Orthogonalität – Definition und Erklärung
Orthogonalität in Mathe bedeutet Objekte, die in einem rechten Winkel zueinander stehen, wie Geraden oder Vektoren. Du erfährst, wie man die Orthogonalität prüft, und welche Methoden es gibt, um sie zu bestimmen.
Inhaltsverzeichnis zum Thema Orthogonalität
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Orthogonalität – Definition
Das Wort orthogonal bedeutet, dass zwei Dinge in einem rechten Winkel zueinander stehen. Dafür werden auch die Begriffe senkrecht, lotrecht und normal verwendet. In Mathe wird die Orthogonalitätsbedingung vor allen Dingen bei den Themen Geraden und Vektoren benötigt.
Orthogonalität von Geraden
Wenn du zwei Geraden und
zeichnest, können diese unterschiedlich zueinander liegen. Sie können aufeinanderliegen, also identisch sein (
), sie können parallel zueinander sein (
) oder sich schneiden. Wenn sich zwei Geraden schneiden, gibt es den Sonderfall, dass die beiden Geraden in einem
– Winkel aufeinander stehen. Das wird dann als orthogonal zueinander bezeichnet (
). Folgendes Bild zeigt orthogonale Geraden, parallele Geraden sowie sich schneidende Geraden.

Um orthogonale Geraden zu zeichnen, müssen sie sich in einem Punkt schneiden und dort einen rechten Winkel einschließen.
Das mathematische Symbol für orthogonal ist . Ist
orthogonal zu
, muss auch
orthogonal zu
sein:
Außerdem ist orthogonal zu allen Geraden
, die parallel zu
sind:
und
Und alle Geraden, die orthogonal zu sind, verlaufen parallel zu
:
und
Orthogonalität zweier Geraden prüfen
- Geometrisch kannst du überprüfen, ob zwei Geraden orthogonal sind, indem du den Winkel misst, den sie einschließen. Ist dieser
, sind sie orthogonal zueinander.
- Du hast die Geraden als Funktionsgleichungen gegeben:
mit der Steigung
und
-Achsenabschnitt
und
mit der Steigung
und
-Achsenabschnitt
Die Geraden stehen orthogonal, wenn ihre Steigungen multipliziertergeben:
- Du hast die Geraden als Geradengleichungen in der Parameterform gegeben:
mit Stützvektorund Richtungsvektor
und
mit Stützvektorund Richtungsvektor
Die Orthogonalität der beiden Geraden kannst du nachweisen, indem du das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnest. Ist das Ergebnis, dann sind die Richtungsvektoren und somit die Geraden orthogonal:
Orthogonalität von Vektoren
In der analytischen Geometrie wird mit Vektoren gerechnet. Diese können auch orthogonal zueinander sein. Um zwei Vektoren und
auf Orthogonalität zu prüfen, muss folgende Orthogonalitätsbedingung untersucht werden:
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss also null ergeben.
Beispiel:
Gegeben sind die Vektoren in der Matrix-Schreibweise und
.
Um die Orthogonalität zu beweisen, wird das Skalarprodukt berechnet. Dafür werden die beiden Vektoren und
komponentenweise multipliziert und die Ergebnisse addiert:
Somit stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.
Zusammenfassung zur Orthogonalität
Zwei Geraden oder Vektoren stehen orthogonal zueinander, wenn sie einen rechten Winkel einschließen. Zur Überprüfung der Orthogonalität zweier Geraden kannst du verschiedene Methoden anwenden, je nachdem was genau du gegeben hast. Folgende Tabelle gibt dir hierzu eine Übersicht:
Zusammenfassung | |
---|---|
Geometrisch | Nachmessen mit Geodreieck: Schließen die Geraden einen ![]() |
Lineare Funktionsgleichung | Die beiden Steigungen der Geraden multipliziert müssen ![]() ![]() |
Parameterform | Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren muss ![]() ![]() |
Häufig gestellte Fragen zum Thema Orthogonalität
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