x) & + & u(x) & \cdot & v^\prime(x) & \\ & = & 2x & \cdot & e^x & + & (x^2 - 2) & \cdot & e^x & = e^x(2x + x^2 - 2) \end{array}$

Produktregel – drei Faktoren

Wir wollen nun betrachten, wie wir ein Produkt mit drei Faktoren mit der Produktregel ableiten können. Dazu verallgemeinern wir die Produktregel auf die Funktion $f$ mit $f(x) = r(x) \cdot s(x) \cdot t(x)$ mit den drei Faktoren $r$ , $s$ und $t$ .

Wir definieren $u(x) = r(x) \cdot s(x)$ und $v(x) = t(x)$ und bestimmen zunächst die Ableitung von $u(x)$ mit der Produktregel:
$u(x)^\prime = (r(x) \cdot s(x))^\prime = r^\prime(x) \cdot s(x) + r(x) \cdot s^\prime(x)$

Damit gilt:
$\begin{array}{ll} u(x) = r(x) \cdot s(x) & \quad u^\prime(x) = r^\prime(x) \cdot s(x) + r(x) \cdot s^\prime(x) \\ v(x) = t(x) & \quad v^\prime(x) = t^\prime(x) \end{array}$

Wir wenden wiederum die Produktregel an und erhalten:
$\begin{array}{rccccccccl} f^\prime(x) & = & u^\prime(x) & \cdot & v(x) & + & u(x) & \cdot & v^\prime(x) \\ & = & (r^\prime(x) \cdot s(x) + r(x) \cdot s^\prime(x)) & \cdot & t(x) & + & r(x) \cdot s(x) & \cdot & t^\prime(x) \end{array}$

Insgesamt ergibt sich:

$f^\prime(x) = r^\prime(x) \cdot s(x)\cdot t(x) + r(x) \cdot s^\prime(x)\cdot t(x) + r(x) \cdot s(x) \cdot t^\prime(x)$

Produktregel und Kettenregel

Enthält ein Funktionsterm sowohl ein Produkt als auch eine Verkettung von Funktionen, müssen wir Kettenregel und Produktregel zusammen anwenden.

Wir betrachten die Funktion $f(x) = x^5\sin(2x + 1)$ . Der Funktionsterm ist ein Produkt aus $u(x) = x^5$ und $v(x) = \sin(2x + 1)$ . Dabei besteht der Term von $v(x)$ aus einer Verkettung der inneren Funktion $2x + 1$ und der äußeren Funktion $\sin(x)$ . Wir müssen beim Bilden der Ableitung daher beide Regel beachten:

$\begin{array}{ll} u(x) = x^5 & \quad u^\prime(x) = 5x^4 \\ v(x) = \sin(2x + 1) & \quad v^\prime(x) = 2\cos(2x + 1) \end{array}$

Als Ableitung ergibt sich:
$\begin{array}{rclccccccl} f^\prime(x) & = & u^\prime(x) & \cdot & v(x) & + & u(x) & \cdot & v^\prime(x) & \\ & = & 5x^4 & \cdot & \sin(2x+1) & + & x^5 & \cdot & 2\cos(2x + 1) & = x^4\left[5\sin(2x + 1) + 2x\cos(2x + 1)\right] \end{array}$

Umkehrung der Produktregel – partielle Integration

In der Integralrechnung wird die Produktregel genutzt, um die Integrationsregel der partiellen Integration herzuleiten. Dazu formulieren wir ein unbestimmtes Integral und wenden die Produktregel an.

$\begin{array}{rcl} \int(u(x) \cdot v(x))^\prime ~\text{d}x & = & \int u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x) ~\text{d}x \\ & = & \int u^\prime(x) \cdot v(x) ~\text{d}x + \int u(x) \cdot v^\prime(x) ~\text{d}x \end{array}$

Da das Integrieren die Umkehroperation zum Differenzieren ist, gilt:
$\int(u(x) \cdot v(x))^\prime ~\text{d}x = u(x) \cdot v(x)$

Dies setzen wir in die obige Gleichung ein und stellen nach dem Integral $\int u^\prime(x) \cdot v(x) ~\text{d}x$ um:
$\int u^\prime(x) \cdot v(x) ~\text{d}x = u(x) \cdot v(x) - \int u(x) \cdot v^\prime(x) ~\text{d}x$

Wir erhalten die Regel der partiellen Integration. Wenn also eine Funktion als Produkt dieser Form vorliegt, kann mithilfe der Produktregel eine Stammfunktion gebildet werden.

Häufig gestellte Fragen zur Produktregel

Was ist die Produktregel?

Die Produktregel ist eine Ableitungsregel für Funktionen, deren Term ein Produkt aus Funktionen ist.

Wie lautet die Produktregel?

Die Produktregel lautet:
$(u(x) \cdot v(x))^\prime = u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x)$

Wann wendet man die Produktregel an?

Die Produktregel wird angewendet, wenn der abzuleitende Funktionsterm ein Produkt aus Funktionen der Form $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ ist.

Wann gilt die Produktregel?

Die Produktregel kann zum Ableiten angewendet werden, wenn sich ein Funktionsterm als Produkt schreiben lässt.

Wie leitet man ein Produkt ab?

Ein Produkt aus Funktionen kann mit der Produktregel abgeleitet werden.

Wann wird die Faktor- und wann die Produktregel angewendet?

Die Faktorregel wird verwendet, wenn ein Funktionsterm mit einem konstanten Faktor multipliziert wird, zum Beispiel $5(x^2 -x)^3$ .
Mit der Produktregel wird die Ableitung gebildet, wenn ein Funktionsterm ein Produkt von Funktionen ist, zum Beispiel $x^2(5x + 7)^3$ .

Wie geht die Produktregel?

Die Produktregel wird angewendet, indem zunächst die Ableitungen der Faktoren $u(x)$ und $v(x)$ gebildet werden. Aus diesen ergibt sich dann die Ableitung der Produktfunktion:
$(u(x) \cdot v(x))^\prime = u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x)$

Was besagt die Produktregel?

Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen $u(x)$ und $v(x)$ folgendermaßen gebildet wird:
$(u(x) \cdot v(x))^\prime = u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x)$

Wann benutzt man die Kettenregel und wann die Produktregel?

Die Kettenregel wird verwendet, um Verkettungen von Funktionen abzuleiten. Dabei gibt es stets eine äußere und eine innere Funktion, zum Beispiel $sin(x^2)$ .
Die Produktregel wird verwendet, um Produkte von Funktionen abzuleiten. Dabei werden zwei Funktionsterme miteinander multipliziert, zum Beispiel $x^2\sin(x)$ .