Orthogonalität – Definition und Erklärung

Orthogonalität in Mathe bedeutet Objekte, die in einem rechten Winkel zueinander stehen, wie Geraden oder Vektoren. Du erfährst, wie man die Orthogonalität prüft, und welche Methoden es gibt, um sie zu bestimmen.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Orthogonalität

Orthogonalität im Überblick

  • Zwei Geraden g und h sind orthogonal, wenn sie einen 90^\circ-Winkel einschließen. Mathematisch wird diese Eigenschaft so dargestellt:
    g \perp h

  • Andere Begriffe für orthogonal sind zum Beispiel senkrecht, lotrecht und normal.
  • Zur Überprüfung der Orthogonalität gibt es drei Möglichkeiten:
    1. Eingeschlossenen Winkel messen
    2. Steigungswerte von Geraden multiplizieren: m_g \cdot m_h = -1 ~ \Leftrightarrow ~ g \perp h
    3. Skalarprodukt von Vektoren: \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 ~ \Leftrightarrow ~ \vec{a} \perp \vec{b}

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Quelle sofatutor.com

Orthogonalität – Definition

Das Wort orthogonal bedeutet, dass zwei Dinge in einem rechten Winkel zueinander stehen. Dafür werden auch die Begriffe senkrecht, lotrecht und normal verwendet. In  Mathe wird die Orthogonalitätsbedingung vor allen Dingen bei den Themen Geraden und Vektoren benötigt.

Orthogonalität von Geraden

Wenn du zwei Geraden g und h zeichnest, können diese unterschiedlich zueinander liegen. Sie können aufeinanderliegen, also identisch sein (g=h), sie können parallel zueinander sein (g \parallel h) oder sich schneiden. Wenn sich zwei Geraden schneiden, gibt es den Sonderfall, dass die beiden Geraden in einem 90^\circ– Winkel aufeinander stehen. Das wird dann als orthogonal zueinander bezeichnet (g \perp h). Folgendes Bild zeigt orthogonale Geraden, parallele Geraden sowie sich schneidende Geraden.

Lagebeziehungen von Geraden

Um orthogonale Geraden zu zeichnen, müssen sie sich in einem Punkt schneiden und dort einen rechten Winkel einschließen.
Das mathematische Symbol für orthogonal ist \perp. Ist g orthogonal zu h, muss auch h orthogonal zu g sein:
g \perp h ~ \Leftrightarrow ~ h\perp g
Außerdem ist g orthogonal zu allen Geraden k, die parallel zu h sind:
g \perp h und k \parallel h ~ \Rightarrow ~ g \perp k
Und alle Geraden, die orthogonal zu g sind, verlaufen parallel zu h:
g \perp h und g \perp k ~ \Rightarrow ~ h \parallel k

Orthogonalität zweier Geraden prüfen

  1. Geometrisch kannst du überprüfen, ob zwei Geraden orthogonal sind, indem du den Winkel misst, den sie einschließen. Ist dieser 90^\circ, sind sie orthogonal zueinander.
  2. Du hast die Geraden als Funktionsgleichungen gegeben:
    g(x) = m_g\cdot x + b_g mit der Steigung m_g und y-Achsenabschnitt b_g und h(x) = m_h\cdot x + b_h mit der Steigung m_h und y-Achsenabschnitt b_h
    Die Geraden stehen orthogonal, wenn ihre Steigungen multipliziert -1 ergeben:
    m_g \cdot m_h = -1 ~ \Leftrightarrow ~ g \perp h
  3. Du hast die Geraden als Geradengleichungen in der Parameterform gegeben:
    g: \vec{X} = \vec{a} + r \cdot \vec{u}
    mit Stützvektor \vec{a} und Richtungsvektor \vec{u}
    und h: \vec{X} = \vec{b} + r \cdot \vec{v}
    mit Stützvektor \vec{b} und Richtungsvektor \vec{v}
    Die Orthogonalität der beiden Geraden kannst du nachweisen, indem du das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnest. Ist das Ergebnis 0, dann sind die Richtungsvektoren und somit die Geraden orthogonal:
    \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 ~ \Leftrightarrow ~ g \perp h

Orthogonalität von Vektoren

In der analytischen Geometrie wird mit Vektoren gerechnet. Diese können auch orthogonal zueinander sein. Um zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} auf Orthogonalität zu prüfen, muss folgende Orthogonalitätsbedingung untersucht werden:
\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 ~ \Leftrightarrow ~ g \perp h
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss also null ergeben.
Beispiel:

Gegeben sind die Vektoren in der Matrix-Schreibweise \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 0\end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -4\\ 2\\ 0\end{array}\right).
Um die Orthogonalität zu beweisen, wird das Skalarprodukt berechnet. Dafür werden die beiden Vektoren \vec{a} und \vec{b} komponentenweise multipliziert und die Ergebnisse addiert:
\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-4) + 2\cdot 2 + 0 \cdot 0 = -4 + 4 + 0 = 0
Somit stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

Zusammenfassung zur Orthogonalität

Zwei Geraden oder Vektoren stehen orthogonal zueinander, wenn sie einen rechten Winkel einschließen. Zur Überprüfung der Orthogonalität zweier Geraden kannst du verschiedene Methoden anwenden, je nachdem was genau du gegeben hast. Folgende Tabelle gibt dir hierzu eine Übersicht:

Zusammenfassung
Geometrisch Nachmessen mit Geodreieck:
Schließen die Geraden einen 90^\circ-Winkel ein?
Lineare Funktionsgleichung Die beiden Steigungen der Geraden multipliziert müssen -1 ergeben:
m_g \cdot m_h = -1
Parameterform Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren muss 0 ergeben:
\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

Häufig gestellte Fragen zum Thema Orthogonalität

Der Begriff Orthogonalität wird in der Geometrie verwendet. Zwei geometrische Objekte werden orthogonal genannt, wenn sie in einem 90^\circ-Winkel zueinander stehen.

Das Wort orthogonal setzt zwei Dinge in Beziehung. Im mathematischen Sinne sind dies häufig Geraden. Geraden sind orthogonal, wenn sie einen 90^\circ-Winkel einschließen.

Die Begriffe orthogonal und senkrecht auf sind Synonyme, die im mathematischen Zusammenhang dieselbe Bedeutung haben. Dabei wird orthogonal umgangssprachlich kaum verwendet. Das Wort stammt vom Griechischen ὀρθός (orthos), was gerade, aufrecht oder richtig bedeutet.

Orthogonal nennt man umgangssprachlich auch häufig senkrecht. Orthogonal sind Geraden, wenn sie senkrecht aufeinander stehen, also einen 90^\circ-Winkel einschließen.

Als Orthogonale (auch Normale) bezeichnet man eine Gerade, die senkrecht bzw. orthogonal zu einer anderen Geraden steht.

Zwei Geraden g und h sind orthogonal, wenn sie einen 90^\circ-Winkel einschließen. Dies ist der Fall, wenn die Steigungen der beiden Geraden multipliziert -1 ergeben:
m_g \cdot m_h = -1

Eine lineare Funktion ist eine Gerade. Geraden sind orthogonal, wenn die Steigungen der Geraden multipliziert -1 ergeben:
m_g \cdot m_h = -1

Zwei Vektoren stehen orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt:
\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

Um zu prüfen, ob zwei Vektoren orthogonal sind, wird das Skalarprodukt gebildet. Ist dieses null, sind die Vektoren orthogonal:
\vec{a} \cdot \vec{b} = 0
Die Orthogonalität zweier Geraden kann so über das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren geprüft werden, wenn sie in Parameterform gegeben sind. Bei Vorliegen der linearen Funktionsgleichungen werden die beiden Steigungen multipliziert. Ist das Produkt -1, sind die Geraden orthogonal:
m_g \cdot m_h = -1

Ist ein Vektor \vec{a} gegeben und ein dazu orthogonaler Vektor \vec{b} gesucht, dann sind die Einträge des Vektors \vec{b} so zu wählen, dass er im Skalarprodukt mit Vektor \vec{a} null ergibt:
\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

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