Obersumme und Untersumme im Überblick

  • Bei der Ober- und Untersumme werden Flächeninhalte von Rechtecken berechnet.

  • Mit der Ober- bzw. Untersumme kannst du das Integral einer Funktion über ein bestimmtes Intervall annähern.

  • Dazu wird die Fläche unter dem Funktionsgraphen in einem Intervall [a;b] durch die Fläche von Rechtecken über Teilintervallen angenähert.

  • Die Feinheit bezeichnet die Länge der Teilintervalle und wird durch \Delta x=\frac{b-a}{n} angegeben.

Obersumme und Untersumme – Erklärung & Definition

Die Obersumme und Untersumme dienen dazu, für eine gegebene Funktion über ein Intervall [a;b] den Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse näherungsweise zu berechnen. Dafür unterteilst du dieses Intervall in n Teilintervalle derselben Länge \Delta x=\frac{b-a}{n}. Die Länge der Teilintervalle wird auch Feinheit genannt. Anstelle des Flächeninhalts der Fläche, die von dem Funktionsgraphen und der x-Achse begrenzt wird, berechnest du die Fläche von Rechtecken.

Die Teilintervalle stellen die Länge der Grundseite der Rechtecke dar. Die Höhe eines Rechtecks über einem Teilintervall  ist der jeweils größte bzw. kleinste Funktionswert in diesem Teilintervall.

Formel der Obersumme

Bei der Obersumme O(n) wird der im Teilintervall größte Funktionswert betrachtet. Die Anzahl der Teilintervalle ist n.

Die Formel für die Obersumme der Funktion f(x) über dem Intervall [a;b] lautet:
\displaystyle O(n)= \sum\limits_{i=0}^{n} \text{max}_{x \in [x_i,~x_{i+1}]}(f(x)) \cdot \Delta x

Die Obersumme wird auch mit O(\Delta x) bezeichnet.

Formel der Untersumme

Für die Berechnung der Untersumme U(n) ist der kleinste Funktionswert im Teilintervall relevant.

Du berechnest sie mit der Formel:

\displaystyle U(n)= \sum\limits_{i=0}^{n-1} \text{min}_{x \in [x_i,x_{i+1}]}(f(x)) \cdot \Delta x

Die Untersumme wird auch mit U(\Delta x) bezeichnet.

Integralrechnung und Herleitung mit der Obersumme und Untersumme – Streifenmethode

Obersumme und Untersumme können die Fläche unter einem Funktionsgraphen annähern. 

Betrachte beispielhaft die nachfolgende Parabel.

Fläche unter Funktionsgraph

Diese schließt gemeinsam mit der x-Achse eine Fläche A ein.

Um diese Fläche zu berechnen bzw. diese anzunähern, kannst du die Obersumme oder die Untersumme bilden.

In der folgenden Abbildung wurde für die Untersumme eine Feinheit von \Delta x=1 gewählt.

Untersumme

Die kleinsten Funktionswerte in den Teilintervallen sind

  • f(0)=0 im Teilintervall [0;1]
  • f(1)=4 im Teilintervall [1;2]
  • f(2)=6 im Teilintervall [2;3]
  • f(4)=4 im Teilintervall [3;4]
  • f(5)=0 im Teilintervall [4;5]

Die Untersumme der Funktion mit der gewählten Feinheit \Delta x=1 ist: 

1 \cdot 0+1 \cdot f(1)+1 \cdot f(2)+1 \cdot f(4)+1 \cdot 0=1 \cdot 4+1 \cdot 6+1 \cdot 4=14 \,\text{FE}

Es ist zu erkennen, dass die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke kleiner ist als die gesuchte Fläche A. Es gilt also:

U \leq A

Die Obersumme über demselben Intervall ist in der nächsten Abbildung dargestellt. Auch hier wurde eine Feinheit von \Delta x=1 gewählt.

Obersumme

Die größten Funktionswerte in den Teilintervallen sind

  • f(1)=4 im Teilintervall [0;1]
  • f(2)=6 im Teilintervall [1;2]
  • f(2,5)=6,\!25 im Teilintervall [2;3]
  • f(3)=6 im Teilintervall [3;4]
  • f(4)=4 im Teilintervall [4;5]

Die Obersumme der Funktion berechnet sich mit:
1 \cdot f(1)+1 \cdot f(2)+1 \cdot f(2,5)+1 \cdot f(3)+1 \cdot f(4)=1 \cdot 4+1 \cdot 6+1 \cdot 6,\!25+1 \cdot 6+1 \cdot 4=26,\!25~\text{FE}

In diesem Fall ist die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke größer als der gesuchte Flächeninhalt.

A \leq O

Insgesamt gilt also \text{Untersumme} \leq A \leq \text{Obersumme}.

Damit sich Ober- bzw. Untersumme an den gesuchten Flächeninhalt annähern, bildest du den Grenzwert \lim\limits_{\Delta x \to 0} der Ober- bzw. Untersumme.
Das bedeutet, dass die Feinheit der Teilintervalle immer kleiner wird.
Wie du in folgender Abbildung sehen kannst, nähert sich die Untersumme so dem Flächeninhalt A immer weiter an.

Untersumme mit kleinerer Feinheit

Im Grenzwert \lim\limits_{\Delta x \to 0} werden Obersumme und Untersumme gleich. Es gilt also:
\lim\limits_{\Delta x \to 0} O(\Delta x) - \lim\limits_{\Delta x \to 0} U(\Delta x) =0
Obersumme und Untersumme nehmen also im Grenzwert den gleichen Wert an und beschreiben so den gesuchten Flächeninhalt. Man spricht auch von dem bestimmten Integral der Funktion.

Diese Methode der Annäherung an das bestimmte Integral einer Funktion durch Obersumme und Untersumme wird auch als Streifenmethode des Archimedes bezeichnet.

Obersumme und Untersumme – Beispiel

Um annähernd zu berechnen, wie groß die Fläche A zwischen dem Funktionsgraphen von f(x) und der x-Achse ist, kannst du die Untersumme im Intervall [0;4] berechnen.

Gesuchte Fläche A

Wähle die Feinheit \Delta x=1, wodurch sich vier Teilintervalle ergeben.

Die kleinsten Funktionswerte sind 

  • 1,\!5 im Intervall [0;1]
  • 2,\!3 im Intervall [1;2]
  • 3 im Intervall [2;3]
  • 2,\!6 im Intervall [3;4]

Dann ist die gesuchte Untersumme U(4)=1 \cdot 1,\!5 + 1 \cdot 2,\!3 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2,\!6 = 9,\!4~\text{FE}.

Untersumme zur Annäherung der gesuchten Fläche

Häufig gestellte Fragen zum Thema Obersumme und Untersumme

Die Obersumme einer Funktion f(x) im Intervall [a;b] kann mit der Formel O(n)= \sum\limits_{i=0}^{n} \text{max}_{x \in [x_i,x_{i+1}]}(f(x)) \cdot \Delta x berechnet werden. Entsprechend kannst du für die Untersumme die Formel U(n)= \sum\limits_{i=0}^{n-1} \text{min}_{x \in [x_i,x_{i+1}]}(f(x)) \cdot \Delta x verwenden.
Betrachtet man die Obersumme O und die Untersumme U einer Funktion über demselben Intervall, ist die Obersumme immer größer oder gleich der Untersumme. Es gilt U \leq O. Bei einer konstanten Funktion sind Ober- und Untersumme gleich.
Die Obersumme ist die Summe der Flächeninhalte von Rechtecken, deren obere horizontale Kante über dem Funktionsgraphen einer Funktion f(x) verläuft. Alle Rechtecke besitzen eine festgelegte Breite \Delta x, die auch als Feinheit bezeichnet wird. Die Höhe der Rechtecke ist der größte Funktionswert der Funktion im jeweiligen Teilintervall.
Die Untersumme ist die Summe der Flächeninhalte von Rechtecken, deren obere horizontale Kante unterhalb dem Funktionsgraphen einer Funktion f(x) verläuft. Alle Rechtecke besitzen eine festgelegte Breite \Delta x, die auch als Feinheit bezeichnet wird. Die Höhe der Rechtecke ist der kleinste Funktionswert der Funktion im jeweiligen Teilintervall.
Bei der Streifenmethode wird die Feinheit der Ober- oder Untersumme so verkleinert, dass diese sich an den Flächeninhalt der Funktion im betrachteten Intervall annähern. Dafür wird der Grenzwert \lim\limits_{\Delta x \to 0} der Ober- oder Untersumme betrachtet.
Obersumme und Untersumme bieten eine Möglichkeit zur Annäherung an ein bestimmtes Integral einer Funktion, also den Flächeninhalt, den die Funktion in einem bestimmten Intervall mit der x-Achse einschließt.
Der Grenzwert einer Obersumme wird beschrieben durch \lim\limits_{\Delta x \to 0} O(n) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \sum\limits_{i=0}^{n} \text{max}_{x \in [x_i,x_{i+1}]}(f(x)) \cdot \Delta x. Er nähert das Integral der Funktion f(x) im Intervall [a;b] von oben an.
Die Streifenmethode nach Archimedes ist eine Methode zur Annäherung an das bestimmte Integral über den Grenzwert der Ober- und Untersumme.