Was ist ein Vektor? – Grundlagen zu Vektoren

Lerne, was Vektoren sind und wie sie durch Länge und Richtung definiert werden. Entdecke, wie man Vektoren im Koordinatensystem darstellt, ihre Länge berechnet und sie addiert oder subtrahiert. Beeindruckende Beispiele und häufig gestellte Fragen warten auf dich!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Vektoren

Das Quiz zum Thema: Vektor und was ist ein Vektor

Was ist ein Vektor?

Frage 1 von 5

Wie werden Vektoren im zweidimensionalen Koordinatensystem beschrieben?

Frage 2 von 5

Wie berechnet man die Länge eines Vektors?

Frage 3 von 5

Wann sind zwei Vektoren parallel zueinander?

Frage 4 von 5

Was ist das Skalarprodukt zweier orthogonalen Vektoren?

Frage 5 von 5

Der Vektor im Überblick

  • Eine Größe, die durch ihre Länge und Richtung definiert ist, wird als Vektor bezeichnet.
  • Vektoren im zweidimensionalen Koordinatensystem werden durch zwei Koordinaten beschrieben. Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem werden durch drei Koordinaten beschrieben.
  • Die Schreibweise für zweidimensionale Vektoren lautet:
    \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}

  • In der Vektorrechnung sind die Regeln für das Rechnen mit Vektoren festgelegt.
Vektor und Was ist ein Vektor: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Vektor – Definition und Erklärung

Wird ein Punkt im Koordinatensystem verschoben, dann ändern sich der x-Wert und der y-Wert des Punktes. Als Vektor wird die Verschiebung des Punktes bezeichnet. Vektoren werden als Pfeile im Koordinatensystem dargestellt. Sie sind definiert durch ihre Länge und ihre Richtung. Dargestellt wird also, in welche Richtung und wie weit ein Punkt verschoben wurde.

Vektor

Ist eine Größe durch ihre Länge und ihre Richtung definiert, dann sprechen wir von einem Vektor.

Vektoren – Schreibweise

Vektoren werden entweder als Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber bezeichnet (\vec{a}, \vec{c} …) oder als Strecke zwischen Start- und Endpunkt mit einem Pfeil darüber (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD} …).
Im zweidimensionalen Koordinatensystem bestehen die Vektoren aus zwei Koordinaten, die wir übereinander schreiben.

\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}

Dabei ist a_1 die Verschiebung in Rightung der x-Achse und a_2 die Verschiebung in Richtung der y-Achse.

Vektor – Beispiel: \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}

Vektoren im dreidimensionalen Raum besitzen zusätzlich noch eine dritte Koordinate für die Verschiebung in Richtung der z-Achse.

\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}

Vektor eines Punktes im Koordinatensystem bilden

Jeder Punkt B(b_1 \vert b_2) im Koordinatensystem lässt sich mit seinen Koordinaten als Vektor darstellen. Dabei ist b_1 die Verschiebung in x-Richtung und b_2 die Verschiebung in y-Richtung vom Ursprung O(0 \vert 0) aus. Die Vektorschreibweise lautet dann:

\vec{b} = \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}

Die Koordinaten des Vektors entsprechen also den Koordinaten des Punktes.
Für Vektoren im dreidimensionalen Raum gilt analog:

\vec{b} = \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}

Da ein solcher Vektor den Ort beschreibt, an dem sich ein Punkt im Koordinatensystem befindet, wird er auch als Ortsvektor bezeichnet.

Beispiel:
Gegeben ist der Punkt P(3 \vert 7). Der zugehörige Ortsvektor lautet:

\vec{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}

Vektoren zwischen zwei Punkten berechnen

Wollen wir Vektoren zwischen zwei Punkten bestimmen, müssen wir die Koordinaten des Anfangspunktes von den Koordinaten des Endpunktes abziehen.
Der Vektor \overrightarrow{BC} mit dem Anfangspunkt B(b_1 \vert b_2) und dem Endpunkt C(c_1 \vert c_2) berechnet sich folgendermaßen:

\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} c_1 - b_1 \\ c_2 - b_2 \end{pmatrix}

Es werden die Koordinaten der Pfeilspitze (Endpunkt) minus die Koordinaten vom Fuß (Anfangspunkt) des Vektors berechnet. Da der Vektorpfeil die beiden Punkte verbindet, heißt er auch Verbindungsvektor.

Beachte: Beim Berechnen musst du immer auf die Richtung des Vektors achten. Ist der Anfangspunkt des Vektors der Punkt C, handelt es sich um den Vektor \overrightarrow{CB}. Dieser berechnet sich folgendermaßen:

\overrightarrow{CB} = \begin{pmatrix} b_1 - c_1 \\ b_2 - c_2 \end{pmatrix}

Beispiel:
Gegeben sind der Anfangspunkt A(2 \vert 2 \vert 2) und der Endpunkt B(3 \vert 4 \vert 3). Der Vektor \vec{v} zwischen den beiden Punkten lautet dann:

\vec{v} = \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 - 2 \\ 4 - 2 \\ 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

Lage von Vektoren zueinander

Wie zwei Geraden können auch zwei Vektoren verschieden zueinander liegen.

Vektoren Beispiele

Parallel
Zeigt ein Vektor \vec{b} in die gleiche Richtung wie der Vektor \vec{a}, sind die beiden Vektoren parallel zueinander. Parallel zueinander sind sie auch, wenn sie in entgegengesetzte Richtungen zeigen.
Von den oben dargestellten Vektoren sind die Vektoren \vec{a}, \vec{c} und \vec{e} parallel zueinander. Für \vec{a} und \vec{c} gilt:
\vec{AB} = \vec{a} = \vec{c} = \vec{CD}

Gegenvektor
Sind zwei Vektoren \vec{c} und \vec{e} parallel zueinander, gleich lang und zeigen in entgegengesetzte Richtungen, dann ist \vec{e} der Gegenvektor von \vec{c} (und \vec{c} der Gegenvektor von \vec{e}). Der Gegenvektor von \vec{e} ist gleich -\vec{c}. Es gilt also:
\vec{e} = - \vec{c}

Senkrecht
Schneiden sich zwei Vektoren in einem 90^\circ-Winkel, stehen sie senkrecht aufeinander.

Arten von Vektoren

Wir unterscheiden zwei Arten von Vektoren: die Ortsvektoren und die Richtungsvektoren. Die folgende Tabelle zeigt die wichtigsten Eigenschaften der beiden Vektorarten.

Art des Vektors Eigenschaften Bezeichnung Beispiel
Ortsvektor Startpunkt ist immer im Ursprung.
Er kann für jeden Punkt im Koordinatensystem gebildet werden.
Der Ortsvektor besitzt die gleichen Koordinaten wie der Punkt selbst.
\overrightarrow{OP} oder \vec{p} Punkt: P(5 \vert 4)
Ortsvektor: \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}
Richtungsvektor (Verbindungsvektor) Startpunkt an einem beliebigen Punkt Er beinhaltet entweder den Start- und Endpunkt (\vec{AB}) oder wird als beliebiger Kleinbuchstabe bezeichnet (\vec{a}). Punkte: A(3 \vert 4), B(4 \vert 7)
Richtungsvektor: \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 - 3 \\ 7 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}

Länge eines Vektors

Jeder Vektor besitzt eine bestimmte Länge, die dem Betrag des Vektors entspricht. Ist ein Vektor \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix} gegeben, dann lässt sich die Länge mit der folgenden Formel berechnen:

\vert \vec{b} \vert = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}

Um die Länge eines Vektors zu berechnen, werden die einzelnen Komponenten quadriert und dann wird die Wurzel aus der Summe der quadrierten Komponenten gezogen.
Für den zweidimensionalen Raum gehen wir genauso vor, die dritte Komponente fällt dann weg.

Ist der Betrag eines Vektors 1, heißt der Vektor normiert:
\vert \vec{b} \vert = 1

Beispiel:
Die Länge des Vektors \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} ist:

\vert \vec{b} \vert = \sqrt{2^2 + 5^2 + 7^2} = \sqrt{78} \approx 8,\!83

Vektorrechnung – Mathe

Die folgenden Abschnitte zeigen, wie du mit Vektoren rechnen kannst.

Vektoraddition und Vektorsubtraktion

Werden zwei Vektoren addiert oder subtrahiert, dann sprechen wir von der Vektoraddition beziehungsweise der Vektorsubtraktion. Die Vektoraddition und Vektorsubtraktion erfolgt komponentenweise.
Zwei Vektoren \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} und \vec{c} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} können folgendermaßen addiert und subtrahiert werden:

\vec{b} \pm \vec{c} = \begin{pmatrix} c_1 \pm b_1 \\ c_2 \pm b_2 \\ c_3 \pm b_3 \end{pmatrix}

Es können auch mehr als zwei Vektoren addiert oder subtrahiert werden.

Vektoraddition

Beispiel:
\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3 \\ 5 + 8 \\ 7 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 13 \\ 11 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 6 \\ 15 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 3 \\ 15 - 9 \\ 4 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}

Skalarmultiplikation

Um einen Vektor \vec{a} zu verlängern oder zu verkürzen, wird er mit einer reellen Zahl \lambda multipliziert. Dabei werden alle Komponenten des Vektors einzeln mit \lambda multipliziert. Die reelle Zahl wird auch als Skalar bezeichnet. Die Multiplikation mit einem Skalar wird Skalarmultiplikation genannt.

\lambda \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} \lambda \cdot a_1 \\ \lambda \cdot a_2 \\ \lambda \cdot a_3 \end{pmatrix}

Dabei gilt:

  • für \lambda < 1, der Vektor wird gestaucht (verkürzt).
  • für \lambda > 1, der Vektor wird gestreckt (verlängert).
  • für \lambda < 0, die Richtung des Vektors wird geändert.
  • für \lambda = -1, der Gegenvektor wird gebildet.

Beispiel:
2 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 5 \\ 2 \cdot 4 \\ 2 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \\ 16 \end{pmatrix}

Skalarprodukt

Bei dem Skalarprodukt handelt es sich um eine Abbildung, bei der aus zwei Vektoren eine reelle Zahl gebildet wird. Das Skalarprodukt darf nicht mit der Skalarmultiplikation verwechselt werden.
Sind zwei Vektoren \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} und \vec{c} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} gegeben, dann ist das Skalarprodukt dieser zwei Vektoren definiert als:

\vec{b} \cdot \vec{c} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = b_1 \cdot c_1 + b_2 \cdot c_2 + b_3 \cdot c_3

Stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander, ist das Skalarprodukt gleich 0. Wir können mit dem Skalarprodukt also berechnen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Beispiel:
\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 4 + (-2) \cdot 5 + 5 \cdot 1 = 12 - 10 + 5 = 7

Kreuzprodukt

Bei der Berechnung des Kreuzprodukts zweier Vektoren erhalten wir einen Vektor, der senkrecht zu beiden Vektoren steht.
Sind zwei Vektoren \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} und \vec{c} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} gegeben, dann berechnet sich das Kreuzprodukt als:

\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} b_2 c_3 - b_3 c_2 \\ b_3 c_1 - b_1 c_3 \\ b_1 c_2 - b_2 c_1 \end{pmatrix}

Beispiel:
\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2) \cdot 1 - 5 \cdot 5 \\ 5 \cdot 4 - 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 5 - (-2) \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 - 25 \\ 20 - 3 \\ 15 - (-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -27\\ 17 \\ 23 \end{pmatrix}

Linearkombination

Als Linearkombination wird ein Vektor bezeichnet, der aus einer Kombination von Vektoraddition und Skalarmultiplikation entsteht. Es stellt eine Möglichkeit dar, aus zwei Vektoren einen neuen Vektor zu bilden. Die mathematische Schreibweise für die Linearkombination aus zwei Vektoren ist:

\vec{v} = \lambda_1 \cdot \vec{v_1} + \lambda_2 \cdot \vec{v_2}

Dabei sind \lambda_1 und \lambda_2 reelle Zahlen, also Skalare. \vec{v_1} und \vec{v_2} sind die Vektoren, die kombiniert werden.

Die mathematische Schreibweise für die Linearkombination aus drei Vektoren ist:

\vec{v} = \lambda_1 \cdot \vec{v_1} + \lambda_2 \cdot \vec{v_2} + \lambda_3 \cdot \vec{v_3}

Dabei sind \lambda_1, \lambda_2 und \lambda_3 reelle Zahlen, also Skalare. \vec{v_1}, \vec{v_2} und \vec{v_3} sind die Vektoren, die kombiniert werden.

Lineare Abhängigkeit

Lässt sich ein Vektor durch die Linearkombination eines anderen darstellen, dann sind die beiden Vektoren linear abhängig. Die Vektoren \vec{v_1} und \vec{v_2} sind linear abhängig, wenn gilt:

\vec{v_1} = \lambda \cdot \vec{v_2}

Der Vektor \vec{v_1} ist dann ein Vielfaches des Vektors \vec{v_2}.
Grafisch zeigen diese Vektoren entweder in die gleiche oder in entgegengesetzte Richtung, müssen jedoch nicht gleich lang sein. Sie sind also parallel. Sind zwei Vektoren linear abhängig, heißen sie kollinear.
Liegen drei Vektoren im dreidimensionalen Raum in der gleichen Ebene, sind sie linear abhängig. Lässt sich ein Vektor als Linearkombination zweier anderer Vektoren darstellen, sind die drei Vektoren komplanar:

\vec{v_3} = \lambda_1 \cdot \vec{v_1} + \lambda_2 \cdot \vec{v_2}

Dabei sind \lambda_1 und \lambda_2 reelle Zahlen. Der Vektor \vec{v_3} lässt sich als Linearkombination aus den Vektoren \vec{v_1} und \vec{v_2} darstellen. Die drei Vektoren sind also komplanar.

Lineare Unabhängigkeit

Zwei linear unabhängige Vektoren lassen sich nicht durch eine Linearkombination des jeweils anderen darstellen. Sie zeigen in zwei verschiedene Richtungen. 

Drei Vektoren im dreidimensionalen Raum sind linear unabhängig, wenn sie paarweise unabhängig sind und einer der Vektoren aus der Ebene heraus zeigt, die die anderen beiden aufspannen. 

Vektor zeichnen

Die Vorgehensweise, um einen Ortsvektor zu zeichnen, ist zunächst genauso wie beim Einzeichnen eines Punktes in ein Koordinatensystem. Soll der Vektor \vec{c} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} gezeichnet werden, gehen wir folgendermaßen vor:

  • Vom Ursprung c_1 Einheiten entlang der x-Achse gehen. Ist c_1 positiv, gehen wir nach rechts, ist c_1 negativ, gehen wir nach links.
  • Im Anschluss c_2 Einheiten in y-Richtung gehen. Ist c_2 positiv, gehen wir nach oben, ist c_2 negativ, gehen wir nach unten.
  • Dann c_3 Einheiten in z-Richtung gehen. Ist c_3 positiv, gehen wir nach vorne, ist c_3 negativ, gehen wir nach hinten.
  • So erhalten wir den Endpunkt des Vektors.
  • Endpunkt mit dem Ursprung verbinden. Die Pfeilspitze wird am Endpunkt eingezeichnet.

Da ein Vektor durch seine Richtung und seine Länge, jedoch nicht durch seinen Startpunkt eindeutig definiert ist, ist es egal, wo wir beim Einzeichnen eines Richtungsvektors starten. Für den gleichen Vektor gibt es also unendlich viele Möglichkeiten, ihn einzuzeichnen.

Im zweidimensionalen Raum funktioniert das genauso, dort gibt es bloß keine z-Achse und die Vektoren haben dementsprechend nur zwei Koordinaten.

Vektoren ablesen

Um die Koordinaten eines Vektors abzulesen, starten wir beim Anfangspunkt des Vektors. Dann muss nachgezählt werden, um wie viele Einheiten der Endpunkt in Richtung der x-Achse, in Richtung der y-Achse und in Richtung der z-Achse zum Anfangspunkt verschoben ist. Die Verschiebung in Richtung der x-Achse bildet die erste Koordinate, die Verschiebung in Richtung der y-Achse die zweite Koordinate und die Verschiebung in Richtung der z-Achse die dritte Koordinate des Vektors.

Im zweidimensionalen Raum funktioniert das genauso, dort gibt es bloß keine z-Achse und die Vektoren haben dementsprechend nur zwei Koordinaten.

Hinweis: Im dreidimensionalen Koordinatensystem ist die Darstellung nicht eindeutig. Die Komponenten eines Vektors können nur dann eindeutig abgelesen werden, wenn zusätzliche Informationen bekannt sind.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Vektoren in Mathe

Ein Vektor ist eine Größe, die durch ihre Länge und Richtung definiert ist.

Vektoren geben an, um welche Länge und in welche Richtung ein Punkt im Vergleich zu einem anderen Punkt verschoben ist.

Der Betrag eines Vektors ist die Länge des Vektors und wird berechnet als:
\vert \vec{b} \vert = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}

Die Länge eines Vektors kann mit der Formel \vert \vec{b} \vert = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} berechnet werden.

Nein. Ein Vektor hat jedoch immer die gleiche Länge wie sein Gegenvektor.

Ein Vektor ist normiert, wenn sein Betrag 1 ist. Für normierte Vektoren gilt:
\vert \vec{b} \vert = 1

Um den Vektor zwischen zwei Punkten zu berechnen, werden die Koordinaten des Anfangspunktes von den Koordinaten des Endpunktes abgezogen:
\vec{BC} = \begin{pmatrix} c_1 - b_1 \\ c_2 - b_2 \end{pmatrix}

Zwei Vektoren sind kollinear zueinander, wenn sie parallel zueinander sind. Sie müssen dabei nicht die gleiche Länge haben. Kann man einen Vektor so mit einem Skalar multiplizieren, dass der andere Vektor herauskommt, sind die Vektoren kollinear:
\vec{v_1} = \lambda \cdot \vec{v_2}

Zwei Vektoren sind dann parallel, wenn sie in die gleiche oder die genau entgegengesetzte Richtung zeigen. Das Kreuzprodukt zweier paralleler Vektoren ist der Nullvektor.

Orthogonale Vektoren stehen senkrecht aufeinander, bilden also einen rechten Winkel zwischen sich. Das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren ist 0.

Ist der Winkel zwischen zwei Vektoren gleich 90^\circ, stehen sie senkrecht aufeinander. Das Skalarprodukt der Vektoren ist dann gleich 0.

Lässt sich ein Vektor als Linearkombination zweier anderer Vektoren darstellen, sind die drei Vektoren komplanar. Sie liegen in der gleichen Ebene in einem dreidimensionalen Raum. 

Leave A Comment