Winkelhalbierende – Definition, Eigenschaften und Konstruktion

Winkelhalbierende teilen Winkel in zwei gleich große Teile und finden sich in vielen geometrischen Figuren. Entdecke, wie man Winkelhalbierende konstruiert und ihre Rolle im Dreieck, Viereck und regelmäßigen Polygonen.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Winkelhalbierende

Winkelhalbierende im Überblick

  • Winkelhalbierende teilen einen Winkel in zwei gleich große Hälften.

  • Die Winkelhalbierende kannst du für jeden Winkel konstruieren.

  • Winkelhalbierende sind in geometrischen Figuren mit Ecken zu finden.

  • Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden in einem Dreieck ist der Mittelpunkt des Inkreises.

Winkelhalbierende: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Definition und Eigenschaften der Winkelhalbierenden

Ein Winkel hat feste Größen und liegt immer zwischen zwei sich schneidenden Strecken oder Halbgeraden. Der Winkelscheitel befindet sich im Schnittpunkt, die beiden geraden Linien bilden die Schenkel des Winkels.

Winkel

Ein Winkel wird, wie der Name schon verrät, von seiner Winkelhalbierenden halbiert. Es entstehen zwei gleich große Winkel, die zusammen den ursprünglichen Winkel bilden.

Winkelhalbierende Definition

Alle Punkte auf der Winkelhalbierenden haben den gleichen Abstand zu den beiden Schenkeln, da sie genau in der Mitte zwischen ihnen verläuft.

Konstruktion der Winkelhalbierenden

Für die Konstruktion der Winkelhalbierenden benötigst du einen Zirkel und ein Lineal. Bei der Konstruktion kannst du dich dann an die folgende Schrittfolge halten:

  • Stich den Zirkel im Scheitelpunkt ein und zeichne einen Kreisbogen so, dass er beide Schenkel schneidet. Markiere diese Schnittpunkte.
Schritt 1
  • Die beiden Schnittpunkte dienen dir als Mittelpunkte für zwei weitere Kreise. Wähle den Radius der beiden Kreise gleich groß und so, dass die beiden Kreise sich schneiden.
Erster Kreis des 2. Schrittes
Zweiter Kreis des 2. Schrittes
  • Zeichne die Winkelhalbierende, indem du eine Halbgerade vom Scheitelpunkt aus durch die Schnittpunkte der beiden Kreise ziehst. Diese Halbgerade ist die Winkelhalbierende.
Schritt 3

In der folgenden Abbildung sind alle Schritte zur Konstruktion der Winkelhalbierenden zusammengefasst.

Konstruktion der Winkelhalbierenden

Winkelhalbierende in verschiedenen geometrischen Figuren

Die meisten geometrischen Figuren besitzen Ecken. Diese schließen Winkel ein, sodass es für jeden Winkel auch eine Winkelhalbierende gibt. Eine geometrische Figur besitzt also so viele Winkelhalbierende, wie sie auch Ecken beziehungsweise Winkel besitzt.

Es gibt beispielsweise keine Winkelhalbierenden im Kreis, da ein Kreis keine Ecken hat. Ein Dreieck hingegen hat entsprechend drei Winkelhalbierende.

Die Winkelhalbierenden einer geometrischen Figur können einen gemeinsamen Schnittpunkt aufweisen. Hat eine Figur einen solchen gemeinsamen Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden, ist dieser der Mittelpunkt des Inkreises der geometrischen Figur. Der Inkreis berührt alle Seiten der Figur, sein Mittelpunkt ist also von allen Seiten gleich weit entfernt.

Schneiden sich alle Winkelhalbierenden einer Figur in einem Punkt, ist dieser Schnittpunkt Mittelpunkt des Inkreises.
Der Inkreis berührt alle Seiten der Figur. Da jede Winkelhalbierende so verläuft, dass sie zu zwei Seiten den gleichen Abstand hat, gilt für ihren Schnittpunkt, dass er von allen Seiten gleich weit entfernt ist. 

Durch die Konstruktion der Winkelhalbierenden kannst du also auch den Inkreis konstruieren. Hier siehst du dies am Beispiel eines Dreiecks.

Winkelhalbierende und Inkreis

Winkelhalbierende im Dreieck

Die Winkelhalbierenden im Dreieck schneiden sich immer in einem Punkt innerhalb des Dreiecks. Jedes Dreieck besitzt also einen Inkreis.

Winkelhalbierende im Dreieck

Bei den verschiedenen Arten von Dreiecken gibt es Besonderheiten bezüglich der Winkelhalbierenden:

  • Im gleichseitigen Dreieck stimmen die Winkelhalbierenden mit den Mittelsenkrechten überein.
  • Im rechtwinkligen Dreieck halbiert die Winkelhalbierende des rechten Winkels auch den Winkel, der zwischen der Höhe und der Seitenhalbierenden der Hypotenuse eingeschlossen wird.

Hinweis: Da sich die Winkelhalbierenden eines Dreiecks immer in einem Punkt schneiden, ist es für die Konstruktion des Inkreismittelpunkts ausreichend, den Schnittpunkt anhand von zwei der drei Winkelhalbierenden zu konstruieren.

Winkelhalbierende im Viereck

Im Gegensatz zum Dreieck hat nicht jedes Viereck einen Inkreis, der alle Seiten der Figur berührt. Einen solchen Kreis gibt es nur dann, wenn alle Winkelhalbierenden sich in einem Punkt schneiden.

Die Winkelhalbierenden eines Drachenvierecks schneiden sich beispielsweise immer in einem Punkt. Daher hat jedes Drachenviereck einen Inkreis.

Die Winkelhalbierenden im Parallelogramm hingegen können aneinander vorbeiführen und besitzen dann keinen gemeinsamen Schnittpunkt. Ein Parallelogramm hat also im Allgemeinen keinen Inkreis.

Winkelhalbierende im regelmäßigen Polygon

Ein regelmäßiges Polygon (auch regelmäßiges Vieleck) ist ein Vieleck, dessen Seiten alle gleich lang und dessen Innenwinkel gleich groß sind.
Betrachtest du die Winkelhalbierenden in einem regelmäßigen Polygon, wird dir auffallen, dass diese sich immer in einem Punkt schneiden. Es gibt also einen Inkreis.

Beispielhaft kannst du dies an diesem regelmäßigen Fünfeck beobachten. Auch regelmäßige Acht- oder Zehnecke erfüllen diese Eigenschaft, ebenso wie jedes regelmäßige n-Eck.

Regelmäßiges Fünfeck mit Winkelhalbierenden

Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.

Bei der Konstruktion einer Winkelhalbierenden kannst du dich an die folgenden Schritte halten: 

  1. Zeichne einen Hilfskreis um den Winkelscheitel.
  2. Zeichne zwei Kreise mit gleichem Radius um die Schnittpunkte des Hilfskreises mit den Schenkeln. 
  3. Zeichne die Winkelhalbierende durch die Schnittpunkte der beiden Kreise ein.

Die Länge einer Winkelhalbierenden kannst du nicht berechnen, da es sich um eine Halbgerade handelt. Eine Halbgerade geht von einem Punkt aus und kann dann bis ins Unendliche verlängert werden, weshalb du keine Länge feststellen kannst.

Ein Dreieck hat drei Winkelhalbierende, da es auch drei Winkel besitzt.

Ein Viereck hat vier Winkelhalbierende, da es vier Winkel besitzt.

Winkelhalbierende teilen einen Winkel in zwei gleich große Winkel auf. Sie halbieren also den ursprünglichen Winkel. Alle Punkte auf der Winkelhalbierenden sind gleich weit von beiden Schenkeln des Winkels entfernt.

Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist der Mittelpunkt des Inkreises.

Auch im räumlichen Kontext bleiben die Eigenschaften der Winkelhalbierenden erhalten. In der Raumgeometrie ist die Winkelhalbierende keine Halbgerade, sondern eine Ebene.

Während die Winkelhalbierende in der Geometrie immer dann Anwendung finden, wenn Ecken existieren, sind Tangenten an Kreisen zu finden.

Die Winkelhalbierende dient immer auch als Symmetrieachse für den Winkel. Wird einer der Schenkel an ihr gespiegelt, erhält man genau den anderen Schenkel des Winkels. Eine Winkelhalbierende kann in besonderen Fällen auch als Symmetrieachse von Figuren dienen. Das ist beispielsweise der Fall bei einem gleichschenkligen oder gleichseitigen Dreieck.

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