Steigungswinkel berechnen – Formel und Beispiele
Der Steigungswinkel zeigt die Neigung einer Linie zur Horizontalen an. Lerne, wie man ihn bei linearen Funktionen und Prozentangaben berechnet – inklusive praktischer Tipps und Beispiele. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!
Inhaltsverzeichnis zum Thema Steigungswinkel berechnen
Die Berechnung des Steigungswinkels im Überblick
Quelle: sofatutor.com
Steigungswinkel bei linearen Funktionen
Der Steigungswinkel 
einer linearen Funktion ist der Winkel, den der Funktionsgraph mit der 
-Achse oder einer beliebigen Geraden, die parallel zur -Achse liegt, einschließt.
Lineare Funktionen haben einen Funktionsterm der Form 
. Dabei steht 
für die Steigung und 
für den 
-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, deren Steigung über ein sogenanntes Steigungsdreieck ermittelt werden kann.
Quelle sofatutor.com
Ein Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten durch die Differenzen 
und 
der Koordinaten zweier Punkte 
, 
auf der Geraden gebildet werden. Der Steigungswinkel , den die Gerade mit der Horizontalen durch 
einschließt, kann in diesem rechtwinkligen Dreieck mit dem Tangens berechnet werden. Der Tangens eines Winkels ist im rechtwinkligen Dreieck als Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete definiert. Im Steigungsdreieck entspricht die Gegenkathete dem Steigungswinkel 
, die Ankathete ist 
. Es gilt also:
Diese Gleichung stellen wir nach dem gesuchten Winkel um und erhalten:
Mit dieser Formel können wir über Trigonometrie den Steigungswinkel zu der Steigung einer linearen Funktion berechnen.
In der Abbildung oben gilt: 
Wir bestimmen den Steigungswinkel mit der Formel und erhalten mithilfe des Taschenrechners:
Hinweis: Ist die Steigung einer Geraden negativ, liefert der Taschenrechner für 
einen negativen Steigungswinkel, da der spitze Winkel zwischen Gerade und -Achse einen negativen Drehsinn hat. In diesem Fall wird der Steigungswinkel in der Regel definiert als:
Steigungswinkel in der Analysis berechnen
Auch bei anderen Funktionen kann der Steigungswinkel eines Graphen berechnet werden. Dabei erfolgt die Berechnung des Steigungswinkels in einem Punkt 
mithilfe der Tangentensteigung. Diese entspricht der Ableitung der Funktion an dieser Stelle. Es gilt:
Wir können so den Steigungswinkel einer Funktion in einem Punkt mit der Ableitung berechnen. Dazu müssen wir nicht die vollständige Tangentengleichung aufstellen.
Beispiel: Steigungswinkel der Parabel 
an verschiedenen Punkten.
- Wir bestimmen zunächst die Ableitung:
- Dann gilt für positive -Werte:
Und für negative-Werte:
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Steigungswinkel bei Prozentangaben
In der Mathematik können wir den Steigungswinkel auch berechnen, wenn eine Steigung in Prozent gegeben ist.
Dabei bedeutet eine Steigung von 
, dass auf einer Strecke von 
Längeneinheiten eine Höhe von Längeneinheiten erreicht wird. Diesen Zusammenhang können wir als rechtwinkliges Dreieck mit Steigungswinkel , Ankathete 
und Gegenkathete 
veranschaulichen.
Der Steigungswinkel kann nun über den Tangens berechnet werden:
Beispiel: Steigung von 
Steigungswinkel 
)
Häufig gestellte Fragen zum Thema Steigungswinkel berechnen
-Achse).Die Steigung einer linearen Funktion kann über ein Steigungsdreieck zwischen zwei Punkten 
und 
berechnet werden. Dabei gilt:
Der Steigungswinkel einer Geraden liegt zwischen der Geraden und der -Achse bzw. einer beliebigen Geraden parallel zur -Achse.
Ein Steigungswinkel kann in einer maßstabsgetreuen Skizze oder einer Zeichnung im Koordinatensystem mit dem Geodreieck gemessen werden.
Der Steigungswinkel einer Tangente kann mit folgender Formel berechnet werden:
Dabei ist 
die Tangentensteigung. Diese ist gleich der Ableitung in einem Punkt :
einer Geraden ist als der Quotient aus der Differenz der -Werte und der Differenz der -Werte von zwei Punkten auf der Geraden definiert:
Der Anstiegs- oder Steigungswinkel einer linearen Funktion kann mit der folgenden Formel aus der Steigung berechnet werden:
einen negativen Wert. In diesem Fall wird der Steigungswinkel definiert als: der Steigungswinkel mit der folgenden Formel berechnet werden:
Eine Steigung von 
bedeutet, dass auf einer horizontalen Entfernung von Längeneinheiten ein Höhenunterschied von 
Längeneinheiten überwunden wird.