Steigungswinkel berechnen – Formel und Beispiele

Der Steigungswinkel zeigt die Neigung einer Linie zur Horizontalen an. Lerne, wie man ihn bei linearen Funktionen und Prozentangaben berechnet – inklusive praktischer Tipps und Beispiele. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Steigungswinkel berechnen

Das Quiz zum Thema: Steigungswinkel berechnen

Was gibt der Steigungswinkel an?

Frage 1 von 5

Wie wird der Steigungswinkel einer linearen Funktion berechnet?

Frage 2 von 5

Wie wird der Steigungswinkel einer Funktion in einem Punkt berechnet?

Frage 3 von 5

Wie kann der Steigungswinkel bei Prozentangaben berechnet werden?

Frage 4 von 5

Wann kann der Steigungswinkel negativ sein?

Frage 5 von 5

Die Berechnung des Steigungswinkels im Überblick

  • Der Steigungswinkel gibt die Neigung einer Geraden oder Ebene zur Horizontalen an.
  • Der Steigungswinkel einer Geraden kann mithilfe eines Steigungsdreiecks und des Tangens berechnet werden.

  • Bei Funktionen wird der Steigungswinkel in einem Punkt als Steigungswinkel der Tangente in diesem Punkt berechnet.
Steigungswinkel Berechnen: Video

Quelle: sofatutor.com

Steigungswinkel bei linearen Funktionen

Der Steigungswinkel \alpha einer linearen Funktion ist der Winkel, den der Funktionsgraph mit der x-Achse oder einer beliebigen Geraden, die parallel zur x-Achse liegt, einschließt.
Lineare Funktionen haben einen Funktionsterm der Form y = m \cdot x + b. Dabei steht m für die Steigung und b für den y-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, deren Steigung m über ein sogenanntes Steigungsdreieck ermittelt werden kann.

Steigungswinkel lineare Funktion Steigungsdreieck

Quelle sofatutor.com

Ein Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten durch die Differenzen \Delta y = y_2 - y_1 und \Delta x=x_2 - x_1 der Koordinaten zweier Punkte (x_1|y_1), (x_2|y_2) auf der Geraden gebildet werden. Der Steigungswinkel \alpha, den die Gerade mit der Horizontalen durch y_1 einschließt, kann in diesem rechtwinkligen Dreieck mit dem Tangens berechnet werden. Der Tangens eines Winkels ist im rechtwinkligen Dreieck als Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete definiert. Im Steigungsdreieck entspricht die Gegenkathete dem Steigungswinkel \Delta y, die Ankathete ist \Delta x. Es gilt also:

\tan(\alpha) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = m

Diese Gleichung stellen wir nach dem gesuchten Winkel \alpha um und erhalten:

\alpha = \tan^{-1}(m)

Mit dieser Formel können wir über Trigonometrie den Steigungswinkel zu der Steigung einer linearen Funktion berechnen.
In der Abbildung oben gilt: m = \frac{3 - 0}{2 - 0} = \frac{1}{2}
Wir bestimmen den Steigungswinkel mit der Formel und erhalten mithilfe des Taschenrechners:

\alpha = \tan^{-1}(1,5) \approx 56,3^\circ

Hinweis: Ist die Steigung einer Geraden negativ, liefert der Taschenrechner für \tan^{-1}(m) einen negativen Steigungswinkel, da der spitze Winkel zwischen Gerade und x-Achse einen negativen Drehsinn hat. In diesem Fall wird der Steigungswinkel \alpha in der Regel definiert als:

\alpha = \tan^{-1}(m) + 180^\circ

Steigungswinkel in der Analysis berechnen

Auch bei anderen Funktionen kann der Steigungswinkel eines Graphen berechnet werden. Dabei erfolgt die Berechnung des Steigungswinkels in einem Punkt P mithilfe der Tangentensteigung. Diese entspricht der Ableitung der Funktion an dieser Stelle. Es gilt:

\tan(\alpha) = f^\prime(x_P)

Wir können so den Steigungswinkel einer Funktion in einem Punkt mit der Ableitung berechnen. Dazu müssen wir nicht die vollständige Tangentengleichung aufstellen.

Beispiel: Steigungswinkel \alpha der Parabel f(x) = x^2 an verschiedenen Punkten.

  • Wir bestimmen zunächst die Ableitung:
    f^\prime(x) = 2x
  • Dann gilt für positive x-Werte:
    \alpha = \tan^{-1}(2x)
    Und für negative x-Werte:
    \alpha = \tan^{-1}(2x) + ^80^\circ
x -5 -2 -1 0 1 2 5
\alpha 95,7^\circ 104,0^\circ 116,6^\circ 0^\circ 63,4^\circ 76,0^\circ 84,3^\circ

Steigungswinkel bei Prozentangaben

In der Mathematik können wir den Steigungswinkel auch berechnen, wenn eine Steigung in Prozent gegeben ist.
Dabei bedeutet eine Steigung von x\,\%, dass auf einer Strecke von 100 Längeneinheiten eine Höhe von x Längeneinheiten erreicht wird. Diesen Zusammenhang können wir als rechtwinkliges Dreieck mit Steigungswinkel \alpha, Ankathete 100~\text{LE} und Gegenkathete x~\text{LE} veranschaulichen.

Der Steigungswinkel \alpha kann nun über den Tangens berechnet werden:

\begin{array}{ccll} \tan(\alpha) & = & \frac{x}{100} & \vert \tan^{-1} \\ \alpha & = & \tan^{-1}\left(\frac{x}{100}\right) & \end{array}

Steigung in Prozent rechtwinkliges Dreieck

Beispiel: Steigung von 15\,\%

Steigungswinkel \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{15}{100}\right \approx 8,5^\circ)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Steigungswinkel berechnen

Ein Steigungswinkel beschreibt die Neigung einer Geraden oder Ebene zur Horizontalen (x-Achse).

Die Steigung einer linearen Funktion kann über ein Steigungsdreieck zwischen zwei Punkten A(x_A \vert y_A) und B(x_B \vert y_B) berechnet werden. Dabei gilt:
m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

Der Steigungswinkel einer Geraden liegt zwischen der Geraden und der x-Achse bzw. einer beliebigen Geraden parallel zur x-Achse.

Ein Steigungswinkel kann in einer maßstabsgetreuen Skizze oder einer Zeichnung im Koordinatensystem mit dem Geodreieck gemessen werden.

Der Steigungswinkel \alpha einer Tangente kann mit folgender Formel berechnet werden:
\alpha = \tan^{-1}(m_t)
Dabei ist m_t die Tangentensteigung. Diese ist gleich der Ableitung in einem Punkt P:
m_t = f^\prime(x_P)

Die Steigung m einer Geraden ist als der Quotient aus der Differenz der y-Werte und der Differenz der x-Werte von zwei Punkten auf der Geraden definiert:
m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Der Anstiegs- oder Steigungswinkel \alpha einer linearen Funktion kann mit der folgenden Formel aus der Steigung m berechnet werden:
\alpha = \tan^{-1}(m)

Bei einer fallenden Geraden (negative Steigung) liefert der Taschenrechner für \tan^{-1}(m) einen negativen Wert. In diesem Fall wird der Steigungswinkel \alpha definiert als:
\alpha = \tan^{-1}(m) + 180^\circ
Bei Steigungsangaben in Prozent kann für x\,\% der Steigungswinkel \alpha mit der folgenden Formel berechnet werden:
\alpha = \tan{-1}\left(\frac{x}{100}\right)

Eine Steigung von 12\,\% bedeutet, dass auf einer horizontalen Entfernung von 100 Längeneinheiten ein Höhenunterschied von 12 Längeneinheiten überwunden wird.

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