Das Kreuzprodukt – Formel, Herleitung und Anwendungen

Erfahre, wie das Kreuzprodukt zweier Vektoren einen neuen Vektor erzeugt, der senkrecht zu beiden steht. Entdecke Anwendungen wie die Bestimmung senkrechter Vektoren und Flächeninhalte von Parallelogrammen. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Kreuzprodukt

Das Quiz zum Thema: Kreuzprodukt

Was ist das Kreuzprodukt?

Frage 1 von 5

Wie wird das Ergebnisvektor beim Kreuzprodukt definiert?

Frage 2 von 5

Welche Eigenschaft hat das Kreuzprodukt bezüglich der Orientierung der Basisvektoren?

Frage 3 von 5

Wie kann das Kreuzprodukt in der Praxis angewendet werden?

Frage 4 von 5

Was ergibt das Kreuzprodukt von parallelen Vektoren?

Frage 5 von 5

Das Kreuzprodukt im Überblick

  • Das Kreuzprodukt zweier Vektoren \vec und \vec ist ein Vektor \vec =\vec \times \vec, der auf \vec und auf \vec senkrecht steht. Mit anderen Worten: Das Kreuzprodukt \vec \times \vec ist orthogonal zu \vec und zu \vec.

  • Das Kreuzprodukt \vec\times \vec der Vektoren \vec= \begin a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end und \vec= \begin b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end berechnest du durch die Formel:
    \vec \times \vec = \begin a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end

  • Die Länge des Ergebnisvektors beim Kreuzprodukt entspricht dem Flächeninhalt eines Parallelogramms, das von den beiden multiplizierten Vektoren aufgespannt wird.

Kreuzprodukt: Lernvideo

Definition des Kreuzprodukts

Das Kreuzprodukt bezeichnet eine Rechenoperation, die aus zwei Vektoren \vec und \vec im dreidimensionalen Vektorraum einen neuen Vektor \vec = \vec \times \vec macht. Man bezeichnet das Kreuzprodukt auch als Vektorprodukt. Oft bezeichnet man als Kreuzprodukt von Vektoren nicht nur die Rechenoperation selbst, sondern auch ihr Ergebnis: Der Vektor \vec \times \vec ist das Kreuzprodukt der Vektoren \vec und \vec.
Zu unterscheiden ist das Kreuzprodukt vom Skalarprodukt, das aus zwei Vektoren \vec und \vec die Zahl oder den Skalar \vec \cdot \vec berechnet.

Zur Definition des Vektorprodukts gehen wir von Vektoren \vec und \vec in Komponentenschreibweise aus:

\vec = \begin a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end \quad \text \quad \vec = \begin b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end

In Koordinatenschreibweise kannst du nun das Kreuzprodukt \vec \times \vec einfach berechnen:

\vec \times \vec = \begin a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end

Diese Formel definiert den Vektor \vec = \vec \times \vec.

Kreuzprodukt – Rechenregeln und Eigenschaften

Das Kreuzprodukt \vec \times \vec von Vektoren im dreidimensionalen Raum hat viele nützliche Eigenschaften:

  • \vec = \vec \times \vec steht senkrecht auf \vec und auf \vec.
  • Die Vektoren \vec, \vec und \vec = \vec \times \vec bilden eine rechtshändig orientierte Basis (sofern \vec und \vec linear unabhängig sind).
  • Das Kreuzprodukt der beiden ersten Standardbasisvektoren \vec_1 = \begin 1 \\ 0 \\ 0 \end und \vec_2 = \begin 0 \\ 1 \\ 0 \end ist der dritte Standardbasisvektor:
    \vec_1 \times \vec_2 = \begin1 \\ 0 \\ 0 \end \times \begin0 \\ 1 \\ 0 \end = \begin 0 \\ 0 \\ 1 \end = \vec_3
  • Vertauschst du die Reihenfolge von \vec und \vec, ändert sich beim Kreuzprodukt das Vorzeichen, d. h. \vec \times \vec = -\vec \times \vec. Das Kreuzprodukt ist also nicht kommutativ.
  • Skalierst du einen der beiden Vektoren \vec oder \vec mit einem Faktor r, skaliert sich auch das Kreuzprodukt:
    (r\vec) \times \vec = r (\vec \times \vec) = \vec \times (r \vec)
    Man sagt: Das Kreuzprodukt ist bilinear bzw. linear in jedem Faktor einzeln.
  • Das Kreuzprodukt erfüllt das folgende Distributivgesetz:
    \vec \times (\vec + \vec) = \vec \times \vec + \vec \times \vec
  • Das Kreuzprodukt paralleler Vektoren ist immer null.
  • Das Kreuzprodukt von Einheitsvektoren (d. h. Vektoren der Länge 1) \vec und \vec ist nur dann ein Einheitsvektor, wenn \vec und \vec orthogonal zueinander sind.
  • Der Betrag des Kreuzprodukts \left\vert \vec \times \vec \right\vert ist der Flächeninhalt A des von den Vektoren \vec und \vec aufgespannten Parallelogramms.
  • Drei Vektoren \vec, \vec und \vec spannen einen Spat auf – so etwas wie ein dreidimensionales Parallelogramm. Das Volumen V des Spats berechnest du mit dem Kreuzprodukt und dem Skalarprodukt:
    V = \left\vert (\vec \times \vec) \cdot \vec \right\vert
    Dieses Produkt aus drei Vektoren trägt daher auch den Namen Spatprodukt.

Gegeben sind zwei Vektoren \vec = \begin a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end und \vec = \begin b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end, gesucht ist ein Vektor \vec = \begin n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end, der senkrecht auf \vec und senkrecht auf \vec steht. Wir leiten eine Formel für diesen Vektor \vec her.

Die Orthogonalität von Vektoren \vec und \vec bezeichnen wir mit \vec \perp \vec. Dass die Vektoren \vec und \vec aufeinander senkrecht stehen, ist äquivalent dazu, dass für ihr Skalarprodukt gilt:
\vec \cdot \vec =0

Die Bedingungen \vec \perp \vec und \vec \perp \vec schreiben wir daher als Gleichungen der Skalarprodukte:

\begin \vec \cdot \vec &=& n_1 a_1 & + & n_2 a_2 & + & n_3 a_3 \\ &= & 0 \\ \vec \cdot \vec &=& n_1 b_1 & + & n_2 b_2 & + & n_3 b_3 \\ &= & 0 \end

In diesem linearen Gleichungssystem für das Kreuzprodukt sind die Komponenten a_1, a_2, a_3 und b_1, b_2, b_3 der gegebenen Vektoren die Koeffizienten und die Komponenten des Kreuzprodukts n_1, n_2 und n_3 sind die Variablen. Das Gleichungssystem hat zwei Gleichungen mit den drei Variablen n_1, n_2 und n_3. Das Gleichungssystem hat daher unendlich viele Lösungen. Das Kreuzprodukt ist also neben der Orthogonalität der Vektoren nur durch eine weitere Bedingung eindeutig festgelegt. Oder anders gesagt: Wir werden während der Herleitung eine der Variablen frei wählen können. Dies wird die Variable n_3 sein.

Um das Gleichungssystem zu lösen, eliminieren wir zuerst die Variable n_2. Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit b_2 und subtrahieren sie von der mit a_2 multiplizierten zweiten Gleichung. Wir erhalten dann die neue Gleichung:

n_1 a_1 b_2 - n_1 b_1 a_2 + n_3 a_3 b_2 - n_3 b_3 a_2= 0

Nun klammern wir n_1 und n_3 aus und bringen alle n_3-Terme auf die linke Seite der Gleichung:

n_1 (a_1 b_2 - b_1 a_2) = n_3 (b_3 a_2 - a_3 b_2)
Als Nächstes dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch den Faktor von n_1 auf der linken Seite und erhalten:

n_1 = n_3 \cdot \dfrac

Nun benutzen wir, dass die Variable n_3 frei wählbar ist. Die obige Gleichung für n_1 wird viel einfacher, wenn wir als n_3 den Nenner der rechten Seite wählen, also wenn wir setzen:

n_3 = (a_1 b_2 - b_1 a_2)

Denn damit kürzt sich der Term für n_3 und wir erhalten in der Gleichung für n_1:

n_1 = n_3 \cdot \dfrac = (a_1 b_2 - b_1 a_2) \cdot \dfrac = (b_3 a_2 - a_3 b_2)

Jetzt haben wir schon zwei der drei Komponenten bestimmt. Die Komponente n_2 erhalten wir, indem wir die Formeln für n_1 und n_3 in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen. Wir wählen hier erste Gleichung und setzen n_1 und n_3 dort ein:

(b_3 a_2 - a_3 b_2)\cdot a_1 + n_2 a_2 + (a_1 b_2 - b_1 a_2) \cdot a_3 = 0

Um n_2 zu bestimmen, lösen wir diese Gleichung zuerst nach n_2 a_2 auf und multiplizieren die Klammern aus:

\begin n_2 a_2 &=& -(b_3 a_2 - a_3 b_2)\cdot a_1 - (a_1 b_2 - b_1 a_2) \cdot a_3 \\ &=& -b_3 a_2 a_1 + a_3 b_2 a_1 -a_1 b_2 a_3 + b_1 a_2 a_3 \\ &=& -b_3 a_2 a_1 + b_1 a_2 a_3 \end

Dabei sind im letzten Schritt beide mittleren Terme weggefallen, denn sie sind identisch bis auf das Vorzeichen. Aus dem Term auf der rechten Seite können wir a_2 ausklammern und erhalten:

n_2 a_2 = (-b_3 a_1 + b_1 a_3) \cdot a_2

Wir dividieren diese Gleichung noch durch a_2 und erhalten schließlich:

n_2 = (a_3 b_1 - a_1 b_3)

Damit haben wir Formeln für alle drei Komponenten des Kreuzprodukts hergeleitet. Das Kreuzprodukt \vec = \vec \times \vec ist also:

\vec = \begin a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end \times \begin b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end = \begin a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end

Kreuzprodukt – Anwendungen

Mithilfe des Kreuzprodukts kannst du:

  • senkrechte Vektoren bestimmen,
  • eine rechtshändig orientierte Basis eines dreidimensionalen Vektorraums konstruieren,
  • den Flächeninhalt eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms berechnen und
  • das Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten Spats berechnen.

Kreuzprodukt – senkrechte Vektoren bestimmen

Sind die Vektoren \vec und \vec gegeben, kannst du mit dem Kreuzprodukt einen Vektor \vec \times \vec berechnen, der sowohl auf \vec als auch auf \vec senkrecht steht. Wir berechnen als Beispiel das Kreuzprodukt von \vec = \begin 1 \\ 2 \\ 3 \end und \vec = \begin 2 \\ 3 \\ 4 \end:

\vec \times \vec = \begin 2 \cdot 4 - 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 - 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot 3 - 2 \cdot 2 \end = \begin -1 \\ 2 \\ -1 \end

Dieser Vektor steht senkrecht auf \vec:

(\vec \times \vec) \cdot \vec = \begin -1 \\ 2 \\ -1 \end \cdot \begin 1 \\ 2 \\ 3 \end = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 = -1 + 4 -3 = 0

Der Vektor \vec \times \vec steht auch senkrecht auf \vec:

(\vec \times \vec) \cdot \vec = \begin -1 \\ 2 \\ -1 \end \cdot \begin 2 \\ 3 \\ 4 \end = (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 = -2+6-4 = 0

Kreuzprodukt – rechtshändig orientierte Basis bestimmen

Sind die Vektoren \vec und \vec linear unabhängig, bilden die Vektoren \vec, \vec und \vec \times \vec zusammen eine rechtshändig orientierte Basis im dreidimensionalen Raum \left(\mathbb R^3\right). Um eine solche Basis zu bestimmen, brauchst du also nur zwei Vektoren \vec und \vec, die nicht Vielfache voneinander sind. Diese beiden Vektoren kannst du als Basisvektoren verwenden. Nimmst du das Kreuzprodukt \vec \times \vec als dritten Vektor dazu, erhältst du die rechtshändig orientierte Basis \vec, \vec, \vec \times \vec.

Sind die Vektoren \vec und \vec Einheitsvektoren und orthogonal zueinander, ist auch das Kreuzprodukt \vec \times \vec ein Einheitsvektor und orthogonal zu den beiden anderen. Sind die Einheitsvektoren \vec und \vec nicht orthogonal zueinander, ist das Kreuzprodukt der Einheitsvektoren kein Einheitsvektor.

Kreuzprodukt – Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen

Zwei Vektoren \vec und \vec spannen ein Parallelogramm in der Ebene auf. Diese Ebene ist im Allgemeinen keine Koordinatenebene, sondern eine schräge Ebene im Raum, die von den Vektoren \vec und \vec aufgespannt wird. Wir können das Kreuzprodukt geometrisch interpretieren: Der Betrag des Vektors \vec \times \vec ist der Flächeninhalt des von \vec und \vec aufgespannten Parallelogramms:

A = \left\vert\vec \times \vec\right\vert

\vec{b}

Als Beispiel berechnen wir den Flächeninhalt A des von den Vektoren \vec = \begin 3 \\ 0 \\ 0 \end und \vec = \begin 1 \\ 2 \\ 0 \end aufgespannten Parallelogramms:

A = \bigvert \vec \times \vec \bigvert = \left\vert \begin 3 \\ 0 \\ 0 \end \times \begin 1 \\ 2 \\ 0 \end \right\vert = \left\vert \begin 0 \cdot 0 - 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 - 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 2 - 0 \cdot 1 \end \right\vert = \sqrt = \underline

Kreuzprodukt – Volumen eines Spats berechnen

Drei Vektoren \vec, \vec und \vec spannen im dreidimensionalen Raum ein Parallelotop oder einen Spat auf. Wir erhalten hier eine weitere geometrische Interpretation des Kreuzprodukts: Das Volumen V des Spats lässt sich durch die folgende Formel aus dem Kreuzprodukt und dem Skalarprodukt berechnen:

V = \left\vert(\vec \times \vec) \cdot \vec\right\vert

\vec{c}

Wir berechnen als Beispiel das Volumen V des von den Vektoren \vec= \begin -1 \\ 0 \\ 0 \end und \vec = \begin 0 \\ 2 \\ -1 \end und \vec = \begin 0 \\ 1 \\ 1 \end aufgespannten Parallelotops:

\begin V &=& \left\vert(\vec \times \vec) \cdot \vec\right\vert \\ \\ &=& \left\vert \left( \begin -1 \\ 0 \\ 0 \end \times \begin 0 \\ 2 \\ -1 \end \right) \cdot \begin 0 \\ 1 \\ 1 \end \right\vert \\ \\ &=& \left\vert \begin 0 \cdot (-1) - 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1) \\ (-1) \cdot 2 - 0 \cdot 0 \end \cdot \begin 0 \\ 1 \\ 1 \end \right\vert \\ \\ &=& \left\vert \begin 0 \\ -1 \\ -2 \end \cdot \begin 0 \\ 1 \\ 1 \end \right\vert \\ \\ &=& \big\vert 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + (-2) \cdot 1 \big\vert \\ \\ &=& |3| \\ \\ &=& \underline \end

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreuzprodukt

  • Das Kreuzprodukt ist eine Rechenregel, die aus zwei Vektoren \vec und \vec einen dritten Vektor \vec \times \vec macht.
  • Der Vektor \vec \times \vec steht senkrecht auf \vec und auf \vec.

Um das Vektorprodukt zu berechnen, gehst du folgendermaßen vor:

  • Zuerst schreibst du die beiden Vektoren \vec und \vec in Koordinaten hin: \vec= \begin a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end und \vec= \begin b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end
  • Jetzt berechnest du das Kreuzprodukt \vec \times \vec mit folgender Formel: \vec \times \vec = \begin a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end
    Für die erste Komponente von \vec \times \vec verwendest du dabei die zweite Komponente von \vec und die dritte Komponente von \vec und umgekehrt. Auf die gleiche Weise verfährst du für die zweite und dritte Komponente von \vec \times \vec.
  • Das Kreuzprodukt von Einheitsvektoren ist im Allgemeinen kein Einheitsvektor.
  • Das Kreuzprodukt der orthogonalen Einheitsvektoren \begin 1 \\ 0 \\ 0 \end und \begin 0 \\ 1 \\ 0 \end ist der Einheitsvektor \begin 0 \\ 0 \\ 1 \end.
  • Das Kreuzprodukt von Vektoren \vec und \vec ergibt den Vektor \vec \times \vec. Daher heißt das Kreuzprodukt auch Vektorprodukt.
  • Das Skalarprodukt von Vektoren \vec und \vec ergibt den Skalar \vec \cdot \vec.
  • Das Skalarprodukt ist kommutativ, das Vektorprodukt ist nicht kommutativ (sondern antikommutativ).
  • Das Kreuzprodukt \vec \times \vec zweier Vektoren \vec und \vec steht senkrecht auf \vec und auf \vec.
  • Der Betrag von \vec \times \vec ist der Flächeninhalt des von den Vektoren \vec und \vec aufgespannten Parallelogramms.
  • Das Kreuzprodukt \vec \times \vec zweier Vektoren \vec und \vec steht senkrecht auf \vec und auf \vec.
  • Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ, sondern antikommutativ:
    \vec \times \vec = -\vec \times \vec
  • Das Kreuzprodukt ist bilinear oder linear in jedem Faktor:
    (r\vec) \times \vec = r (\vec \times \vec) = \vec \times (r \vec)
  • Das Kreuzprodukt erfüllt das folgende Distributivgesetz:
    \vec \times (\vec + \vec) = \vec \times \vec + \vec \times \vec
  • Vertauschst du die Vektoren \vec und \vec, ändert sich beim Kreuzprodukt nur das Vorzeichen:
    \vec \times \vec = -\vec \times \vec
    Man sagt: Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ, sondern antikommutativ.
  • Skalierst du einen der Vektoren mit einem Faktor r, skaliert sich das Kreuzprodukt mit dem gleichen Faktor:
    (r\vec) \times \vec = r (\vec \times \vec) = \vec \times (r \vec)
    Man sagt: Das Kreuzprodukt ist linear in jedem Faktor.
  • Das Kreuzprodukt erfüllt das folgende Distributivgesetz:
    \vec \times (\vec + \vec) = \vec \times \vec + \vec \times \vec
  • Mit dem Kreuzprodukt berechnest du einen Vektor \vec \times \vec, der auf \vec und auf \vec senkrecht steht.
  • Mit dem Kreuzprodukt kannst du den Flächeninhalt eines Parallelogramms oder das Volumen eines Parallelotops berechnen.
  • Du kannst das Kreuzprodukt anwenden, um einen Vektor \vec \times \vec zu berechnen, der senkrecht auf \vec und auf \vec steht.
  • Mit dem Kreuzprodukt kannst du zwei Vektoren \vec und \vec, die nicht Vielfache voneinander sind, zu einer rechtshändigen Basis mit den Basisvektoren \vec, \vec, \vec \times \vec ergänzen.
  • Du berechnest den Flächeninhalt A des von Vektoren \vec und \vec aufgespannten Parallelogramms mit der Formel A = \left\vert\vec \times \vec\right\vert.
  • Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt.

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