Würfel in der Geometrie – Definition, Eigenschaften und Formeln

Entdecke die Definition und Eigenschaften dieses dreidimensionalen Körpers. Erfahre alles über Ecken, Kanten, Flächen, Diagonalen, Volumen und Symmetrien des Würfels. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Würfel Geometrie

Würfel im Überblick

  • Ein Würfel ist ein Körper im dreidimensionalen Raum. Er hat zwölf Eckpunkte, acht Kanten und sechs Flächen.

  • Die Begrenzungsflächen eines Würfels sind sechs Quadrate. Sie bilden zusammen die Oberfläche des Würfels.

  • Den Flächeninhalt O_\Box der Oberfläche berechnest du mit der Formel O_\Box = 6a^2. Hierbei ist a die Kantenlänge des Würfels.

  • Der Rauminhalt eines Würfels ist sein Volumen V_\Box. Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge a berechnest du mit der Formel V_\Box = a^3.

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Quelle sofatutor.com

Würfel in der Geometrie – Definition und Eigenschaften

In diesem Abschnitt werden Würfel in der Geometrie einfach erklärt. Wir schauen uns die Eckpunkte, Kanten und Flächen des Würfels sowie seine Diagonalen an. Und wir erklären verständlich, wie du Oberfläche und Volumen des Würfels berechnest. Der Würfel ist ein Körper, das bedeutet, er ist dreidimensional. Du kannst einen Würfel nicht zusammendrücken, sodass er in dein Heft passt.

Eckpunkte, Kanten und Begrenzungsflächen eines Würfels

Ecken, Kanten und Flächen

  • Ein Würfel hat acht Eckpunkte, zwölf Kanten und sechs Flächen.
  • Die Kanten des Würfels haben alle die gleiche Länge.
  • Die Flächen des Würfels sind Quadrate. Sie sind alle deckungsgleich zueinander.

Flächendiagonalen und Raumdiagonalen

Die Eckpunkte eines Würfels haben verschiedene Abstände zueinander.

Kantenlänge

Liegt zwischen zwei Eckpunkten eine Kante, ist der Abstand dieser Eckpunkte genauso lang wie die Kantenlänge a des Würfels.

Flächendiagonale

Liegt zwischen zwei Eckpunkten eines Würfels keine Kante, aber eine Fläche, kannst du in diese quadratische Fläche eine Diagonale einzeichnen, die die beiden Eckpunkte miteinander verbindet. Diese Diagonale heißt Flächendiagonale des Würfels. In jeder Fläche des Würfels liegen zwei Flächendiagonalen. Daher hat der Würfel zwölf Flächendiagonalen. Die Länge dieser Flächendiagonalen kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen: Die Flächendiagonale ist die Hypotenuse in einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck mit der Kathetenlänge a. Die Länge der Hypotenuse – also der Flächendiagonale – beträgt demnach \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2} \cdot a. Dabei ist a die Kantenlänge des Würfels.

Bei einem Würfel der Kantenlänge a=2~\text{cm} hat jede Flächendiagonale die Länge:
\sqrt{2}\cdot a = \sqrt{2}\cdot \approx 1,\!41 \cdot 2~\text{cm} = 2,\!82~\text{cm}

Raumdiagonale oder Körperdiagonale

Zu jedem Eckpunkt des Würfels gibt es genau einen weiteren Eckpunkt, der weiter entfernt ist als alle anderen Eckpunkte. Diese beiden Eckpunkte sind weder durch eine Kante noch durch eine Fläche miteinander verbunden. Die Verbindungsstrecke dieser beiden Eckpunkte heißt Raumdiagonale oder Körperdiagonale des Würfels. Jeder Würfel hat vier Raumdiagonalen, da immer zwei der acht Eckpunkte zur gleichen Raumdiagonalen gehören. Die Länge der Raumdiagonalen berechnest du ähnlich wie bei der Flächendiagonale mit dem Satz des Pythagoras: Die Raumdiagonale ist die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck. Die eine Kathete ist eine Flächendiagonale, die andere Kathete ist eine Kante des Würfels. Die Länge der Hypotenuse beträgt dann \sqrt{(\sqrt{2}\cdot a)^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = \sqrt{3}\cdot a.
Die Länge der Raumdiagonalen berechnest du also mit der Formel \sqrt{3}\cdot a. Hierbei ist a die Kantenlänge des Würfels.

Bei einem Würfel der Kantenlänge a=2~\text{cm} hat jede Raumdiagonale die Länge:
\sqrt{3}\cdot a \approx 1,\!73 \cdot 2~\cdot{cm} = 3,\!46~\text{cm}

Grundfläche und Oberfläche

Die Oberfläche eines Körpers besteht aus seinen Begrenzungsflächen. Die Oberfläche schließt den Körper ein wie eine eng anliegende Hülle. Die Oberfläche des Würfels besteht aus sechs gleich großen Quadraten. 

Wenn wir die Oberfläche des Würfels entlang der Kanten auseinanderfalten, entsteht das Körpernetz des Würfels. Man nennt es auch Würfelnetz.

Würfelnetz und Würfel

Das Würfelnetz besteht aus sechs Quadraten der gleichen Kantenlänge. Das bedeutet, dass alle sechs Quadrate den gleichen Flächeninhalt haben. Der Flächeninhalt aller sechs Quadrate zusammen ist der Flächeninhalt der Oberfläche des Würfels.

Jedes einzelne Quadrat des Würfelnetzes ist eine Grundfläche des Würfels. Faltest du das Würfelnetz wieder zu einem Würfel zusammen, kannst du den Würfel auf jedes der Quadrate stellen.

Der Flächeninhalt der Grundfläche des Würfels ist A=a^2. Hierbei bezeichnet a die Kantenlänge des Würfels. Der Flächeninhalt der Oberfläche ist die Summe der Flächeninhalte der sechs Begrenzungsflächen. Da alle sechs Quadrate gleich groß sind, ist die Formel für den Flächeninhalt der Oberfläche:
O_\Box = 6 \cdot a^2

Dabei ist wieder a die Kantenlänge des Würfels.

Bei einem Würfel der Kantenlänge a=2~\text{cm} hat die Grundfläche einen Flächeninhalt von:
A=(2~\text{cm})^2 = 2^2~\text{cm}^2 = 4~\text{cm}^2
Der Flächeninhalt der Oberfläche beträgt:
O_\Box = 6\cdot (2~\text{cm})^2 = 6\cdot 4~\text{cm}^2 = 24~\text{cm}^2

Volumen

Der Rauminhalt eines Körpers wird auch Volumen genannt und mit dem Buchstaben V bezeichnet. Das Volumen gibt an, wie viel in einen Körper hineinpasst, wenn der Körper hohl ist. In einen Würfel der Kantenlänge 10~\text{cm} passt z. B. genau ein Liter hinein. Das bedeutet: Das Volumen dieses Würfels beträgt 1~\ell.

Der Rauminhalt eines Körpers berechnet sich aus der Grundfläche und der Höhe. Bei einem Körper wie dem Würfel ist das Volumen einfach das Produkt aus dem Flächeninhalt der Grundfläche und der Höhe des Körpers:
V=A \cdot h

Die Höhe des Würfels ist gleich seiner Kantenlänge a. Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt A=a^2. Das Volumen eines Würfels der Kantenlänge a berechnest du daher mit der Formel V_\Box = a^3.

Ein Würfel der Kantenlänge a=2~\text{cm} hat ein Volumen von:
V_\Box = (2~\text{cm})^3 = 2^3~\text{cm}^3 = 8~\text{cm}^3

Zusammenfassung – Eigenschaften eines Würfels

In der folgenden Tabelle sind die wichtigsten Eigenschaften und Formeln zur Geometrie von Würfeln zusammengefasst.

Beschreibung Anzahl/Formel
Eckpunkte 8
Kanten 12
Flächen 6
Kantenlänge a
Oberfläche O_\Box = 6a^2
Volumen V_\Box = a^3
Flächendiagonale \sqrt{2} \cdot a
Raumdiagonale \sqrt{3} \cdot a

Symmetrien des Würfels

Wie du einen Würfel auch drehst und wendest: Er sieht immer wieder fast gleich aus. Das bedeutet: Der Würfel hat viele Symmetrien. Drehst du den Würfel um 90^\circ um eine Achse durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seitenflächen, sieht er nach der Drehung genau gleich aus wie vor der Drehung. Es gibt noch zwei weitere Drehsymmetrien des Würfels: Du kannst den Würfel auch um eine Raumdiagonale drehen. Der passende Drehwinkel beträgt hierbei 120^\circ. Und du kannst den Würfel um 180^\circ um die Achse durch die Mittelpunkte zweier einander diagonal gegenüberliegender paralleler Kanten drehen.
Zusätzlich zu den Drehsymmetrien hat der Würfel Spiegelsymmetrien: die Ebenenspiegelung an der Ebene durch zwei parallele Flächendiagonalen und die Ebenenspiegelung an einer zu einer Seitenfläche parallelen Ebene durch den Würfelmittelpunkt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Würfel

Ein Würfel ist ein dreidimensionaler Körper, der von sechs Quadraten der gleichen Kantenlänge begrenzt wird.

Ein Würfel hat zwölf Kanten: vier Kanten oben an der Deckfläche, vier Kanten unten an der Grundfläche und vier Kanten, die von oben nach unten verlaufen.

Ein Würfel hat acht Ecken: vier Ecken oben an der Deckfläche und vier Ecken unten an der Grundfläche.

Ein Würfel hat sechs Flächen. Bei einem Spielwürfel steht auf jeder Fläche eine andere Zahl. Es kommen die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 vor. Das sind zusammen sechs verschiedene Zahlen.

Ein Würfel hat vier Körperdiagonalen: Von jedem Eckpunkt aus verläuft eine Körperdiagonale zu dem am weitesten entfernten anderen Eckpunkt. Die beiden Endpunkte einer Körperdiagonalen haben keine gemeinsame Kante oder Fläche in dem Würfel.

Der Würfel hat Drehsymmetrien und Spiegelsymmetrien. Du kannst den Würfel durch geeignete Achsen um bestimmte Winkel drehen. Der Würfel sieht nach der Drehung genau gleich aus wie vor der Drehung. Genauso kannst du den Würfel auch an bestimmten Ebenen spiegeln, sodass das Spiegelbild des Würfels genauso aussieht wie der ungespiegelte Würfel.

Das Volumen V_\Box eines Würfels berechnest du, indem du die Kantenlänge a des Würfels dreimal mit sich selbst multiplizierst: V=a^3.
Ein Würfel der Kantenlänge a=2~\text{cm} hat also ein Volumen von V=(2~\text{cm})^3=8~\text{cm}^3.

Die Oberfläche O_\Box eines Würfels ist der Flächeninhalt aller seiner Seitenflächen zusammen. Ein Würfel wird von sechs gleich großen, quadratischen Seitenflächen begrenzt. Bei einem Würfel der Kantenlänge a hat jede Seitenfläche einen Flächeninhalt von A_\Box = a^2. Die Oberfläche des Würfels beträgt daher O_\Box = 6 \cdot a^2.
Ein Würfel der Kantenlänge a=2~\text{cm} hat also eine Oberfläche von O_\Box = 6 \cdot (2~\text{cm})^2=24~\text{cm}^2.

Der Würfel ist ein Körper und keine Fläche. Er hat daher keinen Flächeninhalt. Der Würfel wird durch sechs quadratische Flächen begrenzt. Alle Begrenzungsflächen zusammen bilden die Oberfläche des Würfels. Diese Begrenzungsflächen haben einen Flächeninhalt. Der Flächeninhalt aller sechs Begrenzungsflächen zusammen ist der Flächeninhalt der Oberfläche des Würfels. Man sagt auch die Oberfläche des Würfels.

Ein Würfel wird durch quadratische Flächen begrenzt. In diesen Quadraten liegen die Flächendiagonalen des Würfels. Hat der Würfel die Kantenlänge a, beträgt die Länge der Flächendiagonale \sqrt{2}\cdot a. Ein Würfel der Kantenlänge a=2~\text{cm} hat also Flächendiagonalen der Länge \sqrt{2}\cdot 2~\text{cm} \approx 1,\!41\cdot 2~\text{cm} = 2,\!84~\text{cm}.
Zwischen jedem Eckpunkt eines Würfels und dem am weitesten entfernten anderen Eckpunkt des Würfels liegt eine Raumdiagonale des Würfels. Die Länge jeder Raumdiagonale beträgt \sqrt{3}\cdot a. Die Länge der Raumdiagonalen eines Würfels der Kantenlänge a=2~\text{cm} beträgt demnach \sqrt{3}\cdot 2~\text{cm} \approx 1,\!73 \cdot 2~\text{cm} = 3,\!46~\text{cm}.

Die Kantenlänge a eines Würfels ist in den meisten Aufgaben vorgegeben. Du kannst die Kantenlänge aber auch aus der Oberfläche oder aus dem Volumen des Würfels berechnen, indem du die Formel nach a umstellst.

Die Länge der Raumdiagonalen oder Körperdiagonale des Würfels kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks sind eine Flächendiagonale und eine Kante des Würfels, die Hypotenuse ist die Raumdiagonale. Daraus erhältst du die Formel für die Länge der Raumdiagonalen: \sqrt{3}\cdot a. Dabei ist a die Kantenlänge des Würfels.

Der Würfel ist ein dreidimensionaler Körper, keine ebene Figur. Der Würfel hat daher keinen Umkreis, sondern eine Umkugel. Der Durchmesser der Umkugel ist genauso groß wie die Länge der Raumdiagonalen des Würfels.

Alle Innenwinkel zwischen zwei Kanten eines Würfel sind rechte Winkel. Ihre Winkelgröße beträgt also jeweils 90^\circ.
Die Winkel zwischen zwei Flächen des Würfels betragen immer 90^\circ. Denn je zwei Begrenzungsflächen des Würfels, die sich schneiden, stehen aufeinander senkrecht. Parallele Begrenzungsflächen des Würfels schneiden sich nicht, daher gibt es auch keinen Winkel zwischen diesen Flächen.

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