Quadratische Funktionen im Überblick

  • In quadratischen Funktionen ist die höchste Potenz von x das Quadrat.
  • Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.
  • Die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion ist: {f(x) = ax^2 + bx + c}, wobei a nicht null sein darf.
  • Verschiedene Parameter beeinflussen den Verlauf und das Aussehen der Parabel. Sie kann im Vergleich zur Normalparabel x^2 gestreckt, gestaucht, verschoben und an der x-Achse gespiegelt sein.
Quadratische Funktionen: Lernvideo

Quelle: sofatutor.com

Quadratische Funktionen – Definition

Quadratische Funktionen sind Funktionen, in denen die höchste Potenz von x das Quadrat ist. Der Graph einer quadratischen Funktion ist immer eine Parabel, verläuft also in einer Art U-Form.

Der Definitionsbereich \mathbb{D} einer quadratischen Funktion umfasst alle x-Werte, für die der Funktionsterm definiert ist. In der Regel gilt für quadratische Funktionen:
\mathbb{D} = \mathbb{R}
Der Wertebereich \mathbb{W} einer quadratischen Funktion umfasst alle y-Werte, die die Funktion annehmen kann. Durch den Verlauf der Parabel mit einem höchsten oder tiefsten Punkt im Scheitel ist die Wertemenge begrenzt.

Quadratische Funktionen – Funktionsgleichung

Die Funktionsgleichung quadratischer Funktionen kann in verschiedenen Formen dargestellt werden. Wir gehen im Folgenden genauer auf die allgemeine Form, die Normalform und die Scheitelpunktform ein.

Quadratische Funktionen – allgemeine Form

Die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion lautet:

f(x) = ax^2 + bx + c \quad (\text{mit}~a \neq 0,~x \in \matbb{R})

Die einzelnen Glieder der Gleichung nennen wir:

  • ax^2: das quadratische Glied
  • bx: das lineare Glied
  • c: das absolute Glied

Der Parameter a darf nicht 0 sein, da in der Gleichung ansonsten kein x^2 mehr vorkommen würde und es sich somit nur noch um eine lineare Funktion und nicht um eine quadratische Funktion handeln würde.
Hinweis: Anstelle von f(x) kann für den Funktionswert auch y stehen.

Quadratische Funktion – Normalform:
Die Normalform ist ein Spezialfall der allgemeinen Form. Bei der Normalform ist der Koeffizient des Terms x^2 normiert. Das bedeutet, der Koeffizient vor x^2 ist 1. Ist a=1, kann es in der Funktionsgleichung weggelassen werden.
Liegt eine Parabel in Normalform vor, werden anstelle der Parameter b und c manchmal auch p und q verwendet:

f(x) = x^2 + px + q

Quadratische Funktionen – Scheitelpunktform

Aus der Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion direkt ablesen. Als Scheitelpunkt wird der höchste oder tiefste Punkt des Graphen bezeichnet. Die Scheitelpunktform lautet:

f(x) = a \cdot (x+d)^2 + e

Der Scheitelpunkt S einer quadratischen Funktion liegt bei S(-d \vert e).
Allgemeine und Scheitelpunktform lassen sich ineinander umwandeln. Wie das funktioniert, wird im Abschnitt Funktionsterm umformen erklärt.

Quadratische Funktionen – Parabeln

Der Graph einer quadratischen Funktion ist immer eine Parabel.
Betrachten wir zunächst die sogenannte Normalparabel. Als Normalparabel wird der Graph der quadratischen Funktion f(x)=x^2 bezeichnet.

Normalparabel

Quelle sofatutor.com

Der Scheitelpunkt der Normalparabel liegt bei (0 \vert 0). Als Scheitelpunkt wird der tiefste oder höchste Punkt der Parabel bezeichnet, es ist also der Punkt, an dem die Parabel ihre Richtung ändert. Die Normalparabel besitzt einen Tiefpunkt. Durch den Einfluss verschiedener Parameter kann sich der Verlauf der Normalparabel ändern. Dabei gibt es folgende Möglichkeiten:

  • Verschiebung des Scheitelpunkts in Richtung der x-Achse (nach rechts oder links)
  • Verschiebung des Scheitelpunkts in Richtung der y-Achse (nach oben oder unten)
  • Streckung (schmalerer Verlauf) oder Stauchung (breiterer Verlauf)
  • Spiegelung an der x-Achse

Jede Parabel besitzt eine Symmetrieachse, die parallel zur y-Achse verläuft und die Parabel in ihrem Scheitelpunkt schneidet. Bei der Normalparabel stellt die y-Achse selbst die Symmetrieachse dar.
Den Einfluss der Parameter auf den Verlauf der quadratischen Funktion schauen wir uns in den folgenden Abschnitten genauer an.

Quadratische Funktion – Verschiebung in x-Richtung

Betrachten wir dafür die folgenden quadratischen Funktionen:

f_1(x) = (x + 1)^2
f_2(x) = (x - 1)^2

Eingetragen in das Koordinatensystem sehen wir, dass die Graphen der Funktionen wie die Normalparabel verlaufen, allerdings um eine Einheit nach links (f_1(x)) beziehungsweise eine Einheit nach rechts (f_2(x)) verschoben.

Verschiebung der Parabel in x-Richtung

Der Scheitelpunkt von f_1(x) liegt somit bei S_1(-1 \vert 0) und der von f_2(x) bei S_2(1 \vert 0). Beide Funktionen gehören zur Form f(x) = (x+d)^2. Wir können daraus ableiten:

  • d > 0: Parabel ist um d Einheiten nach links verschoben.
  • d < 0: Parabel ist um d Einheiten nach rechts verschoben.

Beachte: Die Verschiebung der Parabel in x-Richtung erfolgt mit entgegengesetztem Vorzeichen.

Quadratische Funktionen – Verschiebung in y-Richtung

Die Verschiebung in y-Richtung wird durch den Parameter c beeinflusst. Parabeln von Funktionen der Form f(x) = x^2+c sind in Richtung der y-Achse verschoben. Dabei gilt:

  • c > 0: Parabel ist um c Einheiten nach oben verschoben.
  • c < 0: Parabel ist um c Einheiten nach unten verschoben.

Beispiel:
Im Vergleich zur Normalparabel x^2 (blau) ist der Graph von x^2 + 1 eine Einheit nach oben verschoben (grün). Der Graph von x^2 - 2 ist dagegen wegen c = -2 um zwei Einheiten nach unten verschoben (gelb).

Parabel Verschiebung in y-Richtung

Quadratische Funktionen – Streckung und Stauchung

Für die Streckung und Stauchung einer Funktion ist der Parameter a verantwortlich, der als Koeffizient vor x^2 steht. Dabei gilt:

  • \vert a \vert > 1: Parabel ist gestreckt, d. h., der Graph ist schmaler.
  • 1 > \vert a \vert > 0: Parabel ist gestaucht, d. h., der Graph ist breiter.

In der Normalparabel ist a=1 und wird daher in der Funktionsgleichung häufig weggelassen. Die Normalparabel ist somit weder gestreckt noch gestaucht.

Quadratische Funktionen und Parabeln

In der Grafik sehen wir: Je größer a ist, desto schlanker ist die Parabel.

Quadratische Funktionen – Spiegelung an der x-Achse

Auch für die Spiegelung an der x-Achse ist der Parameter a verantwortlich. Ist a negativ, wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt und ist nach unten geöffnet. Dabei gilt:

  • a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.
  • a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.

In der folgenden Grafik ist zu erkennen, dass der Funktionsgraph mit einem negativen a nach unten geöffnet ist. Da a kleiner als -1 ist, ist der Graph der Funktion zusätzlich auch gestreckt, er ist also schmaler.

Spiegelung an der x-Achse

Ist die Parabel nach oben geöffnet (a > 0), ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt (Tiefpunkt) der Parabel. Ist die Parabel nach unten geöffnet (a < 0), ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt (Hochpunkt) der Parabel.

Quadratische Funktionen – Verlauf erkennen

Anhand der Funktionsgleichung können somit schon wichtige Eigenschaften der Parabel abgelesen werden. Betrachten wir dafür die folgende quadratische Funktion:

f(x) = -3(x +2)^2 +5

Die Parabel dieser Funktion verhält sich im Vergleich zur Normalparabel folgendermaßen:

  • a = -3 \Rightarrow~ nach unten geöffnet und gestreckt
  • c = 5 \Rightarrow~ um 5 Einheiten nach oben verschoben
  • d = 2 \Rightarrow~ um 2 Einheiten nach links verschoben

Quadratische Funktionen – Nullstellen berechnen

Als Nullstellen werden die Punkte bezeichnet, an denen der Graph einer Funktion die x-Achse schneidet. Nullstellen sind also die x-Werte, für die der Funktionswert gleich null ist (f(x)=0). Eine Parabel kann zwei, eine oder keine Nullstellen besitzen.
Die Formel zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion hängt von der Form ab, in der die quadratische Funktion gegeben ist.

Nullstellen bestimmen – allgemeine Form

Ist eine quadratische Funktion in der allgemeinen Form f(x) = ax^2 + bx + c gegeben, werden die Nullstellen mit der Mitternachtsformel berechnet. Diese lautet:

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

Die Parameter aus der Funktionsgleichung werden in die Mitternachtsformel eingesetzt. Aufgrund des Plusminuszeichens (\pm) müssen die Werte getrennt berechnet werden.
Die Anzahl der Nullstellen hängt dabei von dem Term ab, der unter der Wurzel steht. Er wird auch Diskriminante D = b^2 - 4ac genannt. Es gilt:

  • D < 0 ~\Rightarrow~ keine Lösung
  • D = 0 ~\Rightarrow~ eine Lösung
  • D > 0 ~\Rightarrow~ zwei Lösungen

Beispiel:
Betrachten wir die quadratische Funktion f(x) = -2x^2 + 4x + 6.
Zunächst setzen wir die Parameter a=-2, b=4 und c=6 in die Mitternachtsformel ein und vereinfachen diese.

x_{1,2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 6}}{2 \cdot (-2)} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 +48}}{-4} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{64}}{-4} = \dfrac{-4 \pm 8}{-4}

Nun trennen wir den Term und erhalten für die beiden Nullstellen:

x_1 = \dfrac{-4 + 8}{-4} = -1
x_1 = \dfrac{-4 - 8}{-4} = 3

Die beiden Nullstellen dieser quadratischen Funktion liegen bei N_1=(-1 \vert 0) und N_2=(3 \vert 0).

Nullstellen bestimmen – Normalform

Ist eine quadratische Funktion in der Normalform f(x) = x^2 + px + q gegeben, werden die Nullstellen mit der pqFormel berechnet. Diese lautet:

x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\bigl(\frac{p}{2}\bigr)^2 -q}

Auch in der pq-Formel kommt ein Plusminuszeichen vor, weshalb es zwei mögliche Lösungen gibt. Wie in der Mitternachtsformel ist der Term unter der Wurzel maßgeblich für die Anzahl der Lösungen.
Die Parameter p und q werden in die Formel eingesetzt, diese wird vereinfacht und x_1 und x_2 können durch eine Trennung der Terme berechnet werden.

Nullstellen bestimmen – Scheitelpunktform

Ist eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform f(x) = a \cdot (x+d)^2 + e gegeben, muss die Formel lediglich gleich 0 gesetzt und nach x umgestellt werden.

\begin{array}{rcll} a \cdot (x+d)^2 + e & = & 0 & \vert -e\\ a \cdot (x+d)^2 & = & -e & \vert :a \\ (x+d)^2 & = & -\dfrac{e}{a} & \vert \sqrt{~} \\ x_{1,2}+d & = & \pm \sqrt{-\dfrac{e}{a}} & \vert -d \\ x_{1,2} & = & -d \pm \sqrt{-\dfrac{e}{a}}&\\ \end{array}

Die Lösungsformel für die Scheitelpunktform lautet demnach:

x_{1,2} = -d \pm \sqrt{-\dfrac{e}{a}}

Auch hier müssen die Parameter a, e und d eingesetzt, die Terme in einen Plus- und einen Minusterm aufgeteilt und die Werte für x_1 und x_2 berechnet werden.

Beispiel:
f(x) = 2 \cdot (x-3)^2 -8

x_{1,2} = -d \pm \sqrt{-\dfrac{e}{a}}
x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{-\dfrac{-8}{2}}= 3 \pm \sqrt{\dfrac{8}{2}}

x_1 = 3 - \sqrt{4} = 1
x_2 = 3 + \sqrt{4} = 5

Die Nullstellen dieser quadratischen Gleichung liegen bei N_1=(1 \vert 0) und N_2=(5 \vert 0).

Quadratische Funktionen – Funktionsgleichung bestimmen

Um die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion anhand ihrer Parabel zu bestimmen, benötigen wir drei Punkte, die auf der Parabel liegen. Zur Bestimmung der Funktionsgleichung gehen wir dann folgendermaßen vor:

  • Die Koordinaten dreier Punkte, die auf der Parabel liegen, ablesen
  • Die Koordinaten jeweils in die allgemeine Form der Funktionsgleichung einsetzen, um drei Gleichungen zu erhalten
  • Gleichungssystem aufstellen
  • Die Parameter a, b und c über das Gleichungssystem bestimmen
  • a, b und c in die Funktionsgleichung einsetzen

Beispiel:
Betrachten wir die folgende Parabel:

Parabel

Zunächst wählen wir drei Punkte, die auf der Parabel liegen.

P_1(0 \vert 6)
P_2(-1 \vert 0)
P_3(1 \vert 8)

Setzen wir die drei Punkte jeweils in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir die drei Gleichungen:

\begin{array}{rclcl} 6 &=& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& c \\ 0 &=& a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c &=& a - b + c \\ 8 &=& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c &=& a + b + c \end{array}

Aus der ersten Gleichung können wir c = 6 direkt ablesen. Diesen Wert setzen wir in die anderen beiden Gleichungen ein, sodass wir im nächsten Schritt nur noch a und b bestimmen müssen.
Wir stellen folgendes Gleichungssystem auf:

\begin{array}{rrcl} \text{I:} & a - b + 6 &=& 0 \\ \text{II:} & a + b + 6 &=& 8 \end{array}

Um das Gleichungssystem zu lösen, stellen wir eine Gleichung nach einer Variablen um und setzen sie dann in die zweite Gleichung ein.
Stellen wir dafür die erste Gleichung nach a um:

\text{I':} \quad a = b - 6

Setzen wir das in die zweite Gleichung ein und stellen diese nach b um, erhalten wir:

\text{I' in II:} \quad (b - 6) + b + 6 = 8
\Rightarrow ~ b = 4

Nun können wir b = 4 in die Gleichung \text{I'} einsetzen und erhalten:

b ~\text{in I':} \quad a = 4 - 6
\Rightarrow ~ a = -2

Die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion lautet:

f(x) = -2x^2 + 4x + 6

Hinweis: Das hier beschriebene Verfahren funktioniert für drei beliebige Punkte, die auf dem Graphen einer quadratischen Funktion liegen. Bei geeigneten Angaben wie z. B. dem Scheitelpunkt oder den Nullstellen der Parabel kann ein Ansatz mit der Scheitelpunktform (a(x+d)^2+e) oder in der Nullstellenform (a(x-x_1)(x-x_2)) schneller zum Ziel führen.

Quadratische Funktionen zeichnen

Beim Zeichnen quadratischer Funktionen sind Wertetabellen hilfreich. Dabei suchst du dir verschiedene Zahlen für x, setzt diese in die Funktionsgleichung ein und ermittelst die dazugehörigen y-Werte. Die Wertepaare werden im Anschluss in einem Koordinatensystem abgetragen und zur Parabel verbunden. Dabei ist es wichtig, möglichst genau zu arbeiten, indem möglichst viele Punkte berechnet werden.
Zudem können anhand der Parameter schon Eigenschaften der Parabel abgeleitet werden.

Beispiel
Betrachten wir die quadratische Funktion f(x) = 0,\!5x^2 -1.

Folgende Eigenschaften der Parabel der quadratischen Funktion lassen sich bereits aus der Funktionsgleichung ablesen:

  • a > 0: nach oben geöffnet
  • a < 1: gestaucht
  • c < 0: nach unten verschoben

Nun können wir eine Wertetabelle für diese quadratische Funktion erstellen, um Punkte zu ermitteln, die auf der Parabel liegen. Dafür wählen wir uns Werte für x, setzen diese in die Funktionsgleichung ein und berechnen den dazugehörigen y-Wert.

x = -2: ~ f(-2) = 0,\!5 \cdot (-2)^2 -1 = 0,\!5 \cdot 4 - 1 = 2-1 = 1 ~ \Rightarrow P_1(-2 \vert 1)

Alle Wertepaare können wir in die Wertetabelle eintragen.

x-Wert -2 -1 0 1 2
y-Wert 1 -0,\!5 -1 -0,\!5 1

Diese Punkte können nun im Koordinatensystem eingezeichnet und zur Parabel verbunden werden. 

Koordinatensystem Beispiel

Betrachten wir noch die Parabel h(x) = -1,\!5x^2+4. Hier lassen sich die folgenden Eigenschaften aus der Funktionsgleichung ablesen:

  • a < 0: nach unten geöffnet
  • a < -1: gestreckt
  • c > 0: nach oben verschoben

Auch für diese Funktionsgleichung können wir eine Wertetabelle anfertigen und die Parabel der quadratischen Funktion einzeichnen.

x-Werte -2 -1 0 1 2
y-Werte -2 2,\!5 4 2,\!5 -2

Quadratische Funktionen – Funktionsterm umformen

Die Scheitelpunktform und die allgemeine Form sind lediglich verschiedene Schreibweisen der Funktionsgleichung und lassen sich ineinander überführen. Um die allgemeine Form in die Scheitelpunktform umzuwandeln, nutzen wir die quadratische Ergänzung. Wollen wir die Scheitelpunktform in die allgemeine Form bringen, dann wenden wir die binomischen Formeln<span style=“font-weight: 400;“> an.

Binomische Formel

Beispiel:
f(x) = -2x^2-8x-5 (allgemeine Form)
f(x) = -2(x+2)^2+3 (Scheitelpunktform)

In den folgenden Abschnitten wandeln wir diese beiden Formen ineinander um.

Quadratische Funktionen – Scheitelpunktform in allgemeine Form umwandeln

In der Scheitelpunktform haben wir eine Klammer, die quadriert wird. Dafür wenden wir die binomischen Formeln an. Eine Hilfsklammer um die binomische Formel kann dir helfen, die einzelnen Rechenschritte nicht zu vermischen. Wir wenden zunächst innerhalb der Hilfsklammer die erste binomische Formel an:

f(x) = -2\bigl((x+2)^2\bigr)+3
f(x) = -2\bigl(x^2+4x+4\bigr)+3

Die Hilfsklammer können wir nun auflösen, indem alle drei Summanden mit dem Faktor vor der Klammer (-2) multipliziert werden.

f(x) = -2\bigl(x^2+4x+4\bigr)+3
f(x) = -2x^2 - 8x -8 + 3

Fassen wir das noch zusammen, erhalten wir die allgemeine Form dieser quadratischen Funktion:

f(x) = -2x^2 - 8x -8 + 3
f(x) = -2x^2-8x-5

Die wichtigsten Schritte bei dieser Umwandlung sind:

  • Hilfsklammer setzen,
  • binomische Formel anwenden,
  • Hilfsklammer auflösen und
  • zusammenfassen.

Quadratische Funktionen – allgemeine Form in Scheitelpunktform umwandeln

Bei dieser Umformung wenden wir die quadratische Ergänzung an. Dafür klammern wir zunächst den Faktor (-2) aus, der vor x^2 steht. Dabei muss auch auf die Vorzeichen geachtet werden.

f(x) = -2x^2-8x-5
f(x) = -2 (x^2 + 4x + 2,\!5)

Betrachten wir jetzt die Klammer, erinnert diese schon etwas an die erste binomische Formel. Nun wenden wir die quadratische Ergänzung an. Dafür addieren wir b^2 (in diesem Fall 2^2 = 4) und ziehen es gleich wieder ab. Nun können wir die ersten Summanden zur ersten binomischen Formel zusammenfassen.

f(x) = -2 (x^2 + 2 \cdot 2x + 2^2 - 2^2 + 2,\!5)
f(x) = -2 ((x +2)^2 - 1,\!5)

Im nächsten Schritt lösen wir die äußere Klammer auf und fassen zusammen.

f(x) = -2 ((x +2)^2 - 1,\!5)

f(x) = -2(x+2)^2+3

Die wichtigsten Schritte bei dieser Umwandlung sind:

  • Faktor vor x^2 ausklammern,
  • quadratische Ergänzung durchführen,
  • binomische Formel anwenden,
  • äußere Klammer auflösen und
  • zusammenfassen.

Quadratische Funktionen – Aufgaben und Beispiele

Aufgabe 1: quadratische Funktion verschieben
Gegeben ist die Normalparabel f(x) = x^2. Die Parabel wird nun um 7 Einheiten nach oben und 3 Einheiten nach rechts verschoben. Wie ändert sich die Funktionsgleichung?

Lösung Aufgabe 1:
Eine Verschiebung nach oben oder unten wird immer durch den Parameter c angegeben. Ist die Parabel nach oben verschoben, ist c positiv. In diesem Fall muss also der Parameter c=7 ergänzt werden.
Die Verschiebung nach rechts und links wird durch den Parameter d angegeben. Bei einer Verschiebung nach rechts ist d negativ. Demnach muss in der Funktionsgleichung der Parameter d=-3 ergänzt werden.
Die Funktionsgleichung lautet:

f(x) = (x-3)^2 + 7

Aufgabe 2: Funktionsgleichung umwandeln
Es ist eine Funktionsgleichung in allgemeiner Form gegeben: f(x)=2x^2-4x+9. Wandle diese in die Scheitelpunktform um.

Lösung Aufgabe 2:
Mithilfe der quadratischen Ergänzung können wir die allgemeine Form in die Scheitelpunktform umwandeln.

\begin{array}{rcll} f(x) & = & 2x^2 - 4x +9 & \vert \text{Ausklammern}\\ f(x) & = & 2(x^2 - 2x +4,\!5) & \vert \text{quadratische Ergänzung}\\ f(x) & = & 2(x^2 - 2x +1 - 1 +4,\!5) & \vert \text{zweite binomische Formel} \\ f(x) & = & 2((x - 1)^2 +3,\!5) & \vert \text{zusammenfassen}\\ f(x) & = & 2(x - 1)^2 +7 & \\ \end{array}

Die Scheitelpunktform lautet:
f(x) = 2(x - 1)^2 +7

Aufgabe 3: Nullstellenberechnung quadratischer Funktionen
Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen:

f(x) = x^2 +4x - 5
h(x) = -(x-2)^2 +4

Lösung Aufgabe 3:
Zunächst muss die Form, in der die quadratische Funktion gegeben ist, bestimmt werden:

f(x): Normalform
h(x): Scheitelpunktform

Nun können die Nullstellen mit den entsprechenden Formeln berechnet werden.
Beginnen wir mit f(x). Dafür nutzen wir die pq-Formel:

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 -q}

p=4
q=5

x_{1,2} = -\dfrac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2 -(-5)} = -2 \pm \sqrt{4+5} = -2 \pm \sqrt{9} = -2 \pm 3

x_1 = -2 + 3 = 1
x_2 = -2 - 3 = -5

Die quadratische Funktion f(x) = x^2 +4x - 5 besitzt Nullstellen bei x_1 = 1 und x_2 = -5.

Für die quadratische Funktion h(x) = -(x-2)^2 +4, die in der Scheitelpunktform gegeben ist, nutzen wir die folgende Formel zur Berechnung der Nullstellen:

x_{1,2} = -d \pm \sqrt{-\dfrac{e}{a}}

a = -1
d=-2
e=4

x_{1,2} = -(-2) \pm \sqrt{-\dfrac{4}{-1}} = 2 \pm \sqrt{4} = 2 \pm 2

x_1 = 2 + 2 = 4
x_2 = 2 - 2 = 0

Die quadratische Funktion h(x) = -(x-2)^2 +4 besitzt Nullstellen bei x_1 = 4 und x_2 = 0.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen sind Funktionen, in denen die höchste Potenz von x das Quadrat ist (x^2).

Die allgemeine Form der Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen ist {f(x) = ax^2 + bx + c}, wobei a ungleich null sein muss.

Eine quadratische Funktionsgleichung mit a = 1 wird Normalform genannt. In dieser Form werden teilweise auch die Parameter p und q verwendet:
f(x) = x^2 + px + q

In der allgemeinen Form einer quadratischen Funktionsgleichung steht der Parameter b vor dem x. In der Normalform wird der Koeffizient vor x manchmal auch p genannt.

Die Graphen quadratischer Funktionen verlaufen immer als Parabel. Das bedeutet, sie besitzen einen Scheitelpunkt, das ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel. Parabeln können zwei, eine oder keine Nullstelle besitzen und schneiden die y-Achse an einer Stelle.

Aus der Nullstellenform f(x) = a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) können die Nullstellen x_1 und x_2 einer quadratischen Funktion direkt abgelesen werden.

Es gibt verschiedene Formen, in denen quadratische Funktionen dargestellt werden können. Die wichtigsten sind die allgemeine Form y = f(x) = ax^2 + bx + c und die Scheitelpunktform f(x) = a \cdot (x-d)^2 + e.

Parabeln gibt es in verschiedenen Formen, jedoch haben alle eine Ähnlichkeit mit der Normalparabel. Sie können im Vergleich zur Normalparabel gestreckt, gestaucht, verschoben oder an der x-Achse gespiegelt sein.
Im Alltag treten quadratische Funktionen auf, die die Rundung eines Brückenbogens oder die Flugbahn eines Balls beschreiben. Sie sind z. B. auch bei Berechnungen von Bremswegen nützlich.
Das x kommt in quadratischen Funktionen immer im Quadrat vor, kann zusätzlich aber noch als lineares Glied auftreten. Die Funktionsgleichung quadratischer Funktionen lässt sich in verschiedenen Formen darstellen. Der Graph einer quadratischen Funktion wird Parabel genannt und verläuft in einer Art U-Form. Er kann nach unten oder oben geöffnet sein und besitzt einen Hochpunkt (nach unten geöffnet) oder einen Tiefpunkt (nach oben geöffnet). Zudem kann die Parabel zwei, eine oder keine Nullstelle besitzen.

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