Koordinatensystem – Aufbau, Erklärung und Beispiele

Punkte und Figuren darstellen! Ein Koordinatensystem ermöglicht die Darstellung von Punkten in Quadranten. Lerne den Aufbau und die Notation von Koordinaten und entdecke, wie Punkte eingetragen und abgelesen werden. Interessiert? Dies und mehr im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Koordinatensystem

Koordinatensystem im Überblick

  • In einem Koordinatensystem können Punkte und ebene Figuren dargestellt werden.
  • Das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem besteht aus einer waagerechten x-Achse und einer senkrechten y-Achse.
  • Es wird durch die Koordinatenachsen in vier Quadranten unterteilt. Der Quadrant oben rechts heißt \text{I.} Quadrant, die weiteren Quadranten werden gegen den Uhrzeigersinn nummeriert.
  • Ein Punkt wird als Zahlenpaar dargestellt, wobei erst die x– und dann die y-Koordinate genannt wird: P(x\vert y)
Koordinatensystem: Lernvideo

Quelle: sofatutor.com

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Koordinatensystem – Einführung

In einem Koordinatensystem, auch kurz KOS oder KoSy, können Punkte und andere geometrische Objekte, wie Geraden, dargestellt werden. Einzelne Zahlen können wir auf einem Zahlenstrahl darstellen, auf dem Abstände zwischen zwei benachbarten Zahlen immer gleich groß sind.

Zahlenstrahl

Quelle sofatutor.com

Ein Zahlenstrahl veranschaulicht so einzelne Zahlen, es ist aber nicht möglich, ein Zahlenpaar darzustellen. Dazu wird zum Beispiel ein zweiter Zahlenstrahl für die zweite Zahl benötigt. Wenn wir mehrere Zahlen, auch Koordinaten, gleichzeitig darstellen können, sprechen wir von einem Koordinatensystem.
Das am häufigsten verwendete Koordinatensystem in Mathe ist das kartesische Koordinatensystem, bei dem ein zweiter Zahlenstrahl senkrecht zum ersten steht.
Im Folgenden wollen wir das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem genauer betrachten.

Aufbau eines Koordinatensystems

Das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem besteht aus einer x-Achse, die horizontal verläuft, und einer dazu orthogonalen, vertikalen y-Achse. Beide Achsen sehen dabei aus wie ein Zahlenstrahl. Der Pfeil der x-Achse zeigt nach rechts, der Pfeil der y-Achse nach oben, jeweils in die Richtung steigender Werte. Folgendes Bild zeigt ein kartesisches Koordinatensystem:

Koordinatensystem Bild

Der Schnittpunkt der beiden Achsen ist der Punkt (0 \vert 0). Er heißt Koordinatenursprung, oder kurz Ursprung.
Die x-Achse wird auch Abszisse oder Rechtsachse genannt, die y-Achse auch Ordinate oder Hochachse.
Wenn ein Koordinatensystem erstellt wird, darf nie die Beschriftung der Achsen vergessen werden. Wie bei einem Zahlenstrahl müssen auch hier kleine Striche in regelmäßigen Abständen gemacht und die entsprechenden Zahlen daran geschrieben werden.

Hinweis: Ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem hat zusätzlich eine z-Achse, die aus der Ebene heraus gezeichnet wird.

Die Quadranten im Koordinatensystem

Das Koordinatensystem ist in vier Quadranten unterteilt. Die Unterteilung erfolgt entlang der Koordinatenachsen.
Die Quadranten werden in der Regel, beginnend mit dem ersten Quadranten oben rechts, gegen den Uhrzeigersinn mit römischen Zahlen nummeriert. Die Position der einzelnen Quadranten siehst du hier:

Koordinatensystem Quadranten

Wir sehen auch, dass die Vorzeichen der Koordinaten sich in den Quadranten unterscheiden. Es gilt:

  • \text{I.} Quadrant: x > 0 und y > 0
  • \text{II.} Quadrant: x < 0 und y > 0
  • \text{III.} Quadrant: x < 0 und y < 0
  • \text{IV.} Quadrant: x > 0 und y < 0

Hinweis: Die Punkte auf den Koordinatenachsen werden keinem Quadranten zugeordnet, da hier eine der Koordinaten den Wert 0 hat.

Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und ablesen

Die Lage von Punkten im Koordinatensystem wird durch die folgende Notation eindeutig beschrieben:
P(x\vert y)
Der Punkt ist ein Zahlenpaar, bestehend aus zwei Koordinaten:

  • Die erste Zahl steht für die x-Koordinate des Punkts.
  • Die zweite Zahl steht für die y-Koordinate des Punkts.

Beispiel: P(2\vert 3)
Dies bedeutet, der Punkt P hat die x-Koordinate x_P = 2 und y-Koordinate y_P =3. Damit liegt er im \text{I.} Quadranten rechts oben, da beide Koordinaten positiv sind.

Punkt eintragen
Nun wollen wir diesen Punkt in ein Koordinatensystem eintragen. Dazu wird erst ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit einer waagerechten x-Achse und einer senkrechten y-Achse gezeichnet und beschriftet.

  1. Wir suchen x = 2 auf der x-Achse und zeichnen durch diese Stelle eine zur y-Achse parallele Gerade ein. Alle Punkte auf dieser Gerade haben den x-Wert 2.
  2. Dann zeichnen wir analog durch y=3 auf der y-Achse eine zur x-Achse parallele Gerade ein.
  3. Diese beiden Geraden schneiden sich im Punkt P(2\vert 3), den wir mit Farbe oder einem Kreuz markieren.
P(2\vert 3)

Punkt ablesen
Ist ein Punkt im Koordinatensystem eingetragen, können die Koordinaten abgelesen werden.

  1. Die x-Koordinate entspricht dem x-Wert, bei dem eine zur y-Achse parallele Gerade durch den Punkt die x-Achse schneidet.
  2. Analog ist die y-Koordinate des Punkts gleich dem y-Wert, bei dem eine zur x-Achse parallele Gerade durch den Punkt die y-Achse schneidet.

Schauen wir uns dazu folgendes Beispiel an. Die Koordinaten des grünen Punkts sollen ermittelt werden:

Punkt ablesen aus Koordinatensystem

Wir können für den x-Wert die 3 und für den y-Wert die Zahl 6 ablesen. Der Punkt liegt also bei:
P(3\vert 6)

Hinweis: Das Einzeichnen der Geraden ist zum Einzeichnen und Ablesen von Punkten nicht zwingend erforderlich. Du kannst dich zum Beispiel auch an den Kästchen in deinem Heft orientieren oder ein Lineal oder Geodreieck anlegen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Koordinatensystem

In einem Koordinatensystem können Punkte (Zahlenpaare) (x\vert y) dargestellt werden. Das kartesische Koordinatensystem besteht aus einer x-Achse und y-Achse, die orthogonal zueinander stehen.

Ein zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem besteht aus der waagerechten x-Achse und der senkrechten y-Achse, die beide aussehen wie ein Zahlenstrahl. Sie stehen senkrecht aufeinander und schneiden sich im Koordinatenursprung.

Ein Punkt in einem Koordinatensystem wird wie folgt angegeben: P = (x\vert y). Das bedeutet, die erste Zahl entspricht der x-Koordinate und die zweite Zahl entspricht der y-Koordinate des Punkts.

Um einen Punkt aus dem Koordinatensystem abzulesen, gehe wie folgt vor:

  1. Zeichne eine zur y-Achse parallele Gerade durch den Punkt. Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist die x-Koordinate.
  2. Zeichne eine zur x-Achse parallele Gerade durch den Punkt. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist die y-Koordinate.

Schreibe den Punkt als Zahlenpaar auf P(x \vert y).

Ein kartesisches Koordinatensystem wird gezeichnet, indem die x-Achse waagerecht von links nach rechts gezeichnet wird, und die y-Achse in einem rechten Winkel dazu senkrecht nach oben. Der Schnittpunkt der beiden Achsen ist der Ursprung des Koordinatensystems. Beide Achsen müssen gleichmäßig beschriftet werden.

Es wird zunächst die x– und dann die y-Koordinate genannt:
P(x \vert y)

Die x-Achse liegt waagerecht, sie zeigt von links nach rechts.

Die x-Achse verläuft von links nach rechts. Die y-Achse verläuft von unten nach oben. Die beiden Achsen stehen in einem rechten Winkel zueinander und schneiden sich im Ursprung des Koordinatensystems.

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