Das Haus der Vierecke in Mathe – Definitionen und Erklärung

Es gibt verschiedene Arten von Vierecken: 

• Quadrat
• Rechteck
• Parallelogramm
• Trapez 
• Drachenviereck
• Raute
• allgemeines Viereck

Sie alle haben besondere Eigenschaften. Um dabei den Überblick zu behalten, lernst du in der Grundschule das Haus der Vierecke kennen. Die Vierecke werden im Haus der Vierecke nach ihren Eigenschaften platziert: Je höher ein Viereck im Haus der Vierecke liegt, desto mehr Eigenschaften hat es. Ein Viereck hat immer auch alle Eigenschaften der Vierecke unter ihm, mit denen es durch Pfeile verbunden ist (und noch mehr). Im Haus der Vierecke geht es also nicht um Formeln zu den Vierecken, sondern um ihre Eigenschaften.

Ganz unten im Haus der Vierecke ist das allgemeine Viereck. Es hat keine besonderen Eigenschaften.

Darüber liegt das allgemeine Trapez. Es hat ein Paar paralleler Seiten.

Ein weiteres Stockwerk nach oben findet sich das Parallelogramm style=“font-weight: 400;“> (zwei Paare gleich langer und paralleler Seiten) und das symmetrische Trapez (achsensymmetrisch und ein Paar gleich langer Seiten), welche mit dem allgemeinen Trapez durch Pfeile verbunden sind.

Darüber liegen die Raute (alle Seiten gleich lang) und das Rechteck style=“font-weight: 400;“> (alle Winkel gleich groß und gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang).

Ganz oben im Haus der Vierecke steht das Quadrat, es hat die meisten Eigenschaften: Es ist achsen- und punktsymmetrisch, alle Seiten sind gleich lang, gegenüberliegende Seiten parallel und alle Winkel gleich groß.

Manche Vierecksarten haben einige Eigenschaften gemeinsam, andere nicht. Wir betrachten im Folgenden, welche Eigenschaften die Vierecke in verschiedenen Kategorien haben.

Einige Vierecksarten weisen gleich lange oder parallele Seiten auf. Das Parallelogramm hat beispielsweise zwei Paare paralleler, gleich langer Seiten. Das symmetrische Trapez hat hingegen nur ein Paar paralleler Seiten und liegt daher weiter unten im Haus der Vierecke.

Wir betrachten als Übersicht zu Parallelität und Seitenlängen im Haus der Vierecke eine Tabelle.

Wir erkennen, dass Vierecksarten, die weiter oben im Haus der Vierecke liegen, auch die Seiteneigenschaften der Vierecksarten unter ihnen aufweisen, mit denen sie durch Pfeile verbunden sind: Ein Rechteck hat also, genau wie ein symmetrisches Trapez, ein Paar paralleler und ein Paar gleich langer Seiten (und noch mehr). Wir können daher sagen: Jedes Rechteck ist auch ein symmetrisches Trapez.

Ein Viereck kann achsensymmetrisch sein mit einer oder mehreren Symmetrieachsen. Es kann auch punktsymmetrisch sein, dann ist das Symmetriezentrum der Schnittpunkt der Diagonalen. 

Das Quadrat hat beispielsweise Symmetrieachsen. Das Rechteck und die Raute haben Symmetrieachsen. Das symmetrische Trapez besitzt, ebenso wie das Drachenviereck, nur eine Symmetrieachse. Gar keine Symmetrieachse haben im Haus der Vierecke die Vierecke in den unteren beiden Etagen. Sie sind somit nicht achsensymmetrisch.

Punktsymmetrie findet sich im Haus der Vierecke bei den Vierecken in den oberen beiden Stockwerken und beim Parallelogramm.

Die Symmetrieeigenschaften fassen wir in einer Tabelle zusammen.

Wir erkennen, dass Vierecksarten, die weiter oben im Haus der Vierecke liegen, mehr Symmetrieeigenschaften aufweisen als Vierecke, welche weiter unten liegen.

Für jedes Viereck gilt, dass die Summe aller Innenwinkel beträgt. Einige Vierecke haben aber auch gleich große Winkel. Beim Quadrat und Rechteck beispielsweise sind alle Winkel gleich groß, nämlich genau . Beim Parallelogramm sind hingegen nur gegenüberliegende Winkel gleich groß.

Wir fassen die Winkeleigenschaften in einer Tabelle zusammen.

Das Parallelogramm hat zwei Paare gegenüberliegender gleich großer Winkel, das Drachenviereck hat nur ein Paar gegenüberliegender gleich großer Winkel. Beim Trapez hingegen liegen die gleich großen Winkel jeweils nebeneinander.

Auch die Diagonalen einiger Vierecke weisen besondere Eigenschaften auf. Wir betrachten diese in einer Tabelle.

Im Gegensatz zu Quadrat, Rechteck, Raute und Parallelogramm wird beim Drachenviereck   nur eine Diagonale durch die andere halbiert.

Wie wir bereits erkannt haben, weist ein Viereck immer auch alle Eigenschaften der Vierecke unter ihm im Haus der Vierecke auf, mit denen es durch Pfeile verbunden ist. Wir können daher Aussagen wie folgt treffen:

“Ein Quadrat ist auch immer ein Parallelogramm.”

Da das Parallelogramm unterhalb des Quadrats platziert ist, weist das Quadrat auch alle Eigenschaften des Parallelogramms auf: Es hat immer zwei Paare paralleler gleich langer Seiten.

Genauso gilt beispielsweise:

• Jedes Rechteck ist ein Trapez.
• Jede Raute ist ein Parallelogramm.
• Jedes Quadrat ist eine Raute.
• Jedes Parallelogramm ist ein allgemeines Trapez.