Nullstellen berechnen – Definition, Verfahren und Anwendungen

In diesem Text wird das Berechnen von Nullstellen verschiedener Funktionen einfach erklärt. Wir zeigen zuerst, was Nullstellen sind und wie du die Nullstellen am Funktionsgraphen erkennst. Danach schauen wir uns verschiedene Funktionstypen an und erklären, unter welchen Voraussetzungen sie Nullstellen besitzen – und wenn ja, wie viele. Schließlich erklären wir verschiedene Verfahren, um Nullstellen zu berechnen, und erläutern sie an Beispielen.

Eine Nullstelle einer Funktion ist ein -Wert, für den der Funktionswert null ist. Mit anderen Worten: Setzt man diesen -Wert in den Funktionsterm ein, kommt heraus. Nullstellen sind also nicht beliebige oder variable -Werte, sondern ganz bestimmte -Werte. Verschiedene Funktionen haben im Allgemeinen verschiedene Nullstellen.

Weil Funktionen oft mehrere Nullstellen haben, ist es praktisch, die Nullstellen zu nummerieren. Wir schreiben also , und usw. für die erste, zweite und dritte Nullstelle.

Die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, bedeutet, die Gleichung zu lösen. Ob die Gleichung lösbar ist und wie du die Lösungen der Gleichung bestimmst, hängt stark von der Funktion ab. Lösungsmethoden für verschiedene Funktionstypen schauen wir uns im nächsten Abschnitt an.

Was es bedeutet, dass eine Nullstellen der Funktion sind, kannst du dir am Funktionsgraphen veranschaulichen: Punkte auf dem Funktionsgraphen haben die Form . An einer Nullstelle erhält man also den Punkt . Ein Punkt dieser Form liegt auf der -Achse, denn die -Koordinate des Punkts ist . Wir haben also herausgefunden: Nullstellen einer Funktion sind dasselbe wie die Schnittstellen des Funktionsgraphen mit der -Achse. Die Nullstellen gehören damit zu den Achsenabschnitten.

Wir zeigen in diesem Abschnitt am Beispiel linearer und quadratischer Funktionen, was Nullstellen sind. Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen für verschiedene Funktionstypen werden im nächsten Abschnitt erklärt.

Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade im Koordinatensystem mit Steigung und -Achsenabschnitt .

• Aus dem Funktionsgraphen kannst du die Nullstellen ablesen:
  Die lineare Funktion schneidet die -Achse an der Stelle . Setzt du diesen Wert in den Funktionsterm ein, erhältst du: . Die Schnittstelle mit der -Achse ist eine Nullstelle der Funktion.
• Umgekehrt kannst du auch die Nullstellengleichung nach auflösen und erhältst . Die Nullstelle der Funktion ist die Schnittstelle des Funktionsgraphen von mit der -Achse.

Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel im Koordinatensystem, deren Symmetrieachse auf der -Achse liegt oder parallel dazu verläuft. Eine solche Parabel schneidet die -Achse entweder an zwei Stellen und oder an einer Stelle oder gar nicht. Da die Nullstellen der Funktion dasselbe sind wie die Schnittstellen des Funktionsgraphen mit der -Achse, hat eine quadratische Funktion entweder zwei verschiedene Nullstellen oder eine Nullstelle oder keine Nullstelle.

Ob eine Funktion Nullstellen hat oder nicht – und wenn ja: wie viele – hängt vom Funktionstyp ab. Die wichtigsten Funktionstypen sind die folgenden.

• Eine lineare Funktion , mit , hat genau eine Nullstelle.
• Die Nullstelle der Funktion ist .
• Die Funktion hat keine Nullstelle, wenn ist.
• Die Nullfunktion hat unendlich viele Nullstellen.

• Eine quadratische Funktion hat höchstens zwei Nullstellen.
• Die Nullstellen der quadratischen Funktion in allgemeiner Form findest du mit der Mitternachtsformel:
  
  Ist der Term unter der Wurzel negativ, hat die Funktion keine Nullstellen. Ist der Term , hat eine Nullstelle, die dann doppelte Nullstelle heißt. Ist der Term positiv, hat die beiden verschiedenen Nullstellen und . Der Term wird als Diskriminante bezeichnet.
• Die Nullstellen der quadratischen Funktion in Normalform findest du mit der pq-Formel:
  
  Ist der Term unter der Wurzel negativ, hat keine Nullstelle. Ist dieser Term , hat nur eine Nullstelle. Sie heißt doppelte Nullstelle. Ist der Term positiv, hat die Funktion die beiden verschiedenen Nullstellen und .
• Liegt die quadratische Funktion in faktorisierter Form oder Nullstellenform vor, kannst du die Nullstellen und direkt ablesen. Ist , heißt dieser -Wert doppelte Nullstelle von .

• Eine ganzrationale Funktion vom Grad hat höchstens verschiedene Nullstellen. Als ganzrationale Funktion vom Grad wird eine Polynomfunktion vom Grad bezeichnet.
• Funktionen ungeraden Grads – beispielsweise Funktionen dritten Grads – haben mindestens eine Nullstelle.
• Funktionen geraden Grads können auch gar keine Nullstellen haben. Die Funktion beispielsweise hat keine Nullstellen, denn die Terme und können keine negativen Werte annehmen.

• Die Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion mit Polynomfunktionen und , , entsprechen den Nullstellen der Funktion im Zähler.
  Denn ein Bruch ist genau dann null, wenn der Zähler null ist.
  Zusätzlich musst du die Definitionsmenge der Funktion berücksichtigen, die durch die Funktion im Nenner bestimmt wird. Werte, die nicht Teil der Definitionsmenge sind, können nicht Nullstellen der Funktion sein.
• Um die Nullstellen des Bruchs zu berechnen, musst du also nur die Nullstellen der Funktion im Zähler berechnen und prüfen, ob diese Teil der Definitionsmenge sind.

• Die Sinusfunktion hat bei jeder ganzen Zahl eine Nullstelle, denn für jede ganze Zahl ist .
• Ähnliches gilt für die Cosinusfunktion : Ihre Nullstellen liegen bei allen Zahlen , die sich um von einer ganzen Zahl unterscheiden. Denn für jede ganze Zahl ist .
• Die Sinus- und Cosinusfunktion haben also unendlich viele, verschiedene und einzeln liegende Nullstellen.
• Diese Funktionen sind keine Polynomfunktionen. Denn eine Polynomfunktion vom Grad hat höchstens verschiedene Nullstellen.
• Auch jede Sinusfunktion der Form und jede Cosinusfunktion der Form hat unendlich viele verschiedene, einzeln liegende Nullstellen.

• Die Exponentialfunktionen mit haben keine Nullstellen. Denn Potenzen einer positiven Basis werden niemals null.
• Exponentialfunktionen und speziell die -Funktion schneiden die -Achse nicht.

• Die Logarithmusfunktionen zur Basis mit und haben alle genau eine Nullstelle, und zwar alle dieselbe, nämlich . Denn für jede Basis ist , also .

In diesem Abschnitt stellen wir Verfahren zur Berechnung von Nullstellen für verschiedene Funktionstypen vor. Um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen, musst du die Gleichung lösen. Der Typ dieser Gleichung hängt vom Funktionstyp ab. Im Folgenden werden die einzelnen Typen beschrieben.

Eine lineare Funktion ist von der Form mit reellen Koeffizienten und . Um die Nullstellengleichung zu lösen, musst du zuerst die Koeffizienten und anschauen. Je nach den Werten dieser Koeffizienten ergibt sich folgende Fallunterscheidung für die Bestimmung der Nullstellen:

• Ist , kannst du die Gleichung nach der Variablen auflösen:

• Ist und , hat keine Nullstellen.
• Ist und , ist jede reelle Zahl eine Nullstelle von .

• Eine quadratische Funktion ist meistens in allgemeiner Form oder in Normalform gegeben.
• Außerdem gibt es die Scheitelpunktform, die aber für die Berechnung der Nullstellen nicht direkt verwendbar ist.
• Setzt du den Funktionsterm gleich null, erhältst du aus einer quadratischen Funktion eine quadratische Gleichung, die Nullstellengleichung . Diese Gleichung kannst du folgendermaßen lösen:

• Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Normalform berechnest du mit der pq-Formel:
  
• Ist , ist der Wurzelterm nicht definiert. Die Gleichung hat keine reelle Lösung und daher hat die Funktion keine Nullstelle.
• Ist , hat die doppelte Nullstelle .
• Ist , hat die beiden verschiedenen Nullstellen und .

Schauen wir uns das an einem Beispiel an und berechnen die Nullstellen der Funktion :

• Wir setzen den Funktionsterm gleich null und erhalten die quadratische Gleichung .
• Die Funktion bzw. die quadratische Gleichung liegt in Normalform vor, daher verwenden wir die pq-Formel mit und :
  
• Die Funktion hat also die beiden verschiedenen Nullstellen und .

• Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form berechnest du mit der Mitternachtsformel:
  
• Ist , ist der Wurzelterm nicht definiert. Die Gleichung hat keine reelle Lösung und daher hat die Funktion keine Nullstelle.
• Ist , hat die doppelte Nullstelle .
• Ist , hat die beiden verschiedenen Nullstellen und .

Schauen wir uns wieder ein Beispiel an und berechnen die Nullstellen der Funktion :

• Wir setzen den Funktionsterm gleich null und erhalten die quadratische Gleichung .
• Die Funktion bzw. die quadratische Gleichung liegt in allgemeiner Form vor, daher verwenden wir die Mitternachtsformel mit , und :
  
  Der Term unter der Wurzel ist negativ, daher existieren die durch die Formel beschriebenen reellen Zahlen und nicht. Die Funktion hat also keine Nullstellen.

• Hat eine quadratische Funktion eine doppelte Nullstelle oder zwei verschiedene Nullstellen , kannst du den Funktionsterm von zur Nullstellenform umformen.
• Die Nullstellenform lautet:
  
• Diese Form der quadratischen Funktion heißt auch die faktorisierte Form.
• Aus dieser Form kannst du die Nullstellen und direkt ablesen.

Eine Polynomfunktion mit wird auch ganzrationale Funktion vom Grad bezeichnet. Beispielsweise ist eine ganzrationale Funktion vom Grad .
Ist der Grad von größer als zwei, werden die Nullstellen von nicht durch eine direkte Formel berechnet. Stattdessen gibt es verschiedene Methoden für die Berechnung der Nullstellen. Alle Methoden beruhen darauf, den Grad der Nullstellengleichung zu reduzieren.

• Ist , ist jede Nullstelle von auch eine Nullstelle von oder von .
• Der Grad von ist die Summe der Grade von und . Die Funktionen und haben also im Allgemeinen einen kleineren Grad als .
• Kannst du die Nullstellen von und bestimmen, findest du alle Nullstellen von .
• Beispielsweise kann man die Funktion umformen zu . Die Nullstellen der Funktionen und kannst du mit der pq-Formel berechnen. So erhältst du alle Nullstellen von .

• Den Satz vom Nullprodukt verwendest du meistens dann, wenn du aus dem Funktionsterm Potenzen der Form mit ausklammern kannst.
• Ist , ist nach dem Satz vom Nullprodukt jede Nullstelle von eine Nullstelle von oder eine Nullstelle von .
• Für ist die einzige Nullstelle von .
• Nullstellen von sind also und die Nullstellen von .
• Beispielsweise kannst du aus die Potenz ausklammern:
  
  Die Nullstellen von sind demnach und die Nullstelle von , also .
• Klammere immer die größtmögliche Potenz von aus. Dadurch reduziert sich der Grad derjenigen Funktion, von der du die Nullstellen suchen musst. Im besten Fall kannst du die Nullstellen von dann mit einer anderen Methode bestimmen.

• Bei speziellen Gleichungen kannst du eine Potenz der Variablen durch eine neue Variable ersetzen.
• Durch diese Substitution erhältst du eine Gleichung niedrigeren Grads mit der neuen Variablen.
• Kannst du die substituierte Gleichung lösen, erhältst du die Lösungen der ursprünglichen Gleichung der Rücksubstitution.
• Diese Methode funktioniert nur, wenn alle Exponenten der Funktion eine gemeinsamen Teiler haben, der größer als ist.

Beispiel:
In der biquadratischen Gleichung sind alle Exponenten durch teilbar. Dadurch sind alle Potenzen von , die in der Gleichung vorkommen, auch Potenzen von .

• Substituierst du in der Gleichung durch die neue Variable , erhältst du:
  
• Die quadratische Gleichung kannst du mit der pq-Formel lösen.
• Die Lösungen der Gleichung erhältst du durch die Rücksubstitution und aus den Lösungen der quadratischen Gleichung .

• Die Polynomdivision der Funktion durch einen Linearfaktor reduziert den Grad um .
• Die Polynomdivision von durch den Linearfaktor geht genau dann ohne Rest auf, wenn eine Nullstelle von ist.
• Die Nullstellen des Quotienten sind auch Nullstellen von .
• Hat den Grad , hat den Grad .
• Hat den Grad und ist eine Nullstelle von , ist eine quadratische Funktion. Deren Nullstellen lassen sich mit der pq-Formel oder der Mitternachtsformel berechnen.