Das Kreuzprodukt – Formel, Herleitung und Anwendungen
Erfahre, wie das Kreuzprodukt zweier Vektoren einen neuen Vektor erzeugt, der senkrecht zu beiden steht. Entdecke Anwendungen wie die Bestimmung senkrechter Vektoren und Flächeninhalte von Parallelogrammen. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!
Inhaltsverzeichnis zum Thema Kreuzprodukt
Das Quiz zum Thema: Kreuzprodukt
Was ist das Kreuzprodukt?
Frage 1 von 5
Wie wird das Ergebnisvektor beim Kreuzprodukt definiert?
Frage 2 von 5
Welche Eigenschaft hat das Kreuzprodukt bezüglich der Orientierung der Basisvektoren?
Frage 3 von 5
Wie kann das Kreuzprodukt in der Praxis angewendet werden?
Frage 4 von 5
Was ergibt das Kreuzprodukt von parallelen Vektoren?
Frage 5 von 5
Wie willst du heute lernen?
Definition des Kreuzprodukts
Das Kreuzprodukt bezeichnet eine Rechenoperation, die aus zwei Vektoren und
im dreidimensionalen Vektorraum einen neuen Vektor
macht. Man bezeichnet das Kreuzprodukt auch als Vektorprodukt. Oft bezeichnet man als Kreuzprodukt von Vektoren nicht nur die Rechenoperation selbst, sondern auch ihr Ergebnis: Der Vektor
ist das Kreuzprodukt der Vektoren
und
.
Zu unterscheiden ist das Kreuzprodukt vom Skalarprodukt, das aus zwei Vektoren und
die Zahl oder den Skalar
berechnet.
Zur Definition des Vektorprodukts gehen wir von Vektoren und
in Komponentenschreibweise aus:
In Koordinatenschreibweise kannst du nun das Kreuzprodukt einfach berechnen:
Diese Formel definiert den Vektor .
Kreuzprodukt – Rechenregeln und Eigenschaften
Das Kreuzprodukt von Vektoren im dreidimensionalen Raum hat viele nützliche Eigenschaften:
steht senkrecht auf
und auf
.
- Die Vektoren
,
und
bilden eine rechtshändig orientierte Basis (sofern
und
linear unabhängig sind).
- Das Kreuzprodukt der beiden ersten Standardbasisvektoren
und
ist der dritte Standardbasisvektor:
- Vertauschst du die Reihenfolge von
und
, ändert sich beim Kreuzprodukt das Vorzeichen, d. h.
. Das Kreuzprodukt ist also nicht kommutativ.
- Skalierst du einen der beiden Vektoren
oder
mit einem Faktor
, skaliert sich auch das Kreuzprodukt:
Man sagt: Das Kreuzprodukt ist bilinear bzw. linear in jedem Faktor einzeln. - Das Kreuzprodukt erfüllt das folgende Distributivgesetz:
- Das Kreuzprodukt paralleler Vektoren ist immer null.
- Das Kreuzprodukt von Einheitsvektoren (d. h. Vektoren der Länge
)
und
ist nur dann ein Einheitsvektor, wenn
und
orthogonal zueinander sind.
- Der Betrag des Kreuzprodukts
ist der Flächeninhalt
des von den Vektoren
und
aufgespannten Parallelogramms.
- Drei Vektoren
,
und
spannen einen Spat auf – so etwas wie ein dreidimensionales Parallelogramm. Das Volumen
des Spats berechnest du mit dem Kreuzprodukt und dem Skalarprodukt:
Dieses Produkt aus drei Vektoren trägt daher auch den Namen Spatprodukt.
Gegeben sind zwei Vektoren und
, gesucht ist ein Vektor
, der senkrecht auf
und senkrecht auf
steht. Wir leiten eine Formel für diesen Vektor
her.
Die Orthogonalität von Vektoren und
bezeichnen wir mit
. Dass die Vektoren
und
aufeinander senkrecht stehen, ist äquivalent dazu, dass für ihr Skalarprodukt gilt:
Die Bedingungen und
schreiben wir daher als Gleichungen der Skalarprodukte:
In diesem linearen Gleichungssystem für das Kreuzprodukt sind die Komponenten ,
,
und
,
,
der gegebenen Vektoren die Koeffizienten und die Komponenten des Kreuzprodukts
,
und
sind die Variablen. Das Gleichungssystem hat zwei Gleichungen mit den drei Variablen
,
und
. Das Gleichungssystem hat daher unendlich viele Lösungen. Das Kreuzprodukt ist also neben der Orthogonalität der Vektoren nur durch eine weitere Bedingung eindeutig festgelegt. Oder anders gesagt: Wir werden während der Herleitung eine der Variablen frei wählen können. Dies wird die Variable
sein.
Um das Gleichungssystem zu lösen, eliminieren wir zuerst die Variable . Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit
und subtrahieren sie von der mit
multiplizierten zweiten Gleichung. Wir erhalten dann die neue Gleichung:
Nun klammern wir und
aus und bringen alle
-Terme auf die linke Seite der Gleichung:
Als Nächstes dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch den Faktor von auf der linken Seite und erhalten:
Nun benutzen wir, dass die Variable frei wählbar ist. Die obige Gleichung für
wird viel einfacher, wenn wir als
den Nenner der rechten Seite wählen, also wenn wir setzen:
Denn damit kürzt sich der Term für und wir erhalten in der Gleichung für
:
Jetzt haben wir schon zwei der drei Komponenten bestimmt. Die Komponente erhalten wir, indem wir die Formeln für
und
in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen. Wir wählen hier erste Gleichung und setzen
und
dort ein:
Um zu bestimmen, lösen wir diese Gleichung zuerst nach
auf und multiplizieren die Klammern aus:
Dabei sind im letzten Schritt beide mittleren Terme weggefallen, denn sie sind identisch bis auf das Vorzeichen. Aus dem Term auf der rechten Seite können wir ausklammern und erhalten:
Wir dividieren diese Gleichung noch durch und erhalten schließlich:
Damit haben wir Formeln für alle drei Komponenten des Kreuzprodukts hergeleitet. Das Kreuzprodukt ist also:
Kreuzprodukt – Anwendungen
Mithilfe des Kreuzprodukts kannst du:
- senkrechte Vektoren bestimmen,
- eine rechtshändig orientierte Basis eines dreidimensionalen Vektorraums konstruieren,
- den Flächeninhalt eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms berechnen und
- das Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten Spats berechnen.
Kreuzprodukt – senkrechte Vektoren bestimmen
Sind die Vektoren und
gegeben, kannst du mit dem Kreuzprodukt einen Vektor
berechnen, der sowohl auf
als auch auf
senkrecht steht. Wir berechnen als Beispiel das Kreuzprodukt von
und
:
Dieser Vektor steht senkrecht auf :
Der Vektor steht auch senkrecht auf
:
Kreuzprodukt – rechtshändig orientierte Basis bestimmen
Sind die Vektoren und
linear unabhängig, bilden die Vektoren
,
und
zusammen eine rechtshändig orientierte Basis im dreidimensionalen Raum
. Um eine solche Basis zu bestimmen, brauchst du also nur zwei Vektoren
und
, die nicht Vielfache voneinander sind. Diese beiden Vektoren kannst du als Basisvektoren verwenden. Nimmst du das Kreuzprodukt
als dritten Vektor dazu, erhältst du die rechtshändig orientierte Basis
,
,
.
Sind die Vektoren und
Einheitsvektoren und orthogonal zueinander, ist auch das Kreuzprodukt
ein Einheitsvektor und orthogonal zu den beiden anderen. Sind die Einheitsvektoren
und
nicht orthogonal zueinander, ist das Kreuzprodukt der Einheitsvektoren kein Einheitsvektor.
Kreuzprodukt – Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen
Zwei Vektoren und
spannen ein Parallelogramm in der Ebene auf. Diese Ebene ist im Allgemeinen keine Koordinatenebene, sondern eine schräge Ebene im Raum, die von den Vektoren
und
aufgespannt wird. Wir können das Kreuzprodukt geometrisch interpretieren: Der Betrag des Vektors
ist der Flächeninhalt des von
und
aufgespannten Parallelogramms:

Als Beispiel berechnen wir den Flächeninhalt des von den Vektoren
und
aufgespannten Parallelogramms:
Kreuzprodukt – Volumen eines Spats berechnen
Drei Vektoren ,
und
spannen im dreidimensionalen Raum ein Parallelotop oder einen Spat auf. Wir erhalten hier eine weitere geometrische Interpretation des Kreuzprodukts: Das Volumen
des Spats lässt sich durch die folgende Formel aus dem Kreuzprodukt und dem Skalarprodukt berechnen:

Wir berechnen als Beispiel das Volumen des von den Vektoren
und
und
aufgespannten Parallelotops:
Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreuzprodukt
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