Gegenwahrscheinlichkeit und Gegenereignis – Mathe

Die Gegenwahrscheinlichkeit beschreibt, wie wahrscheinlich das Gegenteil eines Ereignisses ist. Lerne, wie man sie berechnet und anwendet, mit einfachen Beispielen und Erklärungen. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Gegenwahrscheinlichkeit

Die Gegenwahrscheinlichkeit im Überblick

  • Die Gegenwahrscheinlichkeit beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass das Gegenereignis \overline{E} eines Ereignisses E eintritt.
  • Ein Ereignis E und sein Gegenereignis \overline{E} umfassen zusammen die Ergebnismenge \Omega:
    E \cup \overline{E} = \Omega
  • E und \overline{E} besitzen keine gemeinsamen Ergebnisse:
    E \cap \overline{E} = \{~\}
  • Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses lässt sich mit der Formel P(\overline{E}) = 1 - P(E) berechnen.
Gegenwahrscheinlichkeit: Lernvideo

Quelle: sofatutor.com

Gegenwahrscheinlichkeit – Erklärung

Die Begriffe Ergebnis, Ereignis und Wahrscheinlichkeit sollten schon bekannt sein. Im Folgenden wird darauf eingegangen, was man unter den Begriffen Gegenereignis und Gegenwahrscheinlichkeit versteht.

Gegenereignis – Stochastik

Das Gegenereignis \overline{E} und das Ereignis E bilden zusammen die Ergebnismenge \Omega und besitzen keine gemeinsamen Ergebnisse. Das Gegenereignis beschreibt somit das Gegenteil eines Ereignisses E.
In mathematischer Schreibweise gilt:

  • E \cup \overline{E} = \Omega
    Die Vereinigungsmenge von Ereignis und Gegenereignis ist die Ergebnismenge \Omega.
  • E \cap \overline{E} = \{~\}
    Die Schnittmenge von Ereignis und Gegenereignis ist leer.

Beispiel:
Betrachten wir einen Würfel. Es soll eine Zahl größer als 2 gewürfelt werden. Das Ereignis ist dann: E: „Zahl größer als 2 würfeln“.
Das Gegenereignis ist dann, keine Zahl größer als 2 zu würfeln: \overline{E}: „keine Zahl größer als 2 würfeln“ ~\widehat{=}2 oder kleiner würfeln“.

Gegenwahrscheinlichkeit – Definition

Als Gegenwahrscheinlichkeit wird die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass das Gegenereignis \overline{E} zu Ereignis E eintritt. Das Gegenereignis \overline{E} (lies: E quer) wird als nicht E bezeichnet. Das Zeichen der Gegenwahrscheinlichkeit ist: P(\overline{E}).
Addiert ergeben die Wahrscheinlichkeit und die Gegenwahrscheinlichkeit immer 100\% beziehungsweise 1, mathematisch ausgedrückt:
P(E) + P(\overline{E}) = 1

Gegenwahrscheinlichkeit berechnen

Die Gegenwahrscheinlichkeit lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

P(\overline{E}) = 1 - P(E)

Dabei ist:

  • P(\overline{E}): die Gegenwahrscheinlichkeit
  • P(E). die Wahrscheinlichkeit
  • \overline{E}: das Gegenereignis
  • E: ein Ereignis

Herleitung der Formel

Ein Ereignis und sein Gegenereignis bilden die Ergebnismenge \Omega. Gleiche Mengen haben gleiche Wahrscheinlichkeiten, deswegen gilt folgende Gleichung:

P(E \cup \overline{E}) = P(\Omega)

Die Wahrscheinlichkeit der Ergebnismenge \Omega beträgt immer 1. Es gilt also:

P(E \cup \overline{E}) = 1

Aufgrund des Additionssatzes für Wahrscheinlichkeiten gilt:

P(E \cup \overline{E}) = P(E) + P(\overline{E}) = 1

Daraus lassen sich die folgenden Formeln umstellen:

P(\overline{E}) = 1 - P(E)
P(E) = 1 - P(\overline{E})

Gegenwahrscheinlichkeit – Beispiel berechnen

Betrachten wir wieder das Beispiel mit einem Würfel.

E: „Zahl größer als 2 würfeln“
\overline{E}: „keine Zahl größer als 2 würfeln“ ~\widehat{=}2 oder kleiner würfeln“

Das Ereignis umfasst die vier Ergebnisse 3, 4, 5 und 6. Das Gegenereignis umfasst die Ergebnisse 1 und 2.

E = \{3; 4; 5; 6 \}
\overline{E} = \{1; 2 \}

Die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Ergebnis beträgt \frac{1}{6}. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E berechnet sich als Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse.

P(E) = P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}

Daraus lässt sich die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen mit:

P(\overline{E}) = 1 - P(E) = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}

Gegenwahrscheinlichkeit – Anwendung

Doch wann benutzt man das Gegenereignis und die Gegenwahrscheinlichkeit eigentlich?
Umfasst das Gegenereignis weniger Ergebnisse als das eigentliche Ereignis, kann es leichter sein, zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen. Mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit lässt sich dann auch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnen.
Im Beispiel mit dem Würfel wäre es etwas weniger aufwendig, zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen.

P(\overline{E}) = P(1) + P(2) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}

Im Anschluss lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E mit der folgenden Formel berechnen:

P(E) = 1 - P(\overline{E}) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}

Zudem findet die Gegenwahrscheinlichkeit Anwendung bei bedingten Wahrscheinlichkeiten und der Vierfeldertafel. In der Formel für die Binomialverteilung wird die Gegenwahrscheinlichkeit ebenfalls verwendet. Zudem gilt die Aussage über die Gegenwahrscheinlichkeit, dass P(E) = 1 - P(\overline{E}) für alle Verteilungen, auch für die Normalverteilung, gilt.

Gegenwahrscheinlichkeit – Beispiele

Aufgabe 1
Du hast einen Würfel mit 20 Seiten, auf denen die Zahlen 1 bis 20 stehen. Um ein Spiel zu gewinnen, musst du 18 oder eine größere Zahl würfeln. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass du verlierst?

Lösung Aufgabe 1
Jedes Ergebnis hat eine Wahrscheinlichkeit von \frac{1}{20}. Die Ergebnisse 1 bis 17 bilden das Ereignis E: „verloren“.

E = \{1; 2; … ; 16; 17 \}

Das Gegenereignis ist der Sieg \overline{E}. Du gewinnst, wenn das Ergebnis 18, 19 oder 20 eintritt.

\overline{E} = \{18; 19; 20 \}

Da die Gegenwahrscheinlichkeit aus weniger Ergebnissen besteht, ist es leichter, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E über die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen.

P(E) = 1 - P(\overline{E})

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse 18, 19 und 20 bilden die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.

P(\overline{E}) = P(18) + P(19) + P(20) = \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{20} = \dfrac{3}{20}

Die Wahrscheinlichkeit, zu verlieren, beträgt somit:

P(E) = 1 - P(\overline{E}) = 1 - \dfrac{3}{20} = \dfrac{17}{20}

Aufgabe 2
Bei einem anderen Spiel gewinnst du, wenn du beim dreimaligen Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel mindestens einmal eine 1 würfelst. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen?

Lösung Aufgabe 2
Das Ereignis und das Gegenereignis sind in diesem Beispiel:

E: „mindestens eine 1 würfeln“
\overline{E}: „keine 1 würfeln“

Auch hier ist es leichter, zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Würfeln keine 1 zu würfeln, liegt bei \frac{5}{6}. Demnach beträgt die Gegenwahrscheinlichkeit:

P(\overline{E}) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{125}{216} \approx 0,\!58

Also liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, bei drei Würfen mindestens eine 1 zu würfeln, bei:

P(E) = 1 - P(\overline{E}) = 1 - \dfrac{125}{216} = \dfrac{91}{216} \approx 0,\!42

Häufig gestellte Fragen zum Thema Gegenwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gegenereignis \overline{E} zum Ereignis E eintritt, wird als Gegenwahrscheinlichkeit bezeichnet.

Das Gegenereignis \overline{E} zu einem Ereignis E umfasst alle Ergebnisse, die nicht im Ereignis E enthalten sind. Es ist also das Gegenteil von dem Ereignis E. Gemeinsam umfassen ein Ereignis und sein Gegenereignis immer die gesamte Ergebnismenge. Sie besitzen jedoch keine gemeinsamen Ergebnisse.

Ist das Ereignis das Würfeln einer geraden Zahl, dann ist das Gegenereignis das Würfeln einer ungeraden Zahl. Bei einem sechsseitigen Würfel umfasst dieses Ereignis die Zahlen 2, 4 und 6. Das Gegenereignis umfasst die Zahlen 1, 3 und 5.

Die Gegenwahrscheinlichkeit gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Ereignis nicht eintritt.

Die Gegenwahrscheinlichkeit ist die Differenz aus 1 und der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Sie berechnet sich also mit der Formel:
P(\overline{E}) = 1 - P(E)

Umfasst das Gegenereignis weniger Ergebnisse als ein Ereignis, kann es leichter sein, zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen. Mithilfe dieser Gegenwahrscheinlichkeit kann dann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet werden. Es gilt:
P(E) = 1 - P(\overline{E})

Das Gegenereignis wird genutzt, um das Nichteintreten eines Ereignisses zu beschreiben.

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