Primzahlen einfach erklärt

Primzahlen sind ganze, natürliche Zahlen, die nur durch sich selbst und durch teilbar sind. Sie besitzen also nur genau zwei Teiler.
Die Primzahlen von bis sind in der folgenden Liste aufgezählt:

Außer der sind alle Primzahlen ungerade. Das liegt daran, dass jede gerade Zahl größer als auch durch teilbar ist und somit mindestens Teiler besitzt. Damit ist die die einzige gerade Primzahl.
Bei der und der handelt es sich, wie du erkennen kannst, nicht um Primzahlen. Die ist zwar durch , jedoch nicht durch sich selbst teilbar. Da Primzahlen immer genau zwei Teiler besitzen müssen, ist auch die keine Primzahl. Somit ist die die erste Primzahl.

Es existiert keine größte Primzahl, da es unendlich viele Primzahlen gibt. Die kleinste Primzahl ist die erste Primzahl .

Es gibt keine negativen Primzahlen, da die Definition der Primzahlen besagt, dass es sich bei den Primzahlen um natürliche Zahlen handelt. 

Von Primzahlzwillingen spricht man, wenn zwei Primzahlen den Abstand zueinander haben. Es ist nicht bekannt, wie viele Primzahlzwillinge existieren. Die Primzahlzwillinge bis sind: und , und , und , und , und , und , und .

Von Primzahldrillingen spricht man, wenn drei Primzahlen jeweils den Abstand zueinander haben. Die einzigen existierenden Primzahldrillinge sind , und .

Um Primzahlen zu bestimmen, gibt es zwei verschiedene Methoden, die im Folgenden genauer erklärt werden.

Die Teilbarkeitsregeln sind nützlich, um Primzahlen zu erkennen. So kannst du herausfinden, ob eine Zahl noch weitere Teiler als und sich selbst besitzt. Schauen wir uns die Vorgehensweise am Beispiel der an:

• Die ist ungerade und aus diesem Grund nicht durch teilbar.
• Andere Teiler müssten daher kleiner als die Hälfte von sein. Es kommen also nur die Zahlen und infrage.
• Da die ungerade ist, ist sie sicher auch nicht durch die geraden Zahlen , und teilbar.
• Ist die Quersumme einer Zahl durch teilbar, dann ist auch die Zahl durch teilbar. Die Quersumme von ist . Da nicht durch teilbar ist, ist auch die nicht durch teilbar.
• Durch ist eine Zahl nur dann teilbar, wenn die letzte Ziffer eine oder eine ist. Das ist bei der nicht der Fall.
• Durch ist eine Zahl nur dann teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine ist. Somit ist die auch nicht durch teilbar.
• Bleibt nur noch die , und die . Aber da die kein Teil der er-, er- oder er-Reihe ist, ist sie auch nicht durch eine der drei Zahlen teilbar.

Die Teiler von sind also und . Die ist damit eine Primzahl.

Quelle sofatutor.com

Mit dem Sieb des Eratosthenes können aus einer endlichen Liste an Zahlen alle Primzahlen herausgesiebt werden. Es ist ein systematisches Verfahren, um alle Primzahlen einer bestimmten Zahlenmenge zu bestimmen.
Dafür werden zunächst alle natürlichen Zahlen beginnend bei der bis zur festgelegten größten Zahl aufgelistet. Die weitere Vorgehensweise ist dann wie folgt:

• Zunächst wählen wir die kleinste Zahl in der Liste, also die , aus und umkreisen diese. Alle Vielfachen der werden nun durchgestrichen, da es sich bei ihnen nicht um Primzahlen handelt.
• Nun suchen wir die nächstgrößere noch nicht durchgestrichene Zahl. Das ist in diesem Fall die . Wir umkreisen diese Zahl ebenfalls. Alle Vielfachen der werden durchgestrichen.
• Diese Vorgehensweise wird so lange fortgeführt, bis alle Zahlen umkreist oder durchgestrichen sind.
• Bei allen umkreisten Zahlen handelt es sich um Primzahlen. Alle durchgestrichenen Zahlen sind keine Primzahlen.

Mit diesem Verfahren kann eine endliche Liste an Zahlen auf ihre Primzahlen reduziert werden. Eine Formel zur Berechnung aller Primzahlen einer bestimmten Menge ist nicht bekannt.

In der Schule ist es nützlich, die Primzahlen bis auswendig zu können. Die folgende Tabelle zeigt die Primzahlen bis 100 in verschiedenen Abstufungen und kann dir beim Lernen helfen.

Primzahlen spielen in verschiedenen mathematischen Prozessen eine Rolle. So sind Primzahlen besonders bei der Primfaktorzerlegung von Bedeutung. Aber auch bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers () und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen () ist es wichtig, dass du dich mit Primzahlen auskennst.