Kettenregel – Formel, Herleitung und Beispiele

Inhaltsverzeichnis zum Thema Kettenregel

Die Kettenregel im Überblick

  • Die Kettenregel ist in Mathe eine Ableitungsregel für verkettete Funktionen.

  • Die Ableitung einer Funktion f(x) = u\bigl(v(x)\bigr) lautet nach der Kettenregel:

    f^\prime(x) = u^\prime\bigl(v(x)\bigr) \cdot v^\prime(x)

  • Bei komplizierten Funktionstermen kann die Kettenregel auch in Verbindung mit anderen Ableitungsregeln wie der Produkt- oder Quotientenregel angewendet werden.
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Quelle sofatutor.com

Kettenregel einfach erklärt

Die Kettenregel ist in der Mathematik eine wichtige Regel in der Differenzialrechnung. Sie dient zur Bestimmung der Ableitung von verketteten Funktionen. Die Kettenregel wird also bei der Kurvendiskussion von verketteten Funktionen benötigt.

Verkettete Funktion:
Bei einer verketteten Funktion werden zwei (oder mehr) Funktionsvorschriften hintereinander ausgeführt. Dabei wird die zuerst angewandte Funktion als innere Funktion v bezeichnet, die zuletzt ausgeführte Funktion heißt äußere Funktion u. Für die verkettete Funktion f schreiben wir dann:

f(x) = u\bigl(v(x)\bigr)

verkettete Funktion Definition

Kettenregel:

Die Kettenregel zum Ableiten verketteter Funktionen lautet:

f(x) = u\bigl(v(x)\bigr) \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = u^\prime\bigl(v(x)\bigr) \cdot v^\prime(x)

Die Ableitung wird in zwei Schritten gebildet:

  • Ableiten der äußeren Funktion mit der unveränderten inneren Funktion liefert den Term u^\prime\bigl(v(x)\bigr).
  • Dieser wird dann mit der Ableitung der inneren Funktion v^\prime(x) multipliziert. Dieser Schritt wird auch Nachdifferenzieren genannt.

Beispiele:

  • f(x) = e^{x^2 + 1}
    äußere Funktion: u(x) = e^x \quad \rightarrow \quad u^\prime(x) = e^x
    innere Funktion: v(x) = x^2 + 1 \quad \rightarrow \quad v^\prime(x) = 2x
    f^\prime(x) = u^\prime\bigl(v(x)\bigr) \cdot v^\prime(x) = \underbrace{e^{\overbrace{x^2 + 1}^{v(x)}}}_{u^\prime\bigl(v(x)\bigr)} \cdot \underbrace{2x}_{v^\prime(x)}
  • f(x) = (3x^2 + 5x)^3
    äußere Funktion: u(x) = x^3 \quad \rightarrow \quad u^\prime(x) = 3x^2
    innere Funktion: v(x) = 3x^2 + 5x \quad \rightarrow \quad v^\prime(x) = 6x + 5
    f^\prime(x) = u^\prime\bigl(v(x)\bigr) \cdot v^\prime(x) = \underbrace{3(\overbrace{3x^2 + 5}^{v(x)})^2}_{u^\prime\bigl(v(x)\bigr)} \cdot \underbrace{(6x + 5)}_{v^\prime(x)}

Herleitung der Kettenregel

Wir wollen nun die allgemeine Gültigkeit der Kettenregel durch eine Herleitung über den Differenzialquotienten zeigen.

Die Ableitung der Funktion f(x) = u\bigl(v(x)\bigr) an der Stelle x_0 lautet mit dem Differenzialquotienten:

f^\prime(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{u\bigl(v(x)\bigr) - u\bigl(v(x_0)\bigr)}{x - x_0}

Erweitern des Bruchs mit v(x) - v(x_0) liefert die Kettenregel:

\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\Bigl[u\bigl(v(x)\bigr) - u\bigl(v(x_0)\bigr)\Bigr] \cdot \Bigl[v(x) - v(x_0)\Bigr]}{\Bigl[x - x_0\Bigr] \cdot \Bigl[v(x) - v(x_0)\Bigr]} = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{u\bigl(v(x)\bigr) - u\bigl(v(x_0)\bigr)}{v(x) - v(x_0)} \cdot \dfrac{v(x) - v(x_0)}{x - x_0} = u^\prime\bigl(v(x)\bigr) \cdot v^\prime(x)

Anwendung der Kettenregel

Im Folgenden betrachten wir einige Beispiele für die Anwendung der Kettenregel bei verschiedenen Funktionstypen.

Kettenregel bei Wurzeln

Wir schreiben im ersten Schritt die Wurzel als Exponent und wenden dann die Kettenregel an.

f(x) = \sqrt{x^3 - 7} = (x^3 - 7)^{0,5}

u(x) = x^{0,5} \quad \rightarrow \quad u^\prime(x) = 0,5x^{-0,5}
v(x) = x^3 - 7 \quad \rightarrow \quad v^\prime(x) = 3x^2

f^\prime(x) = 0,5 (x^3 - 7)^{-0,5} \cdot 3x^2 = \dfrac{1,5x^2}{\sqrt{x^3 - 7}}

 Kettenregel bei verknüpften Funktionen mit Exponentialfunktionen

Wir betrachten die Funktion f mit f(x) = xe^{-2x}. Für die Ableitung dieses Produkts aus einer ganzrationalen Funktion und einer e-Funktion werden die Produkt- und Kettenregel benötigt:

Der Funktionsterm ist ein Produkt aus:

  • g(x) = x mit g^\prime(x) = 1
  • h(x) = e^{-2x} mit h^\prime(x) = \underbrace{e^{-2x}}_{u^\prime\bigl(v(x)\bigr)} \cdot \underbrace{(-2)}_{v^\prime(x)} nach der Kettenregel

Wir erhalten:

f^\prime(x) = g^\prime(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h^\prime(x) = 1 \cdot e^{-2x} + x \cdot (-2e^{-2x}) = e^{-2x} (1 - 2x)

Kettenregel beim Logarithmus

Auch bei Logarithmusfunktionen wird häufig die Kettenregel für die Ableitung benötigt. Wir betrachten die folgende Funktion:

f(x) = \ln(x^5 + 3)

Hier ist die äußere Funktion u der natürliche Logarithmus mit der Ableitung u^\prime(x) = \frac{1}{x}. Die innere Funktion ist v(x) = x^5 + 3 mit der Ableitung v^\prime(x) = 5x^4.

Wir erhalten als Ableitung:

f^\prime(x) = \dfrac{1}{x^5 + 3} \cdot 5x^4 = \dfrac{5x^4}{x^5 + 3}

Kettenregel und Stammfunktion

Eine umgekehrte Anwendung der Kettenregel kann bei der Integration (umgangssprachlich auch aufleiten) von bestimmten Funktionen helfen.

Wir haben im letzten Beispiel gesehen, dass wir durch Anwendung der Kettenregel bei der \ln-Funktion Brüche erhalten, bei denen im Zähler die Ableitung des Nenners steht. Daraus lässt sich die folgende Integrationsregel ableiten:
\int \dfrac{f^\prime(x)}{f(x)}~\text{d}x = \ln \vert f(x) \vert + C

Auch bei der natürlichen Exponentialfunktion erhalten wir durch allgemeine Betrachtung folgende Integrationsregel als Umkehrung der Kettenregel:
\int f^\prime(x) \cdot e^{f(x)}~\text{d}x = e^{f(x)} + C

Ableitungsregeln im Überblick

Die folgende Tabelle fasst die wichtigsten Ableitungsregeln zusammen:

Name Funktion f(x) Ableitung f^prime(x)
Faktorregel k \cdot v(x) k \cdot v^\prime(x)
Summenregel u(x) + v(x) u^\prime(x) + v^\prime(x)
Kettenregel u\bigl(v(x)\bigr) u^\prime\bigl(v(x)\bigr) \cdot v^\prime(x)
Produktregel u(x) \cdot v(x) u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x)
Quotientenregel \dfrac{u(x)}{v(x)} \dfrac{u^\prime(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v^\prime(x)}{\bigl[v(x)\bigr]^2}

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kettenregel

Die Kettenregel wird beim Ableiten von verketteten Funktionen genutzt.

Dass für die Ableitung einer Funktion die Kettenregel benötigt wird, erkennen wir daran, dass der Funktionsterm zwei Funktionsvorschriften enthält, die nacheinander ausgeführt werden. Zum Beispiel muss bei f(x) = \sin(2x + 3) zuerst die lineare Funktion 2x + 3 (innere Funktion) ausgewertet werden. Auf das Ergebnis wird dann die Sinusfunktion (äußere Funktion) angewendet.

Die Kettenregel ist eine Ableitungsregel für verkettete Funktionen.

Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung einer verketteten Funktion gebildet wird, indem wir die äußere Funktion ableiten, die innere Funktion bleibt dabei als Argument unverändert. Anschließend muss nachdifferenziert werden. Das bedeutet, wir multiplizieren mit der Ableitung der inneren Funktion.

Die Kettenregel für die Ableitung einer Funktion f(x) = u\bigl(v(x)\bigr) lautet:
f^\prime(x) = u^\prime\bigl(v(x)\bigr) \cdot v^\prime(x)

Die Kettenregel gilt allgemein, wenn die Ableitung einer verketteten Funktion gebildet wird.

Die Anwendung der Kettenregel zur Ableitung von f(x) = u\bigl(v(x)\bigr) erfolgt in drei Schritten:

  • Äußere Funktion u und innere Funktion v identifizieren
  • Ableitungen u^\prime und v^\prime bilden
  • In die Formel für die Ableitung f^\prime(x) = u^\prime\bigl(v(x)\bigr) \cdot v^\prime(x) einsetzen

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