Grenzwert (Limes) – Definitionen und Erklärung

Inhaltsverzeichnis zum Thema Grenzwert

Grenzwert im Überblick

  • Die Betrachtung von Grenzwerten spielt in der Mathematik in der Analysis eine wichtige Rolle.
  • Einerseits wird mit Grenzwerten das Verhalten im Unendlichen betrachtet. Andererseits kann mit Grenzwerten das Verhalten an einer bestimmten Stelle betrachtet werden.
  • Der Grenzwert wird auch Limes genannt.

Der Grenzwert (Limes) in der Mathematik

Mit der Betrachtung des Grenzwerts, auch Limes genannt, werden bestimmte Eigenschaften von Funktionen und deren Funktionsgraphen untersucht. Dabei kann mit Grenzwertberechnung einerseits das Verhalten der Funktion im Unendlichen, andererseits das Verhalten an einer Stelle x_0 bestimmt werden.

Verhalten für x gegen unendlich

Mathematisch wird der Grenzwert wie folgt ausgedrückt:

  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)\qquad
    Sprich: „Limes x gegen unendlich“
  • \displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)\qquad
    Sprich: „Limes x gegen minus unendlich“

Die Buchstabenfolge \lim stammt von dem lateinischen Wort „limes“; unter den Buchstaben wird gekennzeichnet, welcher Grenzwert genau betrachtet wird.

Beispiele:

  • Die Funktion f(x)=\frac{1}{x}, mit dem Definitionsbereich \mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}, hat im Unendlichen folgendes Grenzwertverhalten:
    \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 0 und \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x} = 0
    Dies ist auch am Funktionsgraph erkennbar:
Graph der Funktion 1/x

Quelle sofatutor.com

  • Eine konstante Funktion, z. B. f(x) = 3, bleibt auch im Unendlichen konstant, d. h., es gilt für den Grenzwert:
    \displaystyle \lim_{x\to\infty} 3 = \lim_{x\to - \infty} 3
  • Für den Grenzwert der e-Funktion f(x) = e^x gilt:
    \displaystyle \lim_{x\to\infty} e^x = \infty und \displaystyle \lim_{x\to - \infty} e^x = 0

Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert

Bei der Grenzwertberechnung x gegen einen festen Wert x_0 wird das Verhalten einer Funktion an einer bestimmten Stelle x_0 betrachtet. Mathematisch wird dieser Limes wie folgt ausgedrückt:

  • \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)\qquad
    Sprich: „Limes x gegen x_0“

Die Untersuchung von Grenzverhalten an einer Stelle x_0 spielt vor allem bei Funktionen mit Definitionslücken eine wichtige Rolle. Hierbei wird untersucht, wie sich die Funktion ganz nah bei der Definitionslücke verhält. Es wird unterschieden zwischen dem linksseitigen Grenzwert und dem rechtsseitigen Grenzwert. Der Name sagt hier im Grunde schon aus, was sich dahinter verbirgt: Beim linksseitigen Grenzwert wird das Verhalten an der Stelle x_0 betrachtet, wenn wir uns von links nähern, und beim rechtsseitigen andersherum. Um dies zu unterscheiden, wird in der mathematischen Limes-Schreibweise zusätzlich durch einen hochgestellten Index vermerkt, ob x größer (+) oder kleiner (-) als x_0 ist.

  • Linksseitiger Grenzwert: \displaystyle \lim_{x \to x_0^-} f(x)
  • Rechtsseitiger Grenzwert: \displaystyle \lim_{x \to x_0^+} f(x)

Hinweis: Auch eine Schreibweise mit dem Zusatz x > x_0 für den rechtsseitigen und x < x_0 für den linksseitigen Grenzwert ist verbreitet: \begin{array}{c}x \to x_0 \\ x > x_0\end{array} bzw. \begin{array}{c}x \to x_0 \\ x < x_0\end{array}

Links- und rechtsseitiger Grenzwert bei gebrochen rationalen Funktionen

Bei gebrochen rationalen Funktionen kann mithilfe des links- und rechtsseitigen Grenzwerts eine Aussage über die Art der Definitionslücke getroffen werden. Die verschiedenen Arten sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

Art
Polstelle \displaystyle \lim_{x\to x_0^-} f(x) = \pm\infty und \lim_{x\to x_0^+} f(x)=\pm\infty
Sprungstelle linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind endlich und
\displaystyle \lim_{x\to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x\to x_0^+} f(x)
hebbare Definitionslücke linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind endlich und
\displaystyle \lim_{x\to x_0^-} f(x) = \lim_{x\to x_0^+} f(x)

Beispiel:
Wir betrachten wieder die Funktion f(x)=\frac{1}{x}, mit dem Definitionsbereich \mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}. Nun möchten wir das Verhalten an der Definitionslücke x_0 = 0 untersuchen. Am Graphen (s. o.) können wir erkennen, dass \displaystyle \lim_{x\to\0^-0} f(x) = -\infty und lim_{x\to\0^+} f(x)=\infty. Hier liegt also eine Polstelle vor.

Grenzwerte (Limes) bestimmen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Grenzwerte (Limes) zu berechnen bzw. das Grenzwertverhalten einer Funktion zu bestimmen.

Eine Möglichkeit ist die Testeinsetzung. Dabei wird eine Wertetabelle erstellt mit Werten, die

  • immer größer werden (für x gegen \infty).
  • immer kleiner werden (für x gegen - \infty).
  • immer näher an einem Wert x_0 liegen.

Zu den Werten werden die zugehörigen Funktionswerte der Funktion f, für die der Grenzwert bestimmt werden soll, eingesetzt. Aus dem Verhalten dieser Funktionswerte wird dann das Grenzverhalten abgeleitet.

Beispiel:
Wir betrachten die Funktion f(x) = \frac{x^2 ~-~ 1}{x~+~2} mit dem Definitionsbereich \mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{{-}2\}. Der Funktionsgraph für x > -2 der Funktion f sieht wie folgt aus:

Grenzwert einer Funktion

Wir möchten den Grenzwert für x gegen unendlich bestimmen und erstellen dafür eine Wertetabelle:

x 10 100 1 000 10 000 \to\infty
f(x) 8,\!25 98,\!029 998,\!0029 9980,\!0003 \to\infty

Sowohl aus dem Graphen als auch aus der Wertetabelle kann geschlossen werden, dass gilt:
\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = \infty

Hinweis: Streng mathematisch ist das Verfahren durch Testeinsetzung allein nicht korrekt, denn es kann sein, dass man zufällig Testwerte wählt, die einen falschen Eindruck erzeugen.

Eine andere Möglichkeit ist Termumformung, mit der eine Funktion so umgeformt werden kann, dass einzelne Teile der Funktion auf bekannte Grenzwerte zurückgeführt werden können.

Beispiel:
Wir betrachten die Funktion f(x) = \frac{x+1}{x}. Diese können wir umformen:
f(x) = \frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x}

Wir kennen den Grenzwert einer konstanten Funktion und den der Funktion \frac{1}{x}. Aufgrund der Grenzwertsätze, die im nächsten Abschnitt genauer erklärt werden, können wir nun wie folgt rechnen:
\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} 1 + \frac{1}{x} = \lim_{x\to\infty} 1 + \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 1 + 0 = 1

Im Folgenden werden Regeln für die Grenzwertbestimmung zusammengefasst und Vorgehensweisen bei bestimmten Funktionstypen beschrieben.

Grenzwertsätze

Bei der Grenzwertberechnung von Funktionen, die durch Verknüpfung von Funktionen mithilfe der Grundrechenarten entstehen, lässt sich der Grenzwert für die einzelnen Funktionsteile bestimmen.
In der Limes-Schreibweise bedeutet das:

  • \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} (f(x) + g(x)) = \lim_{x\to\pm\infty} f(x)+\lim_{x\to\pm\infty} g(x)
  • \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} (f(x) - g(x)) = \lim_{x\to\pm\infty} f(x) - \lim_{x\to\pm\infty} g(x)
  • \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x\to\pm\infty} f(x)\cdot\lim_{x\to\pm\infty} g(x)
  • \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim_{x\to\pm\infty} f(x)}{\lim_{x\to\pm\infty} g(x)}, wenn g(x)\neq 0 und \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} g(x)\neq 0

Außerdem gilt für eine Funktion f mit f(x) \neq 0:

  • Ist \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \pm \infty, gilt \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} \frac{1}{f(x)} = 0.

Die Grenzwertsätze gelten genauso für Grenzwerte gegen eine Stelle x_0.

Grenzwerte bei ganzrationalen Funktionen

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion von der Form:

f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n−1}+\cdots+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0

Dabei ist n der Grad, die höchste Potenz, und a_n​ der zugehörige Koeffizient der ganzrationalen Funktion.

Das Grenzwertverhalten einer ganzrationalen Funktion hängt zum einen davon ab, ob der Grad n gerade oder ungerade ist, und zum anderen davon, ob der Koeffizient a_n vor dem x mit der höchsten Potenz positiv oder negativ ist.

In der folgenden Tabelle ist das Verhalten für eine ganzrationale Funktion f zusammengefasst:

Grad n gerade Grad n ungerade
a_n positiv \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty
und
\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x) = \infty		 \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty
und
\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x) = - \infty
a_n negativ \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) = - \infty
und
\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x) = - \infty		 \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) = - \infty
und
\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x) = \infty

Beispiel:

Wir betrachten die Funktion f mit f(x) = x^2. Der Grad n=2 ist gerade und der Koeffizient a_n=1 ist positiv. Also gilt: \displaystyle \lim_{x\to\infty} x^2 = \infty und \displaystyle \lim_{x\to -\infty} x^2 = \infty

An der Grafik lässt sich dies bestätigen:

Funktionsgraph der Normalparabel

Grenzwerte und Ableitungen

Der Grenzwert wird auch bei der Definition von Ableitungen verwendet. Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x_0 wird berechnet mit dem Differenzialquotienten:

\displaystyle f^\prime (x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Häufig gestellte Fragen zum Thema Grenzwert

Der Grenzwert einer Funktion kann bestimmt werden durch Testeinsetzung, Termumformung oder unter Verwendung der Grenzwertsätze.

Der Limes, oder Grenzwert, einer Funktion kann beispielsweise durch Testeinsetzung bestimmt werden. Dafür wird eine Wertetabelle erstellt, beispielsweise mit Werten, die immer größer werden, für den Limes im Unendlichen.

Das Verhalten einer Funktion f im Unendlichen wird mithilfe des sogenannten Grenzwerts, oder auch Limes, berechnet.

Wächst eine Funktion f für immer größer werdende x immer weiter, genauer ins Unendliche, so ist der Grenzwert der Funktion unendlich:
\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty

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