Spurpunkte in der Mathematik

Entdecke die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen. Erfahre, wie man Spurpunkte bestimmt und berechnet.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Spurpunkte

Spurpunkte im Überblick

  • Spurpunkte sind die Punkte, an denen eine Gerade die Koordinatenebenen schneidet.
  • Die Spurgeraden einer Ebene sind die Schnittgeraden dieser Ebene mit den Koordinatenebenen.
  • Um den Spurpunkt in einer bestimmten Koordinatenebene zu berechnen, setzt du die Koordinate, deren Achse aus der Ebene herausragt, gleich null.

Definition von Spurpunkten – Durchstoßpunkt einer Geraden durch eine Ebene

Die Koordinatenachsen spannen den dreidimensionalen Raum auf. Jeweils zwei Achsen spannen eine Ebene auf. Diese Ebenen werden Koordinatenebenen genannt.

Koordinatenebenen

In dieser Abbildung sind die Koordinatenachsen mit x, y und z benannt. Eine Bezeichnung mit x_1,x_2 und x_3 ist ebenfalls möglich.
Bei Punkten, die in einer Koordinatenebene liegen, hat die Koordinate der Achse, die aus der Ebene herausragt, immer den Wert 0. Für die x–y-Ebene gilt daher die Gleichung z=0, für die x–z-Ebene die Gleichung y=0 und für die y–z-Ebene die Gleichung x=0.

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen.

Betrachte in der folgenden Abbildung die Gerade und ihre Spurpunkte. Der Durchstoßpunkt der Geraden durch die x–z-Ebene wird mit S_{xz} bezeichnet, der Durchstoßpunkt durch die y–z-Ebene heißt S_{yz} und der Durchstoßpunkt durch die x–y-Ebene ist S_{xy}.
Auch hier sind abweichende Notationen wie S_1, S_2 und S_3 möglich.

Spurpunkte einer Geraden im dreidimensionalen Koordinatensystem

Die Gerade in der Abbildung besitzt drei Spurpunkte.

Eine Gerade kann entweder einen, zwei, drei oder unendlich viele Spurpunkte haben.

Anzahl Spurpunkte Lage der Geraden
1 Die Gerade verläuft parallel zu einer der Koordinatenachsen, liegt aber nicht auf dieser.
2 Die Gerade verläuft parallel zu einer Koordinatenebene, liegt aber nicht in dieser.
3 Die Gerade verläuft nicht parallel zu einer der Koordinatenebenen oder Koordinatenachsen.
unendlich viele Die Gerade verläuft innerhalb einer Koordinatenebene bzw. auf einer Koordinatenachse.

Spurpunkte bestimmen und berechnen

Um die Spurpunkte einer Geraden zu bestimmen, setzt du in der Parameterform der Geradengleichung die x-, y– oder z– Koordinate gleich null. Dadurch erhältst du jeweils eine Gleichung, die du nach dem Parameter auflöst. Den Wert, den du für den Parameter erhältst, setzt du in die Geradengleichung ein und hast so den Spurpunkt ermittelt.

Betrachte beispielhaft die Gerade g:

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}

Um die Spurpunkte der Geraden g zu berechnen, setzt du jeweils eine Koordinate gleich null.

  • Den Schnittpunkt mit der x–y-Ebene erhältst du, indem du z=0 setzt. In der dritten Komponente des Vektors \vec{x} erhältst du eine Gleichung, die du nach dem Parameter r auflösen kannst:
    0=15+r \cdot 3 \implies r=-5
    Setzt du r=-5 in die Geradengleichung ein, erhältst du den Spurpunkt S_{xy}:
    S_{xy}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+ (-5) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -18 \\ 0 \end{pmatrix}
  • Den Schnittpunkt mit der x–z-Ebene erhältst du, indem du y=0 setzt. Diesmal erhältst du in der zweiten Komponente von \vec{x} eine Gleichung, die du nach r auflösen kannst:
    0=2+r \cdot 4 \implies r=-\dfrac{1}{2}
    Setze r=-\frac{1}{2} in die Geradengleichung ein und du findest den Spurpunkt S_{xz}:
    S_{xz}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+ \left(-\dfrac{1}{2} \right) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5,\!5 \\ 0 \\ 13,\!5 \end{pmatrix}
  • Den Schnittpunkt mit der y–z-Ebene erhältst du, indem du x=0 setzt. Hier erhältst du eine Gleichung in der ersten Komponente von \vex{x}:
    0=6+r \cdot 1 \implies r=-6
    Setze r=-6 in die Geradengleichung ein, um den Spurpunkt S_{yz} zu bestimmen:
    S_{yz}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+ (-6) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ -22 \\ -3 \end{pmatrix}

Spurgerade einer Ebene

Ähnlich wie Spurpunkte von Geraden gibt es Spurgeraden von Ebenen. 

Die Schnittmenge einer Ebene E mit einer  Koordinatenebene ist kein Punkt, sondern eine Schnittgerade.

Spurgerade einer Ebene im dreidimensionalen Koordinatensystem

In der Abbildung wird die Schnittgerade der Ebene E mit der x–y-Ebene durch die Gerade g_{xy} dargestellt.

Spurgeraden sind also die Schnittgeraden einer Ebene mit den Koordinatenebenen.

Aufgabe Spurpunkte berechnen – Schattenpunkt berechnen

Spurpunkte werden verwendet, um Schattenwürfe zu berechnen. Du kannst beispielsweise berechnen, wo der Schatten einer Kirchturmspitze auf den Boden trifft.

Die Kirchturmspitze befindet sich im Punkt K(0 \vert 2 \vert 4), der Boden liegt in der x–y-Ebene und die einfallenden Lichtstrahlen haben die Richtung des Vektors \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}.

Der gesuchte Schatten der Turmspitze liegt dort, wo ein Lichtstrahl, der die Spitze des Kirchturms streift, auf den Boden fällt. Dies entspricht dem Spurpunkt einer Geraden g in der x–y-Ebene des Bodens, die durch den Punkt K in Richtung der Lichtstrahlen verläuft.
Wir stellen die Gleichung der Geraden g auf, indem wir K als Stützvektor und die Richtung der Lichtstrahlen als Richtungsvektor wählen:
g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}

Um den Schattenpunkt zu berechnen, setzt du nun die z-Koordinate gleich null und löst die Gleichung nach dem Parameter r auf:

0=4+r \cdot (-4) \implies r=1

Diesen Wert für r setzt du in die Gleichung von g ein. Der Spurpunkt S_{xy} ist der gesuchte Schattenpunkt der Turmspitze:

S_{xy}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}+ 1 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}

Der Schatten der Kirchturmspitze K trifft im Spurpunkt S_{xy} in der x–y-Ebene auf den Boden. Dieser Punkt liegt bei:
S\begin{pmatrix} 4 \vert 2 \vert 0 \end{pmatrix}

Häufig gestellte Fragen zum Thema Spurpunkte

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen.

Jede Gerade hat mindestens einen Spurpunkt. Eine Gerade kann unendlich viele Spurpunkte haben. Das ist der Fall, wenn die Gerade innerhalb einer Koordinatenebene bzw. auf einer der Koordinatenachsen verläuft. Eine Gerade kann auch drei oder zwei Spurpunkte oder genau einen Spurpunkt haben. Andere Fälle sind nicht möglich.

Spurpunkte in einer Koordinatenebene berechnest du, indem du die Koordinate, die senkrecht zu der Koordinatenebene steht, gleich null setzt. In dieser Koordinate erhältst du eine Gleichung, die du nach dem Parameter auflösen kannst. Den erhaltenen Wert des Parameters setzt du dann in die Parametrisierung der Geraden ein. Die so berechneten Koordinaten entsprechen dem Spurpunkt auf der betrachteten Ebene.

Zur Bestimmung von Spurpunkten setzt du eine Koordinate in der Parametrisierung der Geraden gleich null. In dieser Koordinate erhältst du eine Gleichung für den Parameter. Löst du die Gleichung nach dem Parameter r auf und setzt diesen in die Parametrisierung ein, erhältst du den Spurpunkt. Machst du das Gleiche für die beiden anderen Koordinaten, erhältst du alle drei Spurpunkte.

Jede Gerade hat mindestens einen Spurpunkt. Eine beliebige Gerade hat entweder unendlich viele oder höchstens drei Spurpunkte. Die Spurpunkte werden wie folgt bezeichnet.

  • S_{xy}: Schnittpunkt mit der x–y-Ebene
  • S_{xz}: Schnittpunkt mit der x–z-Ebene
  • S_{yz}: Schnittpunkte mit der y–z-Ebene

Spurpunkte sind diejenigen Punkte, in denen eine Gerade eine Koordinatenebene schneidet.

Der Fall, dass eine Gerade keinen Spurpunkt besitzt, existiert nicht. Eine Gerade durchstößt immer mindestens eine Koordinatenebene, besitzt also auch immer mindestens einen Spurpunkt.
Verläuft eine Gerade in einer Koordinatenebene, sind alle Punkte auf der Geraden Spurpunkte.

Den Durchstoßpunkt einer Geraden durch eine Koordinatenebene kannst du berechnen, indem du diejenige Koordinate, die senkrecht auf der Koordinatenebene steht, in der Parametrisierung der Geraden gleich null setzt. Du erhältst in dieser Koordinate eine Gleichung, die du nach dem Parameter auflösen kannst. Den erhaltenen Wert für den Parameter r setzt du dann wieder in die Parametrisierung der Geraden ein. Zur Berechnung des Spurpunkts in der x–y-Ebene musst du beispielsweise die z-Koordinate in der Geradengleichung null setzen. 

Wenn eine Gerade parallel zu einer der Koordinatenebenen verläuft, aber nicht in dieser Koordinatenebene liegt, besitzt die Gerade zwei Spurpunkte.

Zur Berechnung einer Spurgeraden benötigst du die Spurpunkte der Achsen, die die betrachtete Koordinatenebene aufspannen. Die Gerade kannst du dann mithilfe dieser Spurpunkte parametrisieren. 

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