pq-Formel – Erklärung und Beispiele

Die pq-Formel berechnet Lösungen quadratischer Gleichungen. Erfahre, wie sie angewendet wird, um Nullstellen zu finden. Entdecke die Herleitung der Formel und wie die Diskriminante die Anzahl der Lösungen bestimmt. Interessiert? Dies und vieles mehr erwartet dich im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema pq-Formel

Die pq-Formel im Überblick

  • Mittels der pq-Formel können die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnet werden.

  • Dazu muss die quadratische Gleichung in der Normalform x^2 + px + q = 0 vorliegen.

  • Die pq-Formel lautet:

    x_{1,\,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q}

  • Die Term unter der Wurzel wird Diskriminante D genannt. Er gibt Auskunft über die Anzahl der Lösungen.

pq-Formel Video

Quelle sofatutor.com

pq-Formel einfach erklärt

Die pq-Formel wird verwendet, um quadratische Gleichungen der Form
x^2 + px + q = 0
zu lösen.
Dabei ist x ist die unbekannte Variable, die berechnet werden soll. Vor dem x^2 steht eine 1 als Koeffizient, p ist der Koeffizient vor dem x und q die Konstante. Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der der höchste Exponent (Hochzahl) der Variablen x eine 2 ist.

Die pq-Formel lautet:

x_{1,\,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q}

In diese setzt du die Zahl, die vor dem einzelnen x steht, für p ein und die Zahl, die allein steht, für q.

Da die rechte Seite der Gleichung null ist, berechnest du mit der pq-Formel die Nullstellen der quadratischen Funktion f(x) = x^2 + px + q.

pq-Formel anwenden

Beispiel 1:
Die quadratische Gleichung liegt schon in der Normalform x^2 + px + q = 0 vor:
x^2 + 2x - 8 = 0
Daher können die Koeffizienten p=2 und q= -8 direkt abgelesen werden.
Diese werden nun in die pq-Formel eingesetzt:
\begin{array}{rcl} x_{1,\,2} &=& - \dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2 - (-8)} \\ x_{1,\,2} &=& -1 \pm \sqrt{1^2} + 8 } \\ x_{1,\,2} &=& -1 \pm \sqrt{9} \\ x_{1,\,2} &=& -1 \pm 3 \end{array}
Hieraus können zwei Lösungen berechnet werden:
x_1 = -1 + 3 = 2 und x_2 = -1 - 3 = -4
Also ist die Lösungsmenge:
\mathbb{L} = \{-4,-1\}

Beispiel 2:
Die quadratische Gleichung liegt noch nicht in der Normalform vor:

3x^2 + 9x = -6
In diesem Beispiel steht vor dem x^2 der Koeffizient 3 \neq 1 und auf der rechten Seite steht -6 \neq 0.

Also muss die Gleichung zunächst in die Normalform x^2 + px + q = 0 gebracht werden, bevor mithilfe der pq-Formel die Lösung der Gleichung ausgerechnet werden kann.
In diesem Beispiel bedeutet das:
\begin{array}{cccl} 3x^2 + 9x &=& -6 & \vert :3 \\ x^2 + 3x &=& -2 & \vert +2 \\ x^2 + 3x +2 &=& 0 \end{array}

Jetzt können die Koeffizienten p=3 und q= 2 in die pq-Formel eingesetzt werden:
\begin{array}{rcl} x_{1,\,2} &=& -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 - 2} \\ x_{1,\,2} &=& -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9}{4}-\dfrac{8}{4}} \\ x_{1,\,2} &=& -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}} \\ x_{1,\,2} &=& -\dfrac{3}{2} \pm \dfrac{1}{2} \end{array}
Somit gibt es zwei Lösungen. Für die erste Lösung rechnest du plus \frac{1}{2} für die zweite minus \frac{1}{2}:
x_1 = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{2}{2} = -1 und x_2 = -\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{4}{2} = -2
Damit ist die Lösungsmenge:
\mathbb{L} = \{-2,-1\}

Nullstellen berechnen mithilfe der pq-Formel

Mit der pq-Formel berechnest du die Nullstellen einer Parabel, also einer quadratischen Funktion.
An der Diskriminante D, dem Term unterhalb der Wurzel in der pq-Formel, kannst du eine Aussage darüber treffen, wie viele Nullstellen die Funktion f(x) = x^2 + px + q besitzt.
Dabei gilt:

D = \left(\dfrac{p}{2}\right)^2 -q
Für D > 0 hat die Parabel zwei Nullstellen.
Für D = 0 hat die Parabel genau eine Nullstelle, wegen \pm 0.
Für D < 0 gibt es keine Nullstellen, da die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist.

Hier siehst du entsprechend Parabeln mit keiner Nullstelle in Blau, einer in Orange und zwei in Rot.

pq-Formel: Nullstellen Parabel

Herleitung der pq-Formel

Jetzt wurde erklärt, wofür die pq-Formel verwendet wird. Aber woher kommt diese Formel?
Dazu schauen wir uns eine quadratische Gleichung in Normalform an und bringen das q mittels Subtraktion auf die rechte Seite:
x^2 + px = -q

Nun wollen wir eine quadratische Ergänzung durchführen.
Wir addieren zu beiden Seiten \big(\frac{p}{2}\big)^2 hinzu und schreiben p um als p=2\frac{p}{2}:
x^2 + 2\dfrac{p}{2} x + \left(\dfrac{p}{2}\right)^2= \left(\dfrac{p}{2}\right)^2 -q
Durch Nutzung der ersten binomische Formel vereinfachen wir die linke Seite zu:
\left( x + \dfrac{p}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{p}{2}\right)^2 -q
Als Letztes müssen wir nur noch die Wurzel auf beiden Seiten ziehen und die Gleichung nach x umformen:
\begin{array}{cccl} x_{1,\,2} + \dfrac{p}{2} &=& \pm \sqrt{ \left(\dfrac{p}{2}\right)^2 -q } & \Big\vert - \dfrac{p}{2} \\ x_{1,\,2} &=& - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{ \left(\dfrac{p}{2}\right)^2 -q } \\ \end{array}

Hinweis: Beim Wurzelziehen muss darauf geachtet werden, dass es zwei Lösungen gibt, einmal plus und einmal minus. Das wird leicht sichtbar an der quadratischen Gleichung x^2 = 4. Die Lösung hierfür kann sowohl +2 als auch -2 sein, da (+2)^2 =4 und (-2)^2 = 4.

Die gleiche Herleitung für eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form {ax^2 + bx + c = 0} liefert die sogenannte Mitternachtsformel (auch abc-Formel) zur Lösung quadratischer Gleichungen.

Die Mitternachtsformel lautet:
x_{1,\,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

pq-Formel – Zusammenfassung

Um quadratische Gleichungen mithilfe der pq-Formel zu lösen, wird wie folgt vorgegangen:

Schritt Beispiel
Gleichung in Normalform umschreiben:

x^2 + px + q = 0

\begin{array}{cccl} 2x^2 - 2x &=& 4 & \vert :2 \\ x^2 -x &=& 2 & \vert -2 \\ x^2 -x -2 &=& 0 \end{array}
p und q aus der Normalform ablesen und in die pq-Formel einsetzen p=-1 und q= -2:
\begin{array}{rcc} x_{1,2} &=& - \dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{(\dfrac{-1}{2})^2 - (-2)}\\ x_{1,2} &=& \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4} +\frac{8}{4}} \\ x_{1,2} &=& \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{3}{2} \\ \end{array}
Die Lösungen mit plus und minus berechnen x_1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}= 2
x_2 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} = -1
Lösungsmenge aufschreiben \mathbb{L} = \{-1,2\}

Wenn die gestellte Aufgabe lediglich darin besteht, zu sagen, wie viele Lösungen die Gleichung bzw. wie viele Nullstellen die Funktion f(x) = x^2 + px + q hat, reicht es, sich die Diskriminante D= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q anzuschauen. Für diese gilt:

Diskriminante Lösungen
D > 0 zwei Lösungen
D = 0 eine Lösung
D < 0 keine Lösung

Häufig gestellte Fragen zum Thema pq-Formel

Mithilfe der pq-Formel können die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnet werden.

Die pq-Formel lautet:
x_{1,\,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q}
Dabei steht p für den Koeffizienten vor dem x und das q für die Konstante (ohne x danach), wenn die quadratische Gleichung in der Normalform {x^2 + px + q = 0} gegeben ist.

Die pq-Formel ist neben der Mitternachtsformel eine Methode, um die Lösungen einer quadratischen Gleichungen zu berechnen.

Wenn die quadratische Gleichung in Normalform {x^2 + px + q = 0} vorliegt, ist das p der Koeffizient vor dem einzelnen x und das q die Konstante ohne x.

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