Höhensatz und Kathetensatz – Formeln und Beweis

Höhensatz und Kathetensatz sind zwei Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras, die für rechtwinklige Dreiecke gelten. Dafür gehen wir im Folgenden allgemein von einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten und , der Hypotenuse und der Höhe aus. Die Hypotenusenabschnitte, die durch Teilung der Hypotenuse am Höhenfußpunkt entstehen, werden mit und bezeichnet.

Der Höhensatz verknüpft die Höhe und die Hypotenusenabschnitte und .

Der Höhensatz ist durch die Formel definiert. Die Bedeutung des Höhensatzes ist also, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Höhe dem Produkt der Hypotenusenabschnitte und entspricht.

Den Beweis für den Höhensatz liefert eine geometrische Herleitung.
Wir betrachten dazu allgemein ein rechtwinkliges Dreieck, das durch die Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt wird. Diese beiden Dreiecke werden nun auf zwei unterschiedliche Arten in ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Länge und gelegt. Dabei ist die verbleibende Fläche einmal ein Quadrat mit Flächeninhalt und einmal ein Rechteck mit Flächeninhalt . In der Darstellung siehst du, wie das orangefarbene und das grüne Dreieck zusammen mit der weißen Fläche jeweils das gleiche Dreieck bilden. Der Flächeninhalt der beiden weißen Flächen muss daher identisch sein.
Somit gilt allgemein:

Wir wollen die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks mit und berechnen.

Wenn wir die Formel umstellen, können wir mit dem Höhensatz auch die Längen der Hypotenusenabschnitte berechnen.

Der Kathetensatz verknüpft die Katheten und mit den Hypotenusenabschnitten und .

Der Kathetensatz ist durch die Formeln und definiert. In Worten lautet der Kathetensatz im rechtwinkligen Dreieck: Das Quadrat einer Kathete entspricht dem Produkt der Hypotenuse mit dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt.

Den Beweis für den Kathetensatz liefert eine geometrische Herleitung. Wir wollen hier stellvertretend nur die Formel herleiten. Der Beweis für die zweite Formel des Kathetensatzes kann analog geführt werden.
Zunächst ergänzen wir das rechtwinklige Dreieck um das Quadrat über der Kathete . Da die Seite auch die Hypotenuse des rechten Teildreiecks ist, können wir dieses rechtwinklige Dreiecke rechts an das Quadrat anfügen. Das Kathetenquadrat mit Fläche kann allgemein als Parallelogramm mit Grundseite und Höhe , wie in der linken Darstellung gekennzeichnet, betrachtet werden. Durch eine Scherung dieses Parallelogramms (also des Quadrats) entlang der Kathete erhalten wir das flächengleiche Parallelogramm in der rechten Darstellung. Seinen Flächeninhalt können wir auf zwei Arten berechnen:

Damit gilt:

Betrachten wir eine bildliche Darstellung des Kathetensatzes für beide Katheten, fällt auf, dass diese zusammengenommen dem Satz des Pythagoras entsprechen.

Wir fassen die beiden unteren Rechtecke zusammen:

Durch Addition der Gleichungen ergibt sich also, wenn wir einsetzen, der Satz des Pythagoras:

Wir können so den Beweis für den Satz des Pythagoras mit dem Kathetensatz führen.

Wir wollen die Katheten und eines rechtwinkligen Dreiecks mit und berechnen.