Gegenwahrscheinlichkeit und Gegenereignis – Mathe
Inhaltsverzeichnis zum Thema Gegenwahrscheinlichkeit
Die Gegenwahrscheinlichkeit im Überblick
Gegenwahrscheinlichkeit – Erklärung
Die Begriffe Ergebnis, Ereignis und Wahrscheinlichkeit sollten schon bekannt sein. Im Folgenden wird darauf eingegangen, was man unter den Begriffen Gegenereignis und Gegenwahrscheinlichkeit versteht.
Gegenereignis – Stochastik
Das Gegenereignis und das Ereignis
bilden zusammen die Ergebnismenge
und besitzen keine gemeinsamen Ergebnisse. Das Gegenereignis beschreibt somit das Gegenteil eines Ereignisses
.
In mathematischer Schreibweise gilt:
Die Vereinigungsmenge von Ereignis und Gegenereignis ist die Ergebnismenge.
Die Schnittmenge von Ereignis und Gegenereignis ist leer.
Beispiel:
Betrachten wir einen Würfel. Es soll eine Zahl größer als gewürfelt werden. Das Ereignis ist dann:
: „Zahl größer als
würfeln“.
Das Gegenereignis ist dann, keine Zahl größer als zu würfeln:
: „keine Zahl größer als
würfeln“
„
oder kleiner würfeln“.
Gegenwahrscheinlichkeit – Definition
Als Gegenwahrscheinlichkeit wird die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass das Gegenereignis zu Ereignis
eintritt. Das Gegenereignis
(lies:
quer) wird als nicht
bezeichnet. Das Zeichen der Gegenwahrscheinlichkeit ist:
.
Addiert ergeben die Wahrscheinlichkeit und die Gegenwahrscheinlichkeit immer beziehungsweise
, mathematisch ausgedrückt:
Gegenwahrscheinlichkeit berechnen
Die Gegenwahrscheinlichkeit lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
Dabei ist:
: die Gegenwahrscheinlichkeit
. die Wahrscheinlichkeit
: das Gegenereignis
: ein Ereignis
Herleitung der Formel
Ein Ereignis und sein Gegenereignis bilden die Ergebnismenge . Gleiche Mengen haben gleiche Wahrscheinlichkeiten, deswegen gilt folgende Gleichung:
Die Wahrscheinlichkeit der Ergebnismenge beträgt immer
. Es gilt also:
Aufgrund des Additionssatzes für Wahrscheinlichkeiten gilt:
Daraus lassen sich die folgenden Formeln umstellen:
Gegenwahrscheinlichkeit – Beispiel berechnen
Betrachten wir wieder das Beispiel mit einem Würfel.
: „Zahl größer als
würfeln“
: „keine Zahl größer als
würfeln“
„
oder kleiner würfeln“
Das Ereignis umfasst die vier Ergebnisse und
. Das Gegenereignis umfasst die Ergebnisse
und
.
Die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Ergebnis beträgt . Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
berechnet sich als Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse.
Daraus lässt sich die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen mit:
Gegenwahrscheinlichkeit – Anwendung
Doch wann benutzt man das Gegenereignis und die Gegenwahrscheinlichkeit eigentlich?
Umfasst das Gegenereignis weniger Ergebnisse als das eigentliche Ereignis, kann es leichter sein, zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen. Mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit lässt sich dann auch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnen.
Im Beispiel mit dem Würfel wäre es etwas weniger aufwendig, zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen.
Im Anschluss lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses mit der folgenden Formel berechnen:
Zudem findet die Gegenwahrscheinlichkeit Anwendung bei bedingten Wahrscheinlichkeiten und der Vierfeldertafel. In der Formel für die Binomialverteilung wird die Gegenwahrscheinlichkeit ebenfalls verwendet. Zudem gilt die Aussage über die Gegenwahrscheinlichkeit, dass für alle Verteilungen, auch für die Normalverteilung, gilt.
Gegenwahrscheinlichkeit – Beispiele
Aufgabe 1
Du hast einen Würfel mit Seiten, auf denen die Zahlen
bis
stehen. Um ein Spiel zu gewinnen, musst du
oder eine größere Zahl würfeln. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass du verlierst?
Lösung Aufgabe 1
Jedes Ergebnis hat eine Wahrscheinlichkeit von . Die Ergebnisse
bis
bilden das Ereignis
: „verloren“.
Das Gegenereignis ist der Sieg . Du gewinnst, wenn das Ergebnis
oder
eintritt.
Da die Gegenwahrscheinlichkeit aus weniger Ergebnissen besteht, ist es leichter, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses über die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse ,
und
bilden die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.
Die Wahrscheinlichkeit, zu verlieren, beträgt somit:
Aufgabe 2
Bei einem anderen Spiel gewinnst du, wenn du beim dreimaligen Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel mindestens einmal eine würfelst. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen?
Lösung Aufgabe 2
Das Ereignis und das Gegenereignis sind in diesem Beispiel:
: „mindestens eine
würfeln“
: „keine
würfeln“
Auch hier ist es leichter, zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Würfeln keine zu würfeln, liegt bei
. Demnach beträgt die Gegenwahrscheinlichkeit:
Also liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, bei drei Würfen mindestens eine zu würfeln, bei:
Häufig gestellte Fragen zum Thema Gegenwahrscheinlichkeit