Gegenwahrscheinlichkeit und Gegenereignis – Mathe

Die Begriffe Ergebnis, Ereignis und Wahrscheinlichkeit sollten schon bekannt sein. Im Folgenden wird darauf eingegangen, was man unter den Begriffen Gegenereignis und Gegenwahrscheinlichkeit versteht.

Das Gegenereignis und das Ereignis bilden zusammen die Ergebnismenge und besitzen keine gemeinsamen Ergebnisse. Das Gegenereignis beschreibt somit das Gegenteil eines Ereignisses .
In mathematischer Schreibweise gilt:

• 
  Die Vereinigungsmenge von Ereignis und Gegenereignis ist die Ergebnismenge .
• 
  Die Schnittmenge von Ereignis und Gegenereignis ist leer.

Beispiel:
Betrachten wir einen Würfel. Es soll eine Zahl größer als gewürfelt werden. Das Ereignis ist dann: : „Zahl größer als würfeln“.
Das Gegenereignis ist dann, keine Zahl größer als zu würfeln: : „keine Zahl größer als würfeln“ „ oder kleiner würfeln“.

Als Gegenwahrscheinlichkeit wird die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass das Gegenereignis zu Ereignis eintritt. Das Gegenereignis (lies: quer) wird als nicht bezeichnet. Das Zeichen der Gegenwahrscheinlichkeit ist: .
Addiert ergeben die Wahrscheinlichkeit und die Gegenwahrscheinlichkeit immer beziehungsweise , mathematisch ausgedrückt:

Die Gegenwahrscheinlichkeit lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

Dabei ist:

• : die Gegenwahrscheinlichkeit
• . die Wahrscheinlichkeit
• : das Gegenereignis
• : ein Ereignis

Ein Ereignis und sein Gegenereignis bilden die Ergebnismenge . Gleiche Mengen haben gleiche Wahrscheinlichkeiten, deswegen gilt folgende Gleichung:

Die Wahrscheinlichkeit der Ergebnismenge beträgt immer . Es gilt also:

Aufgrund des Additionssatzes für Wahrscheinlichkeiten gilt:

Daraus lassen sich die folgenden Formeln umstellen:

Betrachten wir wieder das Beispiel mit einem Würfel.

: „Zahl größer als würfeln“
: „keine Zahl größer als würfeln“ „ oder kleiner würfeln“

Das Ereignis umfasst die vier Ergebnisse und . Das Gegenereignis umfasst die Ergebnisse und .

Die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Ergebnis beträgt . Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet sich als Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse.

Daraus lässt sich die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen mit:

Doch wann benutzt man das Gegenereignis und die Gegenwahrscheinlichkeit eigentlich?
Umfasst das Gegenereignis weniger Ergebnisse als das eigentliche Ereignis, kann es leichter sein, zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen. Mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit lässt sich dann auch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnen.
Im Beispiel mit dem Würfel wäre es etwas weniger aufwendig, zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen.

Im Anschluss lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses mit der folgenden Formel berechnen:

Zudem findet die Gegenwahrscheinlichkeit Anwendung bei bedingten Wahrscheinlichkeiten und der Vierfeldertafel. In der Formel für die Binomialverteilung wird die Gegenwahrscheinlichkeit ebenfalls verwendet. Zudem gilt die Aussage über die Gegenwahrscheinlichkeit, dass für alle Verteilungen, auch für die Normalverteilung, gilt.

Aufgabe 1
Du hast einen Würfel mit Seiten, auf denen die Zahlen bis stehen. Um ein Spiel zu gewinnen, musst du oder eine größere Zahl würfeln. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass du verlierst?

Lösung Aufgabe 1
Jedes Ergebnis hat eine Wahrscheinlichkeit von . Die Ergebnisse bis bilden das Ereignis : „verloren“.

Das Gegenereignis ist der Sieg . Du gewinnst, wenn das Ergebnis oder eintritt.

Da die Gegenwahrscheinlichkeit aus weniger Ergebnissen besteht, ist es leichter, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses über die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen.

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse , und bilden die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.

Die Wahrscheinlichkeit, zu verlieren, beträgt somit:

Aufgabe 2
Bei einem anderen Spiel gewinnst du, wenn du beim dreimaligen Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel mindestens einmal eine würfelst. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen?

Lösung Aufgabe 2
Das Ereignis und das Gegenereignis sind in diesem Beispiel:

: „mindestens eine würfeln“
: „keine würfeln“

Auch hier ist es leichter, zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Würfeln keine zu würfeln, liegt bei . Demnach beträgt die Gegenwahrscheinlichkeit:

Also liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, bei drei Würfen mindestens eine zu würfeln, bei: