Grenzwert (Limes) – Definitionen und Erklärung
Lerne alles über den Grenzwert in der Mathematik! Von Verhalten gegen unendlich bis zu links- und rechtsseitigen Grenzwerten. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.
Inhaltsverzeichnis zum Thema Grenzwert
Das Quiz zum Thema: Grenzwert
Was wird mit dem Grenzwert in der Mathematik untersucht?
Frage 1 von 5
Wie wird der Limes in mathematischer Schreibweise dargestellt, wenn es um das Verhalten gegen unendlich geht?
Frage 2 von 5
Was wird beim linksseitigen Grenzwert betrachtet?
Frage 3 von 5
Wie kann man Grenzwerte bei ganzrationalen Funktionen bestimmen?
Frage 4 von 5
Welche Art von Grenzwert liegt vor, wenn eine Funktion für immer größer werdende x immer weiter wächst?
Frage 5 von 5
Wie willst du heute lernen?
Der Grenzwert (Limes) in der Mathematik
Mit der Betrachtung des Grenzwerts, auch Limes genannt, werden bestimmte Eigenschaften von Funktionen und deren Funktionsgraphen untersucht. Dabei kann mit Grenzwertberechnung einerseits das Verhalten der Funktion im Unendlichen, andererseits das Verhalten an einer Stelle bestimmt werden.
Verhalten für gegen unendlich
Mathematisch wird der Grenzwert wie folgt ausgedrückt:
Sprich: „Limesgegen unendlich“
Sprich: „Limesgegen minus unendlich“
Die Buchstabenfolge stammt von dem lateinischen Wort „limes“; unter den Buchstaben wird gekennzeichnet, welcher Grenzwert genau betrachtet wird.
Beispiele:
- Die Funktion
, mit dem Definitionsbereich
, hat im Unendlichen folgendes Grenzwertverhalten:
und
Dies ist auch am Funktionsgraph erkennbar:

Quelle sofatutor.com
- Eine konstante Funktion, z. B.
, bleibt auch im Unendlichen konstant, d. h., es gilt für den Grenzwert:
- Für den Grenzwert der
-Funktion
gilt:
und
Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert
Bei der Grenzwertberechnung gegen einen festen Wert
wird das Verhalten einer Funktion an einer bestimmten Stelle
betrachtet. Mathematisch wird dieser Limes wie folgt ausgedrückt:
Sprich: „Limesgegen
“
Die Untersuchung von Grenzverhalten an einer Stelle spielt vor allem bei Funktionen mit Definitionslücken eine wichtige Rolle. Hierbei wird untersucht, wie sich die Funktion ganz nah bei der Definitionslücke verhält. Es wird unterschieden zwischen dem linksseitigen Grenzwert und dem rechtsseitigen Grenzwert. Der Name sagt hier im Grunde schon aus, was sich dahinter verbirgt: Beim linksseitigen Grenzwert wird das Verhalten an der Stelle
betrachtet, wenn wir uns von links nähern, und beim rechtsseitigen andersherum. Um dies zu unterscheiden, wird in der mathematischen Limes-Schreibweise zusätzlich durch einen hochgestellten Index vermerkt, ob
größer (
) oder kleiner (
) als
ist.
- Linksseitiger Grenzwert:
- Rechtsseitiger Grenzwert:
Hinweis: Auch eine Schreibweise mit dem Zusatz für den rechtsseitigen und
für den linksseitigen Grenzwert ist verbreitet:
bzw.
Links- und rechtsseitiger Grenzwert bei gebrochen rationalen Funktionen
Bei gebrochen rationalen Funktionen kann mithilfe des links- und rechtsseitigen Grenzwerts eine Aussage über die Art der Definitionslücke getroffen werden. Die verschiedenen Arten sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:
Art | |
---|---|
Polstelle | ![]() ![]() |
Sprungstelle | linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind endlich und![]() |
hebbare Definitionslücke | linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind endlich und![]() |
Beispiel:
Wir betrachten wieder die Funktion , mit dem Definitionsbereich
. Nun möchten wir das Verhalten an der Definitionslücke
untersuchen. Am Graphen (s. o.) können wir erkennen, dass
und
. Hier liegt also eine Polstelle vor.
Grenzwerte (Limes) bestimmen
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Grenzwerte (Limes) zu berechnen bzw. das Grenzwertverhalten einer Funktion zu bestimmen.
Eine Möglichkeit ist die Testeinsetzung. Dabei wird eine Wertetabelle erstellt mit Werten, die
- immer größer werden (für
gegen
).
- immer kleiner werden (für
gegen
).
- immer näher an einem Wert
liegen.
Zu den Werten werden die zugehörigen Funktionswerte der Funktion , für die der Grenzwert bestimmt werden soll, eingesetzt. Aus dem Verhalten dieser Funktionswerte wird dann das Grenzverhalten abgeleitet.
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion mit dem Definitionsbereich
. Der Funktionsgraph für
der Funktion
sieht wie folgt aus:

Wir möchten den Grenzwert für gegen unendlich bestimmen und erstellen dafür eine Wertetabelle:
x | 10 | 100 | 1 000 | 10 000 | ![]() |
---|---|---|---|---|---|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Sowohl aus dem Graphen als auch aus der Wertetabelle kann geschlossen werden, dass gilt:
Hinweis: Streng mathematisch ist das Verfahren durch Testeinsetzung allein nicht korrekt, denn es kann sein, dass man zufällig Testwerte wählt, die einen falschen Eindruck erzeugen.
Eine andere Möglichkeit ist Termumformung, mit der eine Funktion so umgeformt werden kann, dass einzelne Teile der Funktion auf bekannte Grenzwerte zurückgeführt werden können.
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion . Diese können wir umformen:
Wir kennen den Grenzwert einer konstanten Funktion und den der Funktion . Aufgrund der Grenzwertsätze, die im nächsten Abschnitt genauer erklärt werden, können wir nun wie folgt rechnen:
Im Folgenden werden Regeln für die Grenzwertbestimmung zusammengefasst und Vorgehensweisen bei bestimmten Funktionstypen beschrieben.
Grenzwertsätze
Bei der Grenzwertberechnung von Funktionen, die durch Verknüpfung von Funktionen mithilfe der Grundrechenarten entstehen, lässt sich der Grenzwert für die einzelnen Funktionsteile bestimmen.
In der Limes-Schreibweise bedeutet das:
- \displaystyle
, wenn
und
Außerdem gilt für eine Funktion mit
:
- Ist
, gilt
.
Die Grenzwertsätze gelten genauso für Grenzwerte gegen eine Stelle .
Grenzwerte bei ganzrationalen Funktionen
Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion von der Form:
Dabei ist der Grad, die höchste Potenz, und
der zugehörige Koeffizient der ganzrationalen Funktion.
Das Grenzwertverhalten einer ganzrationalen Funktion hängt zum einen davon ab, ob der Grad gerade oder ungerade ist, und zum anderen davon, ob der Koeffizient
vor dem
mit der höchsten Potenz positiv oder negativ ist.
In der folgenden Tabelle ist das Verhalten für eine ganzrationale Funktion zusammengefasst:
Grad ![]() |
Grad ![]() |
|
---|---|---|
![]() |
![]() und ![]() |
![]() und ![]() |
![]() |
![]() und ![]() |
![]() und ![]() |
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion mit
. Der Grad
ist gerade und der Koeffizient
ist positiv. Also gilt:
und
An der Grafik lässt sich dies bestätigen:

Grenzwerte und Ableitungen
Der Grenzwert wird auch bei der Definition von Ableitungen verwendet. Die Ableitung einer Funktion an der Stelle
wird berechnet mit dem Differenzialquotienten:
Häufig gestellte Fragen zum Thema Grenzwert
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