Der Satz vom Nullprodukt – Definition, Anwendung und Beispiele

erklärt: Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Erfahre, wie dieser Satz beim Lösen von Gleichungen und der Bestimmung von Nullstellen hilft. Du willst mehr erfahren? Dies und weitere Anwendungen findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Satz vom Nullprodukt

Der Satz vom Nullprodukt im Überblick

  • Der Satz vom Nullprodukt besagt: Ein Produkt ist dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.

  • Der Satz vom Nullprodukt ist ein Hilfsmittel zum Lösen von Gleichungen und bei der Bestimmung von Nullstellen.

  • Manchmal wird der Satz vom Nullprodukt auch kurz Nullproduktregel oder Nullproduktsatz genannt.

Satz vom Nullprodukt: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Der Satz vom Nullprodukt einfach erklärt

Wenn bei einem Produkt aus zwei Zahlen einer der beiden Faktoren die Zahl 0 ist, ist auch das Ergebnis 0. Zum Beispiel ist 5 \cdot 0 = 0 = 0 \cdot 5.
Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass auch die Umkehrung gilt. Das bedeutet, dass bei einem Produkt, das den Wert 0 hat, einer der Faktoren 0 sein muss.
Der Satz vom Nullprodukt gilt also unter der Voraussetzung, dass ein Produkt aus zwei Faktoren den Wert 0 hat.

Satz vom Nullprodukt – Definition

Allgemein lässt sich der Satz vom Nullprodukt als Formel definieren:

a \cdot b = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0 oder b = 0

Satz vom Nullprodukt

Satz vom Nullprodukt – Verallgemeinerung

Der Satz vom Nullprodukt kann auch auf Produkte mit mehr als zwei Faktoren angewendet werden. Hier muss mindestens einer der Faktoren des Produkts gleich 0 sein. Diese Verallgemeinerung gilt, da wir alle Faktoren, die ungleich 0 sind, zu einem Faktor zusammenfassen können.

Außerdem ist der Satz vom Nullprodukt auch auf Produkte aus Termen anwendbar.

Beispiel:

(x + 2) \cdot (2x - 6) \cdot (x - 1) \cdot x^2 = 0

Um die Lösungsmenge dieser Gleichung zu bestimmen, betrachten wir die Faktoren einzeln und bestimmen jeweils die Werte für x, mit denen die Faktoren 0 werden:

(x + 2) (2x - 5) (x - 1) x^2
\begin{array}{cccl}x + 2 & = & 0 & \vert -2 \\x & = & -2 & \end{array} \begin{array}{cccl}2x - 6 & = & 0 & \vert +6 \\2x & = & 6 & \vert : 2 \\ x & = & 3 & \end{array} \begin{array}{cccl}x - 1 & = & 0 & \vert +1 \\x & = & 1 & \end{array} x^2 = x \cdot x = 0
\Rightarrow ~ x = 0

Die Gleichung hat also die Lösungsmenge:
\mathbb{L} = \{-2; 0; 1; 3\}

Satz vom Nullprodukt – Anwendung

Den Nullproduktsatz können wir anwenden, wenn wir eine Gleichung auf die Form a \cdot b = 0 bringen können. Die 0 auf der rechten Seite der Gleichung tritt beispielsweise bei der Berechnung der Nullstellen einer Funktion auf, wenn wir den Funktionsterm gleich 0 setzen. Meist steht auf der linken Seite der Gleichung aber nicht direkt ein Produkt. Wenn wir allerdings einen Faktor ausklammern, können wir den Satz vom Nullprodukt wie gewohnt verwenden. Dazu betrachten wir im Folgenden ein Beispiel.

Der Satz vom Nullprodukt bei quadratischen Gleichungen

Gesucht ist die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung 3x = 2x^2.

Wir bringen zunächst alles auf eine Seite, indem wir 2x^2 subtrahieren:

3x - 2x^2 = 0

Nun hat die quadratische Gleichung die Form \dots = 0 und wir könnten eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen verwenden. Eine Abkürzung liefert der Satz vom Nullprodukt. Wir können auf der linken Seite der Gleichung ein x ausklammern:

x \cdot (3 - 2x) = 0

Nun wenden wir den Satz vom Nullprodukt an und betrachten die Faktoren auf der linken Seite einzeln:

x = 0 oder 3 - 2x = 0

Wir lösen die zweite Gleichung nach x auf:

\begin{array}{cccl} 3 - 2x & = & 0 & \vert -3 \\ -2x & = & -3 & \vert :(-2) \\ x & = & 1,5 & \end{array}

Damit erhalten wir die Lösungsmenge der Gleichung:
\mathbb{L} = \{0; 1,5\}

Häufig gestellte Fragen zum Satz vom Nullprodukt

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt mit Wert 0 mindest einen Faktor enthält, der 0 ist.

Der Satz vom Nullprodukt wird zum Lösen von Gleichungen genutzt. Eine häufige Anwendung ist dabei die Berechnung von Nullstellen. 

Der Satz vom Nullprodukt kann immer dann verwendet werden, wenn bei einer Gleichung auf einer Seite ein Produkt und auf der anderen 0 steht.
Diese Form kann auch zunächst durch Äquivalenzumformungen und Ausklammern von Faktoren erzeugt werden.

Wenn wir einen Term gleich null setzen, formulieren wir eine Gleichung. Bei dieser steht auf einer Seite der Term und auf der anderen 0.

Der Satz vom Nullprodukt erlaubt es, die Faktoren eines Produkts, das den Wert 0 hat, einzeln zu betrachten. Dadurch vereinfacht sich die zum Lösen der Gleichung notwendige Rechnung.

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