Das Kreuzprodukt – Formel, Herleitung und Anwendungen

Inhaltsverzeichnis zum Thema Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt im Überblick

  • Das Kreuzprodukt zweier Vektoren \vec{a} und \vec{b} ist ein Vektor \vec{c} =\vec{a} \times \vec{b}, der auf \vec{a} und auf \vec{b} senkrecht steht. Mit anderen Worten: Das Kreuzprodukt \vec{a} \times \vec{b} ist orthogonal zu \vec{a} und zu \vec{b}.

  • Das Kreuzprodukt \vec{a}\times \vec{b} der Vektoren \vec{a}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} und \vec{b}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} berechnest du durch die Formel:
    \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}

  • Die Länge des Ergebnisvektors beim Kreuzprodukt entspricht dem Flächeninhalt eines Parallelogramms, das von den beiden multiplizierten Vektoren aufgespannt wird.

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Definition des Kreuzprodukts

Das Kreuzprodukt bezeichnet eine Rechenoperation, die aus zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} im dreidimensionalen Vektorraum einen neuen Vektor \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} macht. Man bezeichnet das Kreuzprodukt auch als Vektorprodukt. Oft bezeichnet man als Kreuzprodukt von Vektoren nicht nur die Rechenoperation selbst, sondern auch ihr Ergebnis: Der Vektor \vec{a} \times \vec{b} ist das Kreuzprodukt der Vektoren \vec{a} und \vec{b}.
Zu unterscheiden ist das Kreuzprodukt vom Skalarprodukt, das aus zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} die Zahl oder den Skalar \vec{a} \cdot \vec{b} berechnet.

Zur Definition des Vektorprodukts gehen wir von Vektoren \vec{a} und \vec{b} in Komponentenschreibweise aus:

\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}

In Koordinatenschreibweise kannst du nun das Kreuzprodukt \vec{a} \times \vec{b} einfach berechnen:

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}

Diese Formel definiert den Vektor \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}.

Kreuzprodukt – Rechenregeln und Eigenschaften

Das Kreuzprodukt \vec{a} \times \vec{b} von Vektoren im dreidimensionalen Raum hat viele nützliche Eigenschaften:

  • \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} steht senkrecht auf \vec{a} und auf \vec{b}.
  • Die Vektoren \vec{a}, \vec{b} und \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} bilden eine rechtshändig orientierte Basis (sofern \vec{a} und \vec{b} linear unabhängig sind).
  • Das Kreuzprodukt der beiden ersten Standardbasisvektoren \vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} und \vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ist der dritte Standardbasisvektor:
    \vec{e}_1 \times \vec{e}_2 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \vec{e}_3
  • Vertauschst du die Reihenfolge von \vec{a} und \vec{b}, ändert sich beim Kreuzprodukt das Vorzeichen, d. h. \vec{b} \times \vec{a} = -\vec{a} \times \vec{b}. Das Kreuzprodukt ist also nicht kommutativ.
  • Skalierst du einen der beiden Vektoren \vec{a} oder \vec{b} mit einem Faktor r, skaliert sich auch das Kreuzprodukt:
    (r\vec{a}) \times \vec{b} = r (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (r \vec{b})
    Man sagt: Das Kreuzprodukt ist bilinear bzw. linear in jedem Faktor einzeln.
  • Das Kreuzprodukt erfüllt das folgende Distributivgesetz:
    \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}
  • Das Kreuzprodukt paralleler Vektoren ist immer null.
  • Das Kreuzprodukt von Einheitsvektoren (d. h. Vektoren der Länge 1) \vec{a} und \vec{b} ist nur dann ein Einheitsvektor, wenn \vec{a} und \vec{b} orthogonal zueinander sind.
  • Der Betrag des Kreuzprodukts \left\vert \vec{a} \times \vec{b} \right\vert ist der Flächeninhalt A des von den Vektoren \vec{a} und \vec{b} aufgespannten Parallelogramms.
  • Drei Vektoren \vec{a}, \vec{b} und \vec{c} spannen einen Spat auf – so etwas wie ein dreidimensionales Parallelogramm. Das Volumen V des Spats berechnest du mit dem Kreuzprodukt und dem Skalarprodukt:
    V = \left\vert (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \right\vert
    Dieses Produkt aus drei Vektoren trägt daher auch den Namen Spatprodukt.

Gegeben sind zwei Vektoren \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}, gesucht ist ein Vektor \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}, der senkrecht auf \vec{a} und senkrecht auf \vec{b} steht. Wir leiten eine Formel für diesen Vektor \vec{n} her.

Die Orthogonalität von Vektoren \vec{u} und \vec{v} bezeichnen wir mit \vec{u} \perp \vec{v}. Dass die Vektoren \vec{u} und \vec{v} aufeinander senkrecht stehen, ist äquivalent dazu, dass für ihr Skalarprodukt gilt:
\vec{u} \cdot \vec{v} =0

Die Bedingungen \vec{a} \perp \vec{n} und \vec{b} \perp \vec{n} schreiben wir daher als Gleichungen der Skalarprodukte:

\begin{array}{rclclcl} \vec{n} \cdot \vec{a} &=& n_1 a_1 & + & n_2 a_2 & + & n_3 a_3 \\ &= & 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{b} &=& n_1 b_1 & + & n_2 b_2 & + & n_3 b_3 \\ &= & 0 \end{array}

In diesem linearen Gleichungssystem für das Kreuzprodukt sind die Komponenten a_1, a_2, a_3 und b_1, b_2, b_3 der gegebenen Vektoren die Koeffizienten und die Komponenten des Kreuzprodukts n_1, n_2 und n_3 sind die Variablen. Das Gleichungssystem hat zwei Gleichungen mit den drei Variablen n_1, n_2 und n_3. Das Gleichungssystem hat daher unendlich viele Lösungen. Das Kreuzprodukt ist also neben der Orthogonalität der Vektoren nur durch eine weitere Bedingung eindeutig festgelegt. Oder anders gesagt: Wir werden während der Herleitung eine der Variablen frei wählen können. Dies wird die Variable n_3 sein.

Um das Gleichungssystem zu lösen, eliminieren wir zuerst die Variable n_2. Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit b_2 und subtrahieren sie von der mit a_2 multiplizierten zweiten Gleichung. Wir erhalten dann die neue Gleichung:

n_1 a_1 b_2 - n_1 b_1 a_2 + n_3 a_3 b_2 - n_3 b_3 a_2= 0

Nun klammern wir n_1 und n_3 aus und bringen alle n_3-Terme auf die linke Seite der Gleichung:

n_1 (a_1 b_2 - b_1 a_2) = n_3 (b_3 a_2 - a_3 b_2)
Als Nächstes dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch den Faktor von n_1 auf der linken Seite und erhalten:

n_1 = n_3 \cdot \dfrac{(b_3 a_2 - a_3 b_2)}{(a_1 b_2 - b_1 a_2)}

Nun benutzen wir, dass die Variable n_3 frei wählbar ist. Die obige Gleichung für n_1 wird viel einfacher, wenn wir als n_3 den Nenner der rechten Seite wählen, also wenn wir setzen:

n_3 = (a_1 b_2 - b_1 a_2)

Denn damit kürzt sich der Term für n_3 und wir erhalten in der Gleichung für n_1:

n_1 = n_3 \cdot \dfrac{(b_3 a_2 - a_3 b_2)}{(a_1 b_2 - b_1 a_2)} = (a_1 b_2 - b_1 a_2) \cdot \dfrac{(b_3 a_2 - a_3 b_2)}{(a_1 b_2 - b_1 a_2)} = (b_3 a_2 - a_3 b_2)

Jetzt haben wir schon zwei der drei Komponenten bestimmt. Die Komponente n_2 erhalten wir, indem wir die Formeln für n_1 und n_3 in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen. Wir wählen hier erste Gleichung und setzen n_1 und n_3 dort ein:

(b_3 a_2 - a_3 b_2)\cdot a_1 + n_2 a_2 + (a_1 b_2 - b_1 a_2) \cdot a_3 = 0

Um n_2 zu bestimmen, lösen wir diese Gleichung zuerst nach n_2 a_2 auf und multiplizieren die Klammern aus:

\begin{array}{rcl} n_2 a_2 &=& -(b_3 a_2 - a_3 b_2)\cdot a_1 - (a_1 b_2 - b_1 a_2) \cdot a_3 \\ &=& -b_3 a_2 a_1 + a_3 b_2 a_1 -a_1 b_2 a_3 + b_1 a_2 a_3 \\ &=& -b_3 a_2 a_1 + b_1 a_2 a_3 \end{array}

Dabei sind im letzten Schritt beide mittleren Terme weggefallen, denn sie sind identisch bis auf das Vorzeichen. Aus dem Term auf der rechten Seite können wir a_2 ausklammern und erhalten:

n_2 a_2 = (-b_3 a_1 + b_1 a_3) \cdot a_2

Wir dividieren diese Gleichung noch durch a_2 und erhalten schließlich:

n_2 = (a_3 b_1 - a_1 b_3)

Damit haben wir Formeln für alle drei Komponenten des Kreuzprodukts hergeleitet. Das Kreuzprodukt \vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} ist also:

\vec{n} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}

Kreuzprodukt – Anwendungen

Mithilfe des Kreuzprodukts kannst du:

  • senkrechte Vektoren bestimmen,
  • eine rechtshändig orientierte Basis eines dreidimensionalen Vektorraums konstruieren,
  • den Flächeninhalt eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms berechnen und
  • das Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten Spats berechnen.

Kreuzprodukt – senkrechte Vektoren bestimmen

Sind die Vektoren \vec{a} und \vec{b} gegeben, kannst du mit dem Kreuzprodukt einen Vektor \vec{a} \times \vec{b} berechnen, der sowohl auf \vec{a} als auch auf \vec{b} senkrecht steht. Wir berechnen als Beispiel das Kreuzprodukt von \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}:

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 4 - 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 - 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot 3 - 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

Dieser Vektor steht senkrecht auf \vec{a}:

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 = -1 + 4 -3 = 0

Der Vektor \vec{a} \times \vec{b} steht auch senkrecht auf \vec{b}:

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 = -2+6-4 = 0

Kreuzprodukt – rechtshändig orientierte Basis bestimmen

Sind die Vektoren \vec{a} und \vec{b} linear unabhängig, bilden die Vektoren \vec{a}, \vec{b} und \vec{a} \times \vec{b} zusammen eine rechtshändig orientierte Basis im dreidimensionalen Raum \left(\mathbb R^3\right). Um eine solche Basis zu bestimmen, brauchst du also nur zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b}, die nicht Vielfache voneinander sind. Diese beiden Vektoren kannst du als Basisvektoren verwenden. Nimmst du das Kreuzprodukt \vec{a} \times \vec{b} als dritten Vektor dazu, erhältst du die rechtshändig orientierte Basis \vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}.

Sind die Vektoren \vec{a} und \vec{b} Einheitsvektoren und orthogonal zueinander, ist auch das Kreuzprodukt \vec{a} \times \vec{b} ein Einheitsvektor und orthogonal zu den beiden anderen. Sind die Einheitsvektoren \vec{a} und \vec{b} nicht orthogonal zueinander, ist das Kreuzprodukt der Einheitsvektoren kein Einheitsvektor.

Kreuzprodukt – Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen

Zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} spannen ein Parallelogramm in der Ebene auf. Diese Ebene ist im Allgemeinen keine Koordinatenebene, sondern eine schräge Ebene im Raum, die von den Vektoren \vec{a} und \vec{b} aufgespannt wird. Wir können das Kreuzprodukt geometrisch interpretieren: Der Betrag des Vektors \vec{a} \times \vec{b} ist der Flächeninhalt des von \vec{a} und \vec{b} aufgespannten Parallelogramms:

A = \left\vert\vec{a} \times \vec{b}\right\vert

\vec{b}

Als Beispiel berechnen wir den Flächeninhalt A des von den Vektoren \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} aufgespannten Parallelogramms:

A = \bigvert \vec{a} \times \vec{b} \bigvert = \left\vert \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\vert = \left\vert \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 - 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 - 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 2 - 0 \cdot 1 \end{pmatrix} \right\vert = \sqrt{0^2+0^2+6^2} = \underline{\underline{6}}

Kreuzprodukt – Volumen eines Spats berechnen

Drei Vektoren \vec{a}, \vec{b} und \vec{c} spannen im dreidimensionalen Raum ein Parallelotop oder einen Spat auf. Wir erhalten hier eine weitere geometrische Interpretation des Kreuzprodukts: Das Volumen V des Spats lässt sich durch die folgende Formel aus dem Kreuzprodukt und dem Skalarprodukt berechnen:

V = \left\vert(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}\right\vert

\vec{c}

Wir berechnen als Beispiel das Volumen V des von den Vektoren \vec{a}= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} und \vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} aufgespannten Parallelotops:

\begin{array}{rcc} V &=& \left\vert(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}\right\vert \\ \\ &=& \left\vert \left( \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\vert \\ \\ &=& \left\vert \begin{pmatrix} 0 \cdot (-1) - 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1) \\ (-1) \cdot 2 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\vert \\ \\ &=& \left\vert \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\vert \\ \\ &=& \big\vert 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + (-2) \cdot 1 \big\vert \\ \\ &=& |{-}3| \\ \\ &=& \underline{\underline{3}} \end{array}

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreuzprodukt

  • Das Kreuzprodukt ist eine Rechenregel, die aus zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} einen dritten Vektor \vec{a} \times \vec{b} macht.
  • Der Vektor \vec{a} \times \vec{b} steht senkrecht auf \vec{a} und auf \vec{b}.

Um das Vektorprodukt zu berechnen, gehst du folgendermaßen vor:

  • Zuerst schreibst du die beiden Vektoren \vec{a} und \vec{b} in Koordinaten hin: \vec{a}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} und \vec{b}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}
  • Jetzt berechnest du das Kreuzprodukt \vec{a} \times \vec{b} mit folgender Formel: \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}
    Für die erste Komponente von \vec{a} \times \vec{b} verwendest du dabei die zweite Komponente von \vec{a} und die dritte Komponente von \vec{b} und umgekehrt. Auf die gleiche Weise verfährst du für die zweite und dritte Komponente von \vec{a} \times \vec{b}.
  • Das Kreuzprodukt von Einheitsvektoren ist im Allgemeinen kein Einheitsvektor.
  • Das Kreuzprodukt der orthogonalen Einheitsvektoren \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ist der Einheitsvektor \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.
  • Das Kreuzprodukt von Vektoren \vec{a} und \vec{b} ergibt den Vektor \vec{a} \times \vec{b}. Daher heißt das Kreuzprodukt auch Vektorprodukt.
  • Das Skalarprodukt von Vektoren \vec{a} und \vec{b} ergibt den Skalar \vec{a} \cdot \vec{b}.
  • Das Skalarprodukt ist kommutativ, das Vektorprodukt ist nicht kommutativ (sondern antikommutativ).
  • Das Kreuzprodukt \vec{a} \times \vec{b} zweier Vektoren \vec{a} und \vec{b} steht senkrecht auf \vec{a} und auf \vec{b}.
  • Der Betrag von \vec{a} \times \vec{b} ist der Flächeninhalt des von den Vektoren \vec{a} und \vec{b} aufgespannten Parallelogramms.
  • Das Kreuzprodukt \vec{a} \times \vec{b} zweier Vektoren \vec{a} und \vec{b} steht senkrecht auf \vec{a} und auf \vec{b}.
  • Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ, sondern antikommutativ:
    \vec{b} \times \vec{a} = -\vec{a} \times \vec{b}
  • Das Kreuzprodukt ist bilinear oder linear in jedem Faktor:
    (r\vec{a}) \times \vec{b} = r (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (r \vec{b})
  • Das Kreuzprodukt erfüllt das folgende Distributivgesetz:
    \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}
  • Vertauschst du die Vektoren \vec{a} und \vec{b}, ändert sich beim Kreuzprodukt nur das Vorzeichen:
    \vec{b} \times \vec{a} = -\vec{a} \times \vec{b}
    Man sagt: Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ, sondern antikommutativ.
  • Skalierst du einen der Vektoren mit einem Faktor r, skaliert sich das Kreuzprodukt mit dem gleichen Faktor:
    (r\vec{a}) \times \vec{b} = r (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (r \vec{b})
    Man sagt: Das Kreuzprodukt ist linear in jedem Faktor.
  • Das Kreuzprodukt erfüllt das folgende Distributivgesetz:
    \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}
  • Mit dem Kreuzprodukt berechnest du einen Vektor \vec{a} \times \vec{b}, der auf \vec{a} und auf \vec{b} senkrecht steht.
  • Mit dem Kreuzprodukt kannst du den Flächeninhalt eines Parallelogramms oder das Volumen eines Parallelotops berechnen.
  • Du kannst das Kreuzprodukt anwenden, um einen Vektor \vec{a} \times \vec{b} zu berechnen, der senkrecht auf \vec{a} und auf \vec{b} steht.
  • Mit dem Kreuzprodukt kannst du zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b}, die nicht Vielfache voneinander sind, zu einer rechtshändigen Basis mit den Basisvektoren \vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b} ergänzen.
  • Du berechnest den Flächeninhalt A des von Vektoren \vec{a} und \vec{b} aufgespannten Parallelogramms mit der Formel A = \left\vert\vec{a} \times \vec{b}\right\vert.
  • Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt.

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