Was ist ein Vektor? – Grundlagen zu Vektoren

Wird ein Punkt im Koordinatensystem verschoben, dann ändern sich der -Wert und der -Wert des Punktes. Als Vektor wird die Verschiebung des Punktes bezeichnet. Vektoren werden als Pfeile im Koordinatensystem dargestellt. Sie sind definiert durch ihre Länge und ihre Richtung. Dargestellt wird also, in welche Richtung und wie weit ein Punkt verschoben wurde.

Ist eine Größe durch ihre Länge und ihre Richtung definiert, dann sprechen wir von einem Vektor.

Vektoren werden entweder als Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber bezeichnet (, …) oder als Strecke zwischen Start- und Endpunkt mit einem Pfeil darüber (, …).
Im zweidimensionalen Koordinatensystem bestehen die Vektoren aus zwei Koordinaten, die wir übereinander schreiben.

Dabei ist die Verschiebung in Rightung der -Achse und die Verschiebung in Richtung der -Achse.

Vektor – Beispiel:

Vektoren im dreidimensionalen Raum besitzen zusätzlich noch eine dritte Koordinate für die Verschiebung in Richtung der -Achse.

Jeder Punkt im Koordinatensystem lässt sich mit seinen Koordinaten als Vektor darstellen. Dabei ist die Verschiebung in -Richtung und die Verschiebung in -Richtung vom Ursprung aus. Die Vektorschreibweise lautet dann:

Die Koordinaten des Vektors entsprechen also den Koordinaten des Punktes.
Für Vektoren im dreidimensionalen Raum gilt analog:

Da ein solcher Vektor den Ort beschreibt, an dem sich ein Punkt im Koordinatensystem befindet, wird er auch als Ortsvektor bezeichnet.

Beispiel:
Gegeben ist der Punkt . Der zugehörige Ortsvektor lautet:

Wollen wir Vektoren zwischen zwei Punkten bestimmen, müssen wir die Koordinaten des Anfangspunktes von den Koordinaten des Endpunktes abziehen.
Der Vektor mit dem Anfangspunkt und dem Endpunkt berechnet sich folgendermaßen:

Es werden die Koordinaten der Pfeilspitze (Endpunkt) minus die Koordinaten vom Fuß (Anfangspunkt) des Vektors berechnet. Da der Vektorpfeil die beiden Punkte verbindet, heißt er auch Verbindungsvektor.

Beachte: Beim Berechnen musst du immer auf die Richtung des Vektors achten. Ist der Anfangspunkt des Vektors der Punkt , handelt es sich um den Vektor . Dieser berechnet sich folgendermaßen:

Beispiel:
Gegeben sind der Anfangspunkt und der Endpunkt . Der Vektor zwischen den beiden Punkten lautet dann:

Wie zwei Geraden können auch zwei Vektoren verschieden zueinander liegen.

Parallel
Zeigt ein Vektor in die gleiche Richtung wie der Vektor , sind die beiden Vektoren parallel zueinander. Parallel zueinander sind sie auch, wenn sie in entgegengesetzte Richtungen zeigen.
Von den oben dargestellten Vektoren sind die Vektoren , und parallel zueinander. Für und gilt:

Gegenvektor
Sind zwei Vektoren und parallel zueinander, gleich lang und zeigen in entgegengesetzte Richtungen, dann ist der Gegenvektor von (und der Gegenvektor von ). Der Gegenvektor von ist gleich . Es gilt also:

Senkrecht
Schneiden sich zwei Vektoren in einem -Winkel, stehen sie senkrecht aufeinander.

Wir unterscheiden zwei Arten von Vektoren: die Ortsvektoren und die Richtungsvektoren. Die folgende Tabelle zeigt die wichtigsten Eigenschaften der beiden Vektorarten.

Jeder Vektor besitzt eine bestimmte Länge, die dem Betrag des Vektors entspricht. Ist ein Vektor gegeben, dann lässt sich die Länge mit der folgenden Formel berechnen:

Um die Länge eines Vektors zu berechnen, werden die einzelnen Komponenten quadriert und dann wird die Wurzel aus der Summe der quadrierten Komponenten gezogen.
Für den zweidimensionalen Raum gehen wir genauso vor, die dritte Komponente fällt dann weg.

Ist der Betrag eines Vektors , heißt der Vektor normiert:

Beispiel:
Die Länge des Vektors ist:

Die folgenden Abschnitte zeigen, wie du mit Vektoren rechnen kannst.

Werden zwei Vektoren addiert oder subtrahiert, dann sprechen wir von der Vektoraddition beziehungsweise der Vektorsubtraktion. Die Vektoraddition und Vektorsubtraktion erfolgt komponentenweise.
Zwei Vektoren und können folgendermaßen addiert und subtrahiert werden:

Es können auch mehr als zwei Vektoren addiert oder subtrahiert werden.

Beispiel:

Um einen Vektor zu verlängern oder zu verkürzen, wird er mit einer reellen Zahl multipliziert. Dabei werden alle Komponenten des Vektors einzeln mit multipliziert. Die reelle Zahl wird auch als Skalar bezeichnet. Die Multiplikation mit einem Skalar wird Skalarmultiplikation genannt.

Dabei gilt:

• für , der Vektor wird gestaucht (verkürzt).
• für , der Vektor wird gestreckt (verlängert).
• für , die Richtung des Vektors wird geändert.
• für , der Gegenvektor wird gebildet.

Beispiel:

Bei dem Skalarprodukt handelt es sich um eine Abbildung, bei der aus zwei Vektoren eine reelle Zahl gebildet wird. Das Skalarprodukt darf nicht mit der Skalarmultiplikation verwechselt werden.
Sind zwei Vektoren und gegeben, dann ist das Skalarprodukt dieser zwei Vektoren definiert als:

Stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander, ist das Skalarprodukt gleich . Wir können mit dem Skalarprodukt also berechnen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Beispiel:

Bei der Berechnung des Kreuzprodukts zweier Vektoren erhalten wir einen Vektor, der senkrecht zu beiden Vektoren steht.
Sind zwei Vektoren und gegeben, dann berechnet sich das Kreuzprodukt als:

Beispiel:

Als Linearkombination wird ein Vektor bezeichnet, der aus einer Kombination von Vektoraddition und Skalarmultiplikation entsteht. Es stellt eine Möglichkeit dar, aus zwei Vektoren einen neuen Vektor zu bilden. Die mathematische Schreibweise für die Linearkombination aus zwei Vektoren ist:

Dabei sind und reelle Zahlen, also Skalare. und sind die Vektoren, die kombiniert werden.

Die mathematische Schreibweise für die Linearkombination aus drei Vektoren ist:

Dabei sind , und reelle Zahlen, also Skalare. , und sind die Vektoren, die kombiniert werden.

Lässt sich ein Vektor durch die Linearkombination eines anderen darstellen, dann sind die beiden Vektoren linear abhängig. Die Vektoren und sind linear abhängig, wenn gilt:

Der Vektor ist dann ein Vielfaches des Vektors .
Grafisch zeigen diese Vektoren entweder in die gleiche oder in entgegengesetzte Richtung, müssen jedoch nicht gleich lang sein. Sie sind also parallel. Sind zwei Vektoren linear abhängig, heißen sie kollinear.
Liegen drei Vektoren im dreidimensionalen Raum in der gleichen Ebene, sind sie linear abhängig. Lässt sich ein Vektor als Linearkombination zweier anderer Vektoren darstellen, sind die drei Vektoren komplanar:

Dabei sind und reelle Zahlen. Der Vektor lässt sich als Linearkombination aus den Vektoren und darstellen. Die drei Vektoren sind also komplanar.

Zwei linear unabhängige Vektoren lassen sich nicht durch eine Linearkombination des jeweils anderen darstellen. Sie zeigen in zwei verschiedene Richtungen. 

Drei Vektoren im dreidimensionalen Raum sind linear unabhängig, wenn sie paarweise unabhängig sind und einer der Vektoren aus der Ebene heraus zeigt, die die anderen beiden aufspannen. 

Die Vorgehensweise, um einen Ortsvektor zu zeichnen, ist zunächst genauso wie beim Einzeichnen eines Punktes in ein Koordinatensystem. Soll der Vektor gezeichnet werden, gehen wir folgendermaßen vor:

• Vom Ursprung Einheiten entlang der -Achse gehen. Ist positiv, gehen wir nach rechts, ist negativ, gehen wir nach links.
• Im Anschluss Einheiten in -Richtung gehen. Ist positiv, gehen wir nach oben, ist negativ, gehen wir nach unten.
• Dann Einheiten in -Richtung gehen. Ist positiv, gehen wir nach vorne, ist negativ, gehen wir nach hinten.
• So erhalten wir den Endpunkt des Vektors.
• Endpunkt mit dem Ursprung verbinden. Die Pfeilspitze wird am Endpunkt eingezeichnet.

Da ein Vektor durch seine Richtung und seine Länge, jedoch nicht durch seinen Startpunkt eindeutig definiert ist, ist es egal, wo wir beim Einzeichnen eines Richtungsvektors starten. Für den gleichen Vektor gibt es also unendlich viele Möglichkeiten, ihn einzuzeichnen.

Im zweidimensionalen Raum funktioniert das genauso, dort gibt es bloß keine -Achse und die Vektoren haben dementsprechend nur zwei Koordinaten.

Um die Koordinaten eines Vektors abzulesen, starten wir beim Anfangspunkt des Vektors. Dann muss nachgezählt werden, um wie viele Einheiten der Endpunkt in Richtung der -Achse, in Richtung der -Achse und in Richtung der -Achse zum Anfangspunkt verschoben ist. Die Verschiebung in Richtung der -Achse bildet die erste Koordinate, die Verschiebung in Richtung der -Achse die zweite Koordinate und die Verschiebung in Richtung der -Achse die dritte Koordinate des Vektors.

Im zweidimensionalen Raum funktioniert das genauso, dort gibt es bloß keine -Achse und die Vektoren haben dementsprechend nur zwei Koordinaten.

Hinweis: Im dreidimensionalen Koordinatensystem ist die Darstellung nicht eindeutig. Die Komponenten eines Vektors können nur dann eindeutig abgelesen werden, wenn zusätzliche Informationen bekannt sind.