Das Kreuzprodukt – Formel, Herleitung und Anwendungen

Erfahre, wie das Kreuzprodukt zweier Vektoren einen neuen Vektor erzeugt, der senkrecht zu beiden steht. Entdecke Anwendungen wie die Bestimmung senkrechter Vektoren und Flächeninhalte von Parallelogrammen. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt im Überblick
Definition des Kreuzprodukts
Kreuzprodukt – Rechenregeln und Eigenschaften
Kreuzprodukt – Anwendungen
Kreuzprodukt – senkrechte Vektoren bestimmen
Kreuzprodukt – rechtshändig orientierte Basis bestimmen
Kreuzprodukt – Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen
Kreuzprodukt – Volumen eines Spats berechnen
Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreuzprodukt

Das Quiz zum Thema: Kreuzprodukt

Was ist das Kreuzprodukt?

Frage 1 von 5

Wie wird das Ergebnisvektor beim Kreuzprodukt definiert?

Frage 2 von 5

Welche Eigenschaft hat das Kreuzprodukt bezüglich der Orientierung der Basisvektoren?

Frage 3 von 5

Wie kann das Kreuzprodukt in der Praxis angewendet werden?

Frage 4 von 5

Was ergibt das Kreuzprodukt von parallelen Vektoren?

Frage 5 von 5

Das Kreuzprodukt im Überblick

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist ein Vektor $\vec{c} =\vec{a} \times \vec{b}$ , der auf $\vec{a}$ und auf $\vec{b}$ senkrecht steht. Mit anderen Worten: Das Kreuzprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ ist orthogonal zu $\vec{a}$ und zu $\vec{b}$ .
Das Kreuzprodukt $\vec{a}\times \vec{b}$ der Vektoren $\vec{a}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ berechnest du durch die Formel:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}$
Die Länge des Ergebnisvektors beim Kreuzprodukt entspricht dem Flächeninhalt eines Parallelogramms, das von den beiden multiplizierten Vektoren aufgespannt wird.

Definition des Kreuzprodukts

Das Kreuzprodukt bezeichnet eine Rechenoperation, die aus zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ im dreidimensionalen Vektorraum einen neuen Vektor $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ macht. Man bezeichnet das Kreuzprodukt auch als Vektorprodukt. Oft bezeichnet man als Kreuzprodukt von Vektoren nicht nur die Rechenoperation selbst, sondern auch ihr Ergebnis: Der Vektor $\vec{a} \times \vec{b}$ ist das Kreuzprodukt der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ .
Zu unterscheiden ist das Kreuzprodukt vom Skalarprodukt, das aus zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ die Zahl oder den Skalar $\vec{a} \cdot \vec{b}$ berechnet.

Zur Definition des Vektorprodukts gehen wir von Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ in Komponentenschreibweise aus:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$

In Koordinatenschreibweise kannst du nun das Kreuzprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ einfach berechnen:

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}$

Diese Formel definiert den Vektor $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ .

Kreuzprodukt – Rechenregeln und Eigenschaften

Das Kreuzprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ von Vektoren im dreidimensionalen Raum hat viele nützliche Eigenschaften:

$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ steht senkrecht auf $\vec{a}$ und auf $\vec{b}$ .
Die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ bilden eine rechtshändig orientierte Basis (sofern $\vec{a}$ und $\vec{b}$ linear unabhängig sind).
Das Kreuzprodukt der beiden ersten Standardbasisvektoren $\vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ ist der dritte Standardbasisvektor:
$\vec{e}_1 \times \vec{e}_2 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \vec{e}_3$
Vertauschst du die Reihenfolge von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ , ändert sich beim Kreuzprodukt das Vorzeichen, d. h. $\vec{b} \times \vec{a} = -\vec{a} \times \vec{b}$ . Das Kreuzprodukt ist also nicht kommutativ.
Skalierst du einen der beiden Vektoren $\vec{a}$ oder $\vec{b}$ mit einem Faktor $r$ , skaliert sich auch das Kreuzprodukt:
$(r\vec{a}) \times \vec{b} = r (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (r \vec{b})$
Man sagt: Das Kreuzprodukt ist bilinear bzw. linear in jedem Faktor einzeln.
Das Kreuzprodukt erfüllt das folgende Distributivgesetz:
$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$
Das Kreuzprodukt paralleler Vektoren ist immer null.
Das Kreuzprodukt von Einheitsvektoren (d. h. Vektoren der Länge $1$ ) $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist nur dann ein Einheitsvektor, wenn $\vec{a}$ und $\vec{b}$ orthogonal zueinander sind.
Der Betrag des Kreuzprodukts $\left\vert \vec{a} \times \vec{b} \right\vert$ ist der Flächeninhalt $A$ des von den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms.
Drei Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ spannen einen Spat auf – so etwas wie ein dreidimensionales Parallelogramm. Das Volumen $V$ des Spats berechnest du mit dem Kreuzprodukt und dem Skalarprodukt:
$V = \left\vert (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \right\vert$
Dieses Produkt aus drei Vektoren trägt daher auch den Namen Spatprodukt.

Gegeben sind zwei Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ , gesucht ist ein Vektor $\vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}$ , der senkrecht auf $\vec{a}$ und senkrecht auf $\vec{b}$ steht. Wir leiten eine Formel für diesen Vektor $\vec{n}$ her.

Die Orthogonalität von Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ bezeichnen wir mit $\vec{u} \perp \vec{v}$ . Dass die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ aufeinander senkrecht stehen, ist äquivalent dazu, dass für ihr Skalarprodukt gilt:
$\vec{u} \cdot \vec{v} =0$

Die Bedingungen $\vec{a} \perp \vec{n}$ und $\vec{b} \perp \vec{n}$ schreiben wir daher als Gleichungen der Skalarprodukte:

$\begin{array}{rclclcl} \vec{n} \cdot \vec{a} &=& n_1 a_1 & + & n_2 a_2 & + & n_3 a_3 \\ &= & 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{b} &=& n_1 b_1 & + & n_2 b_2 & + & n_3 b_3 \\ &= & 0 \end{array}$

In diesem linearen Gleichungssystem für das Kreuzprodukt sind die Komponenten $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ und $b_1$ , $b_2$ , $b_3$ der gegebenen Vektoren die Koeffizienten und die Komponenten des Kreuzprodukts $n_1$ , $n_2$ und $n_3$ sind die Variablen. Das Gleichungssystem hat zwei Gleichungen mit den drei Variablen $n_1$ , $n_2$ und $n_3$ . Das Gleichungssystem hat daher unendlich viele Lösungen. Das Kreuzprodukt ist also neben der Orthogonalität der Vektoren nur durch eine weitere Bedingung eindeutig festgelegt. Oder anders gesagt: Wir werden während der Herleitung eine der Variablen frei wählen können. Dies wird die Variable $n_3$ sein.

Um das Gleichungssystem zu lösen, eliminieren wir zuerst die Variable $n_2$ . Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit $b_2$ und subtrahieren sie von der mit $a_2$ multiplizierten zweiten Gleichung. Wir erhalten dann die neue Gleichung:

$n_1 a_1 b_2 - n_1 b_1 a_2 + n_3 a_3 b_2 - n_3 b_3 a_2= 0$

Nun klammern wir $n_1$ und $n_3$ aus und bringen alle $n_3$ -Terme auf die linke Seite der Gleichung:

$n_1 (a_1 b_2 - b_1 a_2) = n_3 (b_3 a_2 - a_3 b_2)$
Als Nächstes dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch den Faktor von $n_1$ auf der linken Seite und erhalten:

$n_1 = n_3 \cdot \dfrac{(b_3 a_2 - a_3 b_2)}{(a_1 b_2 - b_1 a_2)}$

Nun benutzen wir, dass die Variable $n_3$ frei wählbar ist. Die obige Gleichung für $n_1$ wird viel einfacher, wenn wir als $n_3$ den Nenner der rechten Seite wählen, also wenn wir setzen:

$n_3 = (a_1 b_2 - b_1 a_2)$

Denn damit kürzt sich der Term für $n_3$ und wir erhalten in der Gleichung für $n_1$ :

$n_1 = n_3 \cdot \dfrac{(b_3 a_2 - a_3 b_2)}{(a_1 b_2 - b_1 a_2)} = (a_1 b_2 - b_1 a_2) \cdot \dfrac{(b_3 a_2 - a_3 b_2)}{(a_1 b_2 - b_1 a_2)} = (b_3 a_2 - a_3 b_2)$

Jetzt haben wir schon zwei der drei Komponenten bestimmt. Die Komponente $n_2$ erhalten wir, indem wir die Formeln für $n_1$ und $n_3$ in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen. Wir wählen hier erste Gleichung und setzen $n_1$ und $n_3$ dort ein:

$(b_3 a_2 - a_3 b_2)\cdot a_1 + n_2 a_2 + (a_1 b_2 - b_1 a_2) \cdot a_3 = 0$

Um $n_2$ zu bestimmen, lösen wir diese Gleichung zuerst nach $n_2 a_2$ auf und multiplizieren die Klammern aus:

$\begin{array}{rcl} n_2 a_2 &=& -(b_3 a_2 - a_3 b_2)\cdot a_1 - (a_1 b_2 - b_1 a_2) \cdot a_3 \\ &=& -b_3 a_2 a_1 + a_3 b_2 a_1 -a_1 b_2 a_3 + b_1 a_2 a_3 \\ &=& -b_3 a_2 a_1 + b_1 a_2 a_3 \end{array}$

Dabei sind im letzten Schritt beide mittleren Terme weggefallen, denn sie sind identisch bis auf das Vorzeichen. Aus dem Term auf der rechten Seite können wir $a_2$ ausklammern und erhalten:

$n_2 a_2 = (-b_3 a_1 + b_1 a_3) \cdot a_2$

Wir dividieren diese Gleichung noch durch $a_2$ und erhalten schließlich:

$n_2 = (a_3 b_1 - a_1 b_3)$

Damit haben wir Formeln für alle drei Komponenten des Kreuzprodukts hergeleitet. Das Kreuzprodukt $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ ist also:

$\vec{n} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$

Kreuzprodukt – Anwendungen

Mithilfe des Kreuzprodukts kannst du:

senkrechte Vektoren bestimmen,
eine rechtshändig orientierte Basis eines dreidimensionalen Vektorraums konstruieren,
den Flächeninhalt eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms berechnen und
das Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten Spats berechnen.

Kreuzprodukt – senkrechte Vektoren bestimmen

Sind die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gegeben, kannst du mit dem Kreuzprodukt einen Vektor $\vec{a} \times \vec{b}$ berechnen, der sowohl auf $\vec{a}$ als auch auf $\vec{b}$ senkrecht steht. Wir berechnen als Beispiel das Kreuzprodukt von $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ :

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 4 - 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 - 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot 3 - 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

Dieser Vektor steht senkrecht auf $\vec{a}$ :

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 = -1 + 4 -3 = 0$

Der Vektor $\vec{a} \times \vec{b}$ steht auch senkrecht auf $\vec{b}$ :

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 = -2+6-4 = 0$

Kreuzprodukt – rechtshändig orientierte Basis bestimmen

Sind die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ linear unabhängig, bilden die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{a} \times \vec{b}$ zusammen eine rechtshändig orientierte Basis im dreidimensionalen Raum $\left(\mathbb R^3\right)$ . Um eine solche Basis zu bestimmen, brauchst du also nur zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ , die nicht Vielfache voneinander sind. Diese beiden Vektoren kannst du als Basisvektoren verwenden. Nimmst du das Kreuzprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ als dritten Vektor dazu, erhältst du die rechtshändig orientierte Basis $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{a} \times \vec{b}$ .

Sind die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ Einheitsvektoren und orthogonal zueinander, ist auch das Kreuzprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ ein Einheitsvektor und orthogonal zu den beiden anderen. Sind die Einheitsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ nicht orthogonal zueinander, ist das Kreuzprodukt der Einheitsvektoren kein Einheitsvektor.

Kreuzprodukt – Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen

Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ spannen ein Parallelogramm in der Ebene auf. Diese Ebene ist im Allgemeinen keine Koordinatenebene, sondern eine schräge Ebene im Raum, die von den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannt wird. Wir können das Kreuzprodukt geometrisch interpretieren: Der Betrag des Vektors $\vec{a} \times \vec{b}$ ist der Flächeninhalt des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms:

$A = \left\vert\vec{a} \times \vec{b}\right\vert$

$\vec{b}$

Als Beispiel berechnen wir den Flächeninhalt $A$ des von den Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ aufgespannten Parallelogramms:

$A = \bigvert \vec{a} \times \vec{b} \bigvert = \left\vert \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\vert = \left\vert \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 - 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 - 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 2 - 0 \cdot 1 \end{pmatrix} \right\vert = \sqrt{0^2+0^2+6^2} = \underline{\underline{6}}$

Kreuzprodukt – Volumen eines Spats berechnen

Drei Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ spannen im dreidimensionalen Raum ein Parallelotop oder einen Spat auf. Wir erhalten hier eine weitere geometrische Interpretation des Kreuzprodukts: Das Volumen $V$ des Spats lässt sich durch die folgende Formel aus dem Kreuzprodukt und dem Skalarprodukt berechnen:

$V = \left\vert(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}\right\vert$

$\vec{c}$

Wir berechnen als Beispiel das Volumen $V$ des von den Vektoren $\vec{a}= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ und $\vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ aufgespannten Parallelotops:

$\begin{array}{rcc} V &=& \left\vert(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}\right\vert \\ \\ &=& \left\vert \left( \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\vert \\ \\ &=& \left\vert \begin{pmatrix} 0 \cdot (-1) - 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1) \\ (-1) \cdot 2 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\vert \\ \\ &=& \left\vert \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\vert \\ \\ &=& \big\vert 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + (-2) \cdot 1 \big\vert \\ \\ &=& |{-}3| \\ \\ &=& \underline{\underline{3}} \end{array}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreuzprodukt

Was ist ein Kreuzprodukt von Vektoren?

Das Kreuzprodukt ist eine Rechenregel, die aus zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ einen dritten Vektor $\vec{a} \times \vec{b}$ macht.
Der Vektor $\vec{a} \times \vec{b}$ steht senkrecht auf $\vec{a}$ und auf $\vec{b}$ .

Wie berechne ich das Vektorprodukt von zwei Vektoren?

Um das Vektorprodukt zu berechnen, gehst du folgendermaßen vor:

Zuerst schreibst du die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ in Koordinaten hin: $\vec{a}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$
Jetzt berechnest du das Kreuzprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ mit folgender Formel: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}$
Für die erste Komponente von $\vec{a} \times \vec{b}$ verwendest du dabei die zweite Komponente von $\vec{a}$ und die dritte Komponente von $\vec{b}$ und umgekehrt. Auf die gleiche Weise verfährst du für die zweite und dritte Komponente von $\vec{a} \times \vec{b}$ .

Wie berechnet man das Kreuzprodukt von Einheitsvektoren?

Das Kreuzprodukt von Einheitsvektoren ist im Allgemeinen kein Einheitsvektor.
Das Kreuzprodukt der orthogonalen Einheitsvektoren $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ ist der Einheitsvektor $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Was ist der Unterschied zwischen Kreuzprodukt und Skalarprodukt?

Das Kreuzprodukt von Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt den Vektor $\vec{a} \times \vec{b}$ . Daher heißt das Kreuzprodukt auch Vektorprodukt.
Das Skalarprodukt von Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt den Skalar $\vec{a} \cdot \vec{b}$ .
Das Skalarprodukt ist kommutativ, das Vektorprodukt ist nicht kommutativ (sondern antikommutativ).

Wie interpretiere ich das Kreuzprodukt geometrisch?

Das Kreuzprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ steht senkrecht auf $\vec{a}$ und auf $\vec{b}$ .
Der Betrag von $\vec{a} \times \vec{b}$ ist der Flächeninhalt des von den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms.

Welche Eigenschaften hat das Kreuzprodukt?

Das Kreuzprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ steht senkrecht auf $\vec{a}$ und auf $\vec{b}$ .
Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ, sondern antikommutativ:
$\vec{b} \times \vec{a} = -\vec{a} \times \vec{b}$
Das Kreuzprodukt ist bilinear oder linear in jedem Faktor:
$(r\vec{a}) \times \vec{b} = r (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (r \vec{b})$
Das Kreuzprodukt erfüllt das folgende Distributivgesetz:
$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

Was sind die Rechenregeln des Kreuzprodukts?

Vertauschst du die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ , ändert sich beim Kreuzprodukt nur das Vorzeichen:
$\vec{b} \times \vec{a} = -\vec{a} \times \vec{b}$
Man sagt: Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ, sondern antikommutativ.
Skalierst du einen der Vektoren mit einem Faktor $r$ , skaliert sich das Kreuzprodukt mit dem gleichen Faktor:
$(r\vec{a}) \times \vec{b} = r (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (r \vec{b})$
Man sagt: Das Kreuzprodukt ist linear in jedem Faktor.
Das Kreuzprodukt erfüllt das folgende Distributivgesetz:
$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

Was ist der Zweck des Kreuzprodukts in der Mathematik?

Mit dem Kreuzprodukt berechnest du einen Vektor $\vec{a} \times \vec{b}$ , der auf $\vec{a}$ und auf $\vec{b}$ senkrecht steht.
Mit dem Kreuzprodukt kannst du den Flächeninhalt eines Parallelogramms oder das Volumen eines Parallelotops berechnen.

Wie kann ich das Kreuzprodukt von Vektoren in der Praxis anwenden?

Du kannst das Kreuzprodukt anwenden, um einen Vektor $\vec{a} \times \vec{b}$ zu berechnen, der senkrecht auf $\vec{a}$ und auf $\vec{b}$ steht.
Mit dem Kreuzprodukt kannst du zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ , die nicht Vielfache voneinander sind, zu einer rechtshändigen Basis mit den Basisvektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{a} \times \vec{b}$ ergänzen.
Du berechnest den Flächeninhalt $A$ des von Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms mit der Formel $A = \left\vert\vec{a} \times \vec{b}\right\vert$ .

Wie bestimme ich, ob zwei Vektoren orthogonal zueinander sind?

Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt.

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