Flächeninhalt berechnen – Mathe

Lerne, was der Flächeninhalt einer Figur ist und wie er berechnet wird. Entdecke Formeln für Quadrat, Rechteck, Dreieck und Kreis sowie spezielle Fälle. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Flächeninhalt

Wie wird der Flächeninhalt eines Quadrats berechnet?

Frage 1 von 5

Wie wird der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet?

Frage 2 von 5

Wie wird der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet?

Frage 3 von 5

Wie wird der Flächeninhalt eines Kreises berechnet?

Frage 4 von 5

Wie kann die Fläche von zusammengesetzten Flächen bestimmt werden?

Frage 5 von 5

Flächeninhalt im Überblick

  • Als Flächeninhalt wird die von einer Figur eingeschlossene Fläche bezeichnet.
  • In Mathe werden Flächeninhalte meist mit dem Buchstaben A bezeichnet.
  • Die Berechnung des Flächeninhalts hängt von der Form der Figur ab.
Flächeninhalt: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Flächeninhalt – Definition

Die Fläche, die durch den Rand einer geometrischen Figur eingeschlossen wird, ist der Flächeninhalt.
Geometrische Figuren sind zum Beispiel Dreiecke, Kreise und Rechtecke. Aber auch komplizierte zusammengesetzte Formen besitzen einen Flächeninhalt, den wir berechnen können.
Beachte: Flächen sind immer zweidimensional. Das heißt, sie besitzen keine Höhe. Flächen haben nur eine Länge und eine Breite.

Das Zeichen für den Flächeninhalt ist in der Mathematik ein A. Die Einheit des Flächeninhalts ist eine Längeneinheit ins Quadrat gesetzt, so zum Beispiel Quadratmeter oder Quadratzentimeter. Das schreiben wir als \text{m}^2 und \text{cm}^2. Bei diesen Einheiten spricht man auch vom Flächenmaß.

Flächeninhalt einer Figur berechnen

Die Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts hängen von der Form der Figuren ab. Einige der wichtigsten Formen schauen wir uns im Folgenden genauer an.

Flächeninhalt berechnen – Quadrat

Den Flächeninhalt A eines Quadrats berechnen wir mit der Formel:

A = a \cdot a = a^2

Dabei ist a die Seitenlänge des Quadrats. Alle Seiten des Quadrats sind immer gleich lang.

Beispiel:
Betrachten wir ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 5~\text{cm}. Der Flächeninhalt des Quadrats ist dann:

A = 5~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} = 25~\text{cm}^2

Flächeninhalt berechnen – Rechteck

Um den Flächeninhalt A von einem Rechteck zu berechnen, nutzen wir die Formel:

A = a \cdot b

Dabei sind a und b die Seitenlängen des Rechtecks. Die gegenüberliegenden Seiten im Rechteck sind immer parallel und gleich lang.

Beispiel:
Betrachten wir ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 3~\text{cm} und b = 5~\text{cm}. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist dann:

A = 3~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} = 15~\text{cm}^2

Flächeninhalt berechnen – Dreieck

Den Flächeninhalt A eines Dreiecks berechnen wir mit der Formel:

A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g

Dabei ist g eine der drei Seiten des Dreiecks. Die dazugehörige Höhe ist h_g.

Dreieck Flächeninhalt über Höhe berechnen

Beispiel:
Betrachten wir ein Dreieck mit der Seitenlänge c = 7~\text{cm} und der dazugehörigen Höhe h_c = 4~\text{cm}. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist dann:

A = \dfrac{1}{2} \cdot 7~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} = 14~\text{cm}^2

rechtwinkliges Dreieck
Um den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, können wir auch eine andere Formel verwenden.

A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b

Dabei sind a und b die am rechten Winkel anliegenden Seiten (Katheten).

Flächeninhalt berechnenKreis

Den Flächeninhalt A eines Kreises berechnen wir mit der Formel:

A = \pi \cdot r^2

Dabei ist r der Radius des Kreises. Die Kreiszahl \pi (Pi) ist fest definiert und ungefähr 3,\!14. Ist statt des Radius nur der Durchmesser d gegeben, dann lautet die Formel:

A = \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2

Beispiel:
Betrachten wir einen Kreis mit einem Radius von r = 6~\text{cm}. Der Flächeninhalt des Kreises ist dann:

A = \pi \cdot (6~\text{cm})^2 \approx 113,\!1\,\text{cm}^2

Flächeninhalte weiterer Formen berechnen

Die folgende Tabelle zeigt die Berechnung des Flächeninhalts weiterer geometrischer Formen.

Geometrische Form Flächeninhalt Formel Bedeutung der Größen
Parallelogramm A = a \cdot h_a a: eine der Seitenlängen
a_h: Abstand zur gegenüberliegenden Seite
Trapez A = \dfrac{1}{2} \cdot (a + c) cdot h a und c: gegenüberliegende, parallele Seiten
h: Abstand zwischen a und c
Raute A = a \cdot h a: Seitenlänge (alle Seiten sind gleich lang)
h: Abstand zwischen zwei parallelen Seiten
regelmäßiges Sechseck A = \dfrac{3 \cdot \sqrt{3} \cdot a^2}{2} a: Seitenlänge (alle sechs Seiten sind gleich lang)
Drachenviereck A = \dfrac{1}{2} \cdot e \cdot f e und f: Diagonalen (stehen senkrecht aufeinander)

In den meisten Formeln spielt die Seitenlänge eine Rolle. Bei diesen Figuren kann dann umgekehrt auch die Seitenlänge aus dem Flächeninhalt berechnet werden. Dafür können die Formeln so umgestellt werden, dass die Seitenlänge allein auf einer Seite der Gleichung steht.

Flächeninhalt zusammengesetzter Flächen bestimmen

Zusammengesetzte Flächen setzen sich aus verschiedenen geometrischen Formen zusammen. Um den Flächeninhalt zusammengesetzter Flächen zu berechnen, gehen wir so vor:

  • Schritt 1: zusammengesetzte Fläche in bekannte Formen zerlegen
  • Schritt 2: Flächeninhalt der einzelnen Formen berechnen
  • Schritt 3: alle berechneten Teilflächen addieren

Beispiel:
Betrachten wir die folgende Figur.

Zusammengesetzte Figur Flächeninhalt berechnen

Sie besteht aus drei Teilen. Wir berechnen also zuerst die einzelnen Flächeninhalte. Ein Kästchen hat die Breite 1~\text{cm}. Die einzelnen Flächeninhalte sind:

Quadrat oben: A_1 = 2~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} = 4~\text{cm}^2
Quadrat rechts: A_2 = 2~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} = 4~\text{cm}^2
Rechteck: A_3 = 5~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} = 20~\text{cm}^2

Jetzt können wir alle drei Flächeninhalte addieren und so den Gesamtflächeninhalt ausrechnen:

A_{gesamt} = 4~\text{cm}^2 + 4~\text{cm}^2 + 20~\text{cm}^2 = 28~\text{cm}^2

Häufig gestellte Fragen zum Thema Flächeninhalt

Der Flächeninhalt ist die Größe der Fläche, die von einer Figur eingeschlossen wird.

Ist der Durchmesser d gegeben, dann können wir den Flächeninhalt eines Kreises mit der Formel A = \pi \cdot (\frac{d}{2})^2 berechnen.

Zuerst zerlegen wir die zusammengesetzten Flächen in uns bekannte Flächen. Dann können wir die Flächeninhalte der Teilflächen einzeln berechnen. Zuletzt addieren wir alle berechneten Flächeninhalte der Teilflächen und erhalten den gesamten Flächeninhalt.

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