Würfel in der Geometrie – Definition, Eigenschaften und Formeln

Entdecke die Definition und Eigenschaften dieses dreidimensionalen Körpers. Erfahre alles über Ecken, Kanten, Flächen, Diagonalen, Volumen und Symmetrien des Würfels. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Würfel Geometrie

Würfel in der Geometrie – Definition und Eigenschaften
Ecken, Kanten und Flächen
Flächendiagonalen und Raumdiagonalen
Kantenlänge
Flächendiagonale
Raumdiagonale oder Körperdiagonale
Grundfläche und Oberfläche
Volumen
Zusammenfassung – Eigenschaften eines Würfels
Symmetrien des Würfels
Häufig gestellte Fragen zum Thema Würfel

Würfel im Überblick

Ein Würfel ist ein Körper im dreidimensionalen Raum. Er hat zwölf Eckpunkte, acht Kanten und sechs Flächen.
Die Begrenzungsflächen eines Würfels sind sechs Quadrate. Sie bilden zusammen die Oberfläche des Würfels.
Den Flächeninhalt $O_\Box$ der Oberfläche berechnest du mit der Formel $O_\Box = 6a^2$ . Hierbei ist $a$ die Kantenlänge des Würfels.
Der Rauminhalt eines Würfels ist sein Volumen $V_\Box$ . Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $a$ berechnest du mit der Formel $V_\Box = a^3$ .

Quelle sofatutor.com

Würfel in der Geometrie – Definition und Eigenschaften

In diesem Abschnitt werden Würfel in der Geometrie einfach erklärt. Wir schauen uns die Eckpunkte, Kanten und Flächen des Würfels sowie seine Diagonalen an. Und wir erklären verständlich, wie du Oberfläche und Volumen des Würfels berechnest. Der Würfel ist ein Körper, das bedeutet, er ist dreidimensional. Du kannst einen Würfel nicht zusammendrücken, sodass er in dein Heft passt.

Ecken, Kanten und Flächen

Ein Würfel hat acht Eckpunkte, zwölf Kanten und sechs Flächen.
Die Kanten des Würfels haben alle die gleiche Länge.
Die Flächen des Würfels sind Quadrate. Sie sind alle deckungsgleich zueinander.

Flächendiagonalen und Raumdiagonalen

Die Eckpunkte eines Würfels haben verschiedene Abstände zueinander.

Kantenlänge

Liegt zwischen zwei Eckpunkten eine Kante, ist der Abstand dieser Eckpunkte genauso lang wie die Kantenlänge $a$ des Würfels.

Flächendiagonale

Liegt zwischen zwei Eckpunkten eines Würfels keine Kante, aber eine Fläche, kannst du in diese quadratische Fläche eine Diagonale einzeichnen, die die beiden Eckpunkte miteinander verbindet. Diese Diagonale heißt Flächendiagonale des Würfels. In jeder Fläche des Würfels liegen zwei Flächendiagonalen. Daher hat der Würfel zwölf Flächendiagonalen. Die Länge dieser Flächendiagonalen kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen: Die Flächendiagonale ist die Hypotenuse in einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck mit der Kathetenlänge $a$ . Die Länge der Hypotenuse – also der Flächendiagonale – beträgt demnach $\sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2} \cdot a$ . Dabei ist $a$ die Kantenlänge des Würfels.

Bei einem Würfel der Kantenlänge $a=2~\text{cm}$ hat jede Flächendiagonale die Länge:
$\sqrt{2}\cdot a = \sqrt{2}\cdot \approx 1,\!41 \cdot 2~\text{cm} = 2,\!82~\text{cm}$

Raumdiagonale oder Körperdiagonale

Zu jedem Eckpunkt des Würfels gibt es genau einen weiteren Eckpunkt, der weiter entfernt ist als alle anderen Eckpunkte. Diese beiden Eckpunkte sind weder durch eine Kante noch durch eine Fläche miteinander verbunden. Die Verbindungsstrecke dieser beiden Eckpunkte heißt Raumdiagonale oder Körperdiagonale des Würfels. Jeder Würfel hat vier Raumdiagonalen, da immer zwei der acht Eckpunkte zur gleichen Raumdiagonalen gehören. Die Länge der Raumdiagonalen berechnest du ähnlich wie bei der Flächendiagonale mit dem Satz des Pythagoras: Die Raumdiagonale ist die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck. Die eine Kathete ist eine Flächendiagonale, die andere Kathete ist eine Kante des Würfels. Die Länge der Hypotenuse beträgt dann $\sqrt{(\sqrt{2}\cdot a)^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = \sqrt{3}\cdot a$ .
Die Länge der Raumdiagonalen berechnest du also mit der Formel $\sqrt{3}\cdot a$ . Hierbei ist $a$ die Kantenlänge des Würfels.

Bei einem Würfel der Kantenlänge $a=2~\text{cm}$ hat jede Raumdiagonale die Länge:
$\sqrt{3}\cdot a \approx 1,\!73 \cdot 2~\cdot{cm} = 3,\!46~\text{cm}$

Grundfläche und Oberfläche

Die Oberfläche eines Körpers besteht aus seinen Begrenzungsflächen. Die Oberfläche schließt den Körper ein wie eine eng anliegende Hülle. Die Oberfläche des Würfels besteht aus sechs gleich großen Quadraten.

Wenn wir die Oberfläche des Würfels entlang der Kanten auseinanderfalten, entsteht das Körpernetz des Würfels. Man nennt es auch Würfelnetz.

Das Würfelnetz besteht aus sechs Quadraten der gleichen Kantenlänge. Das bedeutet, dass alle sechs Quadrate den gleichen Flächeninhalt haben. Der Flächeninhalt aller sechs Quadrate zusammen ist der Flächeninhalt der Oberfläche des Würfels.

Jedes einzelne Quadrat des Würfelnetzes ist eine Grundfläche des Würfels. Faltest du das Würfelnetz wieder zu einem Würfel zusammen, kannst du den Würfel auf jedes der Quadrate stellen.

Der Flächeninhalt der Grundfläche des Würfels ist $A=a^2$ . Hierbei bezeichnet $a$ die Kantenlänge des Würfels. Der Flächeninhalt der Oberfläche ist die Summe der Flächeninhalte der sechs Begrenzungsflächen. Da alle sechs Quadrate gleich groß sind, ist die Formel für den Flächeninhalt der Oberfläche:
$O_\Box = 6 \cdot a^2$

Dabei ist wieder $a$ die Kantenlänge des Würfels.

Bei einem Würfel der Kantenlänge $a=2~\text{cm}$ hat die Grundfläche einen Flächeninhalt von:
$A=(2~\text{cm})^2 = 2^2~\text{cm}^2 = 4~\text{cm}^2$
Der Flächeninhalt der Oberfläche beträgt:
$O_\Box = 6\cdot (2~\text{cm})^2 = 6\cdot 4~\text{cm}^2 = 24~\text{cm}^2$

Volumen

Der Rauminhalt eines Körpers wird auch Volumen genannt und mit dem Buchstaben $V$ bezeichnet. Das Volumen gibt an, wie viel in einen Körper hineinpasst, wenn der Körper hohl ist. In einen Würfel der Kantenlänge $10~\text{cm}$ passt z. B. genau ein Liter hinein. Das bedeutet: Das Volumen dieses Würfels beträgt $1~\ell$ .

Der Rauminhalt eines Körpers berechnet sich aus der Grundfläche und der Höhe. Bei einem Körper wie dem Würfel ist das Volumen einfach das Produkt aus dem Flächeninhalt der Grundfläche und der Höhe des Körpers:
$V=A \cdot h$

Die Höhe des Würfels ist gleich seiner Kantenlänge $a$ . Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt $A=a^2$ . Das Volumen eines Würfels der Kantenlänge $a$ berechnest du daher mit der Formel $V_\Box = a^3$ .

Ein Würfel der Kantenlänge $a=2~\text{cm}$ hat ein Volumen von:
$V_\Box = (2~\text{cm})^3 = 2^3~\text{cm}^3 = 8~\text{cm}^3$

Zusammenfassung – Eigenschaften eines Würfels

In der folgenden Tabelle sind die wichtigsten Eigenschaften und Formeln zur Geometrie von Würfeln zusammengefasst.

Beschreibung	Anzahl/Formel
Eckpunkte	$8$
Kanten	$12$
Flächen	$6$
Kantenlänge	$a$
Oberfläche	$O_\Box = 6a^2$
Volumen	$V_\Box = a^3$
Flächendiagonale	$\sqrt{2} \cdot a$
Raumdiagonale	$\sqrt{3} \cdot a$

Symmetrien des Würfels

Wie du einen Würfel auch drehst und wendest: Er sieht immer wieder fast gleich aus. Das bedeutet: Der Würfel hat viele Symmetrien. Drehst du den Würfel um $90^\circ$ um eine Achse durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seitenflächen, sieht er nach der Drehung genau gleich aus wie vor der Drehung. Es gibt noch zwei weitere Drehsymmetrien des Würfels: Du kannst den Würfel auch um eine Raumdiagonale drehen. Der passende Drehwinkel beträgt hierbei $120^\circ$ . Und du kannst den Würfel um $180^\circ$ um die Achse durch die Mittelpunkte zweier einander diagonal gegenüberliegender paralleler Kanten drehen.
Zusätzlich zu den Drehsymmetrien hat der Würfel Spiegelsymmetrien: die Ebenenspiegelung an der Ebene durch zwei parallele Flächendiagonalen und die Ebenenspiegelung an einer zu einer Seitenfläche parallelen Ebene durch den Würfelmittelpunkt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Würfel

Was ist ein Würfel?

Ein Würfel ist ein dreidimensionaler Körper, der von sechs Quadraten der gleichen Kantenlänge begrenzt wird.

Wie viele Kanten hat ein Würfel?

Ein Würfel hat zwölf Kanten: vier Kanten oben an der Deckfläche, vier Kanten unten an der Grundfläche und vier Kanten, die von oben nach unten verlaufen.

Wie viele Ecken hat ein Würfel?

Ein Würfel hat acht Ecken: vier Ecken oben an der Deckfläche und vier Ecken unten an der Grundfläche.

Wie viele Flächen hat ein Würfel?

Ein Würfel hat sechs Flächen. Bei einem Spielwürfel steht auf jeder Fläche eine andere Zahl. Es kommen die Zahlen $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ und $6$ vor. Das sind zusammen sechs verschiedene Zahlen.

Wie viele Körperdiagonalen hat ein Würfel?

Ein Würfel hat vier Körperdiagonalen: Von jedem Eckpunkt aus verläuft eine Körperdiagonale zu dem am weitesten entfernten anderen Eckpunkt. Die beiden Endpunkte einer Körperdiagonalen haben keine gemeinsame Kante oder Fläche in dem Würfel.

Was ist die Symmetrie eines Würfels?

Der Würfel hat Drehsymmetrien und Spiegelsymmetrien. Du kannst den Würfel durch geeignete Achsen um bestimmte Winkel drehen. Der Würfel sieht nach der Drehung genau gleich aus wie vor der Drehung. Genauso kannst du den Würfel auch an bestimmten Ebenen spiegeln, sodass das Spiegelbild des Würfels genauso aussieht wie der ungespiegelte Würfel.

Wie berechnet man das Volumen eines Würfels?

Das Volumen $V_\Box$ eines Würfels berechnest du, indem du die Kantenlänge $a$ des Würfels dreimal mit sich selbst multiplizierst: $V=a^3$ .
Ein Würfel der Kantenlänge $a=2~\text{cm}$ hat also ein Volumen von $V=(2~\text{cm})^3=8~\text{cm}^3$ .

Wie berechnet man die Oberfläche eines Würfels?

Die Oberfläche $O_\Box$ eines Würfels ist der Flächeninhalt aller seiner Seitenflächen zusammen. Ein Würfel wird von sechs gleich großen, quadratischen Seitenflächen begrenzt. Bei einem Würfel der Kantenlänge $a$ hat jede Seitenfläche einen Flächeninhalt von $A_\Box = a^2$ . Die Oberfläche des Würfels beträgt daher $O_\Box = 6 \cdot a^2$ .
Ein Würfel der Kantenlänge $a=2~\text{cm}$ hat also eine Oberfläche von $O_\Box = 6 \cdot (2~\text{cm})^2=24~\text{cm}^2$ .

Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Würfels?

Der Würfel ist ein Körper und keine Fläche. Er hat daher keinen Flächeninhalt. Der Würfel wird durch sechs quadratische Flächen begrenzt. Alle Begrenzungsflächen zusammen bilden die Oberfläche des Würfels. Diese Begrenzungsflächen haben einen Flächeninhalt. Der Flächeninhalt aller sechs Begrenzungsflächen zusammen ist der Flächeninhalt der Oberfläche des Würfels. Man sagt auch die Oberfläche des Würfels.

Wie berechnet man die Diagonale eines Würfels?

Ein Würfel wird durch quadratische Flächen begrenzt. In diesen Quadraten liegen die Flächendiagonalen des Würfels. Hat der Würfel die Kantenlänge $a$ , beträgt die Länge der Flächendiagonale $\sqrt{2}\cdot a$ . Ein Würfel der Kantenlänge $a=2~\text{cm}$ hat also Flächendiagonalen der Länge $\sqrt{2}\cdot 2~\text{cm} \approx 1,\!41\cdot 2~\text{cm} = 2,\!84~\text{cm}$ .
Zwischen jedem Eckpunkt eines Würfels und dem am weitesten entfernten anderen Eckpunkt des Würfels liegt eine Raumdiagonale des Würfels. Die Länge jeder Raumdiagonale beträgt $\sqrt{3}\cdot a$ . Die Länge der Raumdiagonalen eines Würfels der Kantenlänge $a=2~\text{cm}$ beträgt demnach $\sqrt{3}\cdot 2~\text{cm} \approx 1,\!73 \cdot 2~\text{cm} = 3,\!46~\text{cm}$ .

Wie berechnet man die Kantenlänge eines Würfels?

Die Kantenlänge $a$ eines Würfels ist in den meisten Aufgaben vorgegeben. Du kannst die Kantenlänge aber auch aus der Oberfläche oder aus dem Volumen des Würfels berechnen, indem du die Formel nach $a$ umstellst.

Wie berechnet man die Raumdiagonale (Körperdiagonale) eines Würfels?

Die Länge der Raumdiagonalen oder Körperdiagonale des Würfels kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks sind eine Flächendiagonale und eine Kante des Würfels, die Hypotenuse ist die Raumdiagonale. Daraus erhältst du die Formel für die Länge der Raumdiagonalen: $\sqrt{3}\cdot a$ . Dabei ist $a$ die Kantenlänge des Würfels.

Wie berechnet man den Umkreis eines Würfels?

Der Würfel ist ein dreidimensionaler Körper, keine ebene Figur. Der Würfel hat daher keinen Umkreis, sondern eine Umkugel. Der Durchmesser der Umkugel ist genauso groß wie die Länge der Raumdiagonalen des Würfels.

Wie berechnet man den Innenwinkel eines Würfels?

Alle Innenwinkel zwischen zwei Kanten eines Würfel sind rechte Winkel. Ihre Winkelgröße beträgt also jeweils $90^\circ$ .

Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Flächen eines Würfels?

Die Winkel zwischen zwei Flächen des Würfels betragen immer $90^\circ$ . Denn je zwei Begrenzungsflächen des Würfels, die sich schneiden, stehen aufeinander senkrecht. Parallele Begrenzungsflächen des Würfels schneiden sich nicht, daher gibt es auch keinen Winkel zwischen diesen Flächen.

Würfel in der Geometrie – Definition, Eigenschaften und Formeln

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