Polynomdivision im Überblick

  • Von einer Polynomdivision spricht man, wenn ein Polynom durch ein anderes dividiert wird.
  • Das Prinzip der Polynomdivision ist dem der schriftlichen Division ähnlich.
  • Bei der Polynomdivision wird schrittweise vorgegangen und geschaut, wie häufig der Divisor in die einzelnen Summanden des Dividenden passt.
  • Alternativ zur Polynomdivision kann auch das Horner-Schema verwendet werden.
Polynomdivision: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Polynomdivision – Erklärung

Ein Polynom ist ein mehrgliedriger Term mit Vielfachen von Potenzen einer Variable. Beispiele für Polynome mit der Variable x sind:

-x^2 -7x - 12
x + 4
-x^5 + 2x^2 -1

Polynomdivision – Definition
Die Polynomdivision ist ein mathematisches Rechenverfahren. Dabei wird ein Polynom durch ein anderes Polynom dividiert.

So ist es etwa möglich, die beiden ersten Polynome mithilfe der Polynomdivision durcheinander zu teilen. Das Prinzip funktioniert ähnlich wie die schriftliche Division, die bereits in der Grundschule behandelt wird. Wie dieses auf die Division von zwei Polynomen übertragen werden kann, betrachten wir nun an diesem Beispiel.

Polynomdivision – Anleitung

Im Folgenden wird die Polynomdivision Schritt für Schritt anhand eines Beispiels erklärt.

Betrachten wir die Division der beiden eingangs erwähnten Polynome:

(-x^2 -7x - 12) : (x + 4)

Schritt 1: Zunächst teilen wir die ersten Summanden des Dividenden (-x^2) durch den ersten Summanden des Divisors (x). Dafür überlegen wir, womit wir x multiplizieren müssen, um -x^2 zu erhalten. Die Antwort ist: -x. Dieses Ergebnis schreiben wir hinter das Gleichheitszeichen.

(-x^2 -7x - 12) : (x + 4) = -x

Schritt 2: Dieses erste Ergebnis multiplizieren wir nun mit dem Divisor (x+4) und schreiben das Produkt (-x^2 - 4x) unter das erste Polynom, den Dividenden. Genau wie bei der schriftlichen Division setzten wir davor noch ein Minuszeichen und darunter einen waagerechten Strich.

Schritt 3: Nun subtrahieren wir (-x^2 - 4x) vom darüber stehenden Polynom und schreiben das Ergebnis (-3x - 12) unter den Strich.

Schritt 4: Dann wiederholen wir die ersten drei Schritte mit dem neuen Polynom (-3x - 12). Wir fragen uns also zunächst, wie häufig x dort hineinpasst. Die Antwort (-3) schreiben wir hinter das -x, das bereits auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht.

(-x^2 -7x - 12) : (x + 4) = -x - 3

Schritt 5: Im Anschluss multiplizieren wir (x+4) mit -3 und schreiben das Ergebnis -3x - 12 unter das Polynom -3x - 12 und ziehen es von diesem ab. Als Ergebnis bleibt 0. Diese schreiben wir wieder unter den waagerechten Strich.

\begin{array}{rllll} &(-x^2 & \,- 7x & - 12) & :(x + 4) = -x - 3 \\ -&(-x^2 & \,-4x) \\ \cline{1-3} & & \,-3x & -12 \\ &~~~~-&(-3x & -12) \\ \cline{2-4} &&& ~~~~0 \end{array}

Da kein Rest mehr übrig ist, haben wir das Ergebnis der Aufgabe erhalten.

Polynomdivision – Beispiele

Nach dieser Einführung in die Polynomdivision wollen wir im Folgenden zwei Beispiele gemeinsam betrachten. Dabei handelt es sich um eine Polynomdivision ohne Rest und eine Polynomdivision mit Rest.

Polynomdivision ohne Rest

Wir wollen das Polynom (x^3 + x^2 + 8\,x -28) durch das Polynom (x - 2) teilen. Dafür gehen wir wieder schrittweise vor.

\begin{array}{cccccc} &(x^3 & + x^2 & + 8\,x & -28) & :(x - 2)=x^2+3\,x+14 \\ -&(x^3 & -2\,x) \\ \cline{1-3} & & ~3\, x^2 & + 8\,x & -28~ &\\ &-&(3\,x^2&-6\,x) \\ \cline{2-4} &&&~14\,x & -28~ \\ &&-&(14\,x & -28)\\ \cline{3-5} &&&&0\\ \end{array}

Polynomdivision mit Rest

Teilen wir das Polynom (-x^2 + 2\,x + 2) durch das Polynom (x +1), sehen wir in der unten stehenden Rechnung, dass am Ende -1 übrig bleibt. Wir können -1 nicht weiter teilen. Es handelt sich hierbei um den Rest der Polynomdivision.

\begin{array}{rllll} &(-x^2 & \,+2x & + 2) & :(x + 1) = -x + 3 \\ -&(-x^2 & \,-~x) \\ \cline{1-3} & & \,~~3x & + 2 \\ &~~~~~-&~(3x & +3) \\ \cline{2-4} &&& -1 \end{array}

Den Rest schreiben wir als Bruch an das Ende des Lösungsterms. Dabei steht der Rest im Zähler, im Nenner steht der Divisor der Polynomdivision. Der komplette Lösungsterm dieser Polynomdivision lautet dann:

(-x^2 + 2\,x + 2) : (x + 1) = -x + 3 + \dfrac{-1}{x+1}

Anwendung der Polynomdivision

Zwei wichtige Anwendungsbereiche der Polynomdivision sind die Berechnung von Nullstellen, aber auch das Faktorisieren von Termen.

Faktorisieren mithilfe der Polynomdivision

Die Polynomdivision ermöglicht es uns auch, Terme zu faktorisieren. Aus a : b = c folgt a = b \cdot c. Das bedeutet, dass das Ergebnis der Polynomdivision multipliziert mit dem Divisor den Dividenden ergibt.

Beispiel:

(x^2 - 2\,x - 8) : (x+2) = x - 4

Das erste Polynom können wir also durch Faktorisieren schreiben als:

(x^2 - 2\,x - 8) = (x+2) \cdot (x - 4)

Nullstellen berechnen mit der Polynomdivision

Bei Nullstellen einer Funktion f(x) handelt es sich um die Lösung der Gleichung f(x)=0. Für ein Polynom dritten Grades können mithilfe einer bereits bekannten Nullstelle x_0 die anderen Nullstellen berechnet werden. Dafür teilt man das Polynom durch den Term 1 - x_0, also eins minus die bereits bekannte Nullstelle.

\text{Polynom} : (1 - \text{bereits bekannte Nullstelle})

Als Ergebnis erhältst du ein Polynom zweiten Grades. Die weiteren Nullstellen können dann mithilfe der Mitternachtsformel berechnet werden.

Alternative zur Polynomdivision

Bei dem sogenannten Horner-Schema handelt es sich um eine Alternative zur Polynomdivision. Dabei wird eine Tabelle mit drei Zeilen aufgestellt. In die erste Zeile schreibt man die Koeffizienten des Divisors. Die zweite Zeile ist für die Berechnung da und die dritte für das Ergebnis.

Betrachten wir die einzelnen Schritte am Beispiel der Aufgabe: (-x^2 + 2\,x + 2) : (x + 1)

Dabei werden die Koeffizienten der Größe ihrer Potenz nach absteigend von links nach rechts in die erste Zeile geschrieben. Beginnend links also mit dem Koeffizient der größten Potenz. Die höchste Potenz in unserem Beispiel besitzt den Koeffizienten -1.

–1 2 2
x_1 = -1

Die erste Spalte der zweiten Zeile wird nun für die Zahl, die hinter dem x im Divisor steht, benutzt. Dabei müssen wir jedoch das Vorzeichen ändern. Zudem schreiben wir ein x_1= davor. In unserem Beispiel wird aus x + 1 entsprechend x_1 = -1.

–1 2 2
x_1 = -1 1
-1

Nun übertragen wir den ersten Koeffizienten aus der ersten Zeile in die dritte Zeile. Im Anschluss multiplizieren wir den Koeffizienten (in unserem Beispiel -1) mit der Zahl aus der ersten Spalte der zweiten Zeile, also der -1. Das Ergebnis (in unserem Beispiel -1 \cdot (-1) = 1) schreiben wir unter den zweiten Koeffizienten aus der ersten Zeile. Das Ergebnis addieren wir dann mit dem Koeffizienten darüber.

2 + 1 = 3

Das Ergebnis der Addition schreiben wir in die gleiche Spalte darunter.

–1 2 2
x_1 = -1 1 -3
-1 3 -1

Die Multiplikation und anschließende Addition wiederholen wir bis zum Ende der Tabelle. In unserem Beispiel multiplizieren wir nun die 3 mit der vorne stehenden -1. Das Ergebnis -1 \cdot 3 = -3 schreiben wir unter den dritten Koeffizienten und addieren beides. Wir erhalten 2 + (-3) = -1. Das schreiben wir nun in die dritte Zeile.
Das Ergebnis kann nun aus der dritten Zeile abgelesen werden. Die Zahlen entsprechen den Koeffizienten der Potenzen von x, sind dabei allerdings um eine Stelle verschoben. In unserem Beispiel ist die -1 der Koeffizient für x, die 3 ist eine Konstante und die letzte Zahl -1 steht für den Rest, der wie bei der Polynomdivision als Bruch mit dem Divisor x + 1 im Nenner geschrieben wird. Das Ergebnis in unserem Beispiel lautet demnach:

(-x^2 + 2\,x + 2) : (x + 1) = -x + 3 + \dfrac{-1}{x+1}

Häufig gestellte Fragen zum Thema Polynomdivision

Als Polynomdivision wird in der Mathematik das Dividieren eines Polynoms durch ein anderes Polynom bezeichnet.

Die Vorgehensweise bei der Polynomdivision ist ähnlich wie die der schriftlichen Division. Es wird schrittweise geschaut, wie häufig der Divisor in die einzelnen Summanden des Dividenden passt.

Will man ein Polynom durch ein anderes teilen, bietet sich die Polynomdivision als Lösungsweg an.

Es wird schrittweise geprüft, wie häufig der Divisor, also das zweite Polynom, in die einzelnen Summanden des ersten Polynoms, des Dividenden, passt.

Die Polynomdivision hilft uns dabei, zwei Polynome einfach durcheinander zu teilen. Zudem wird sie bei der Berechnung von Nullstellen und dem Faktorisieren von Termen angewandt.

Bleibt ein Rest übrig, wird dieser als Zähler im Bruch hinter dem letzten Teil der Lösung addiert. In den Nenner schreiben wir den Divisor der Aufgabe.

Die Polynomdivision wird dann verwendet, wenn zwei Polynome durcheinander geteilt werden.

Geht die Polynomdivision nicht auf, spricht man von einer Polynomdivision mit Rest. Den Rest schreiben wir dann in den Zähler eines Bruchs. In den Nenner schreiben wir den Divisor. Diesen Bruch addieren wir ganz am Ende der Lösung hinzu.

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