Gewinnfunktion und Erlösfunktion berechnen und maximieren

Verstehe Gewinn- und Erlösfunktionen: Die Erlösfunktion berechnet den Umsatz eines Produkts, während die Gewinnfunktion den tatsächlichen Gewinn angibt. Entdecke, wie man sie berechnet, Gewinn maximiert und den Unterschied zwischen Monopol und Polypol versteht.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Gewinnfunktion und Erlösfunktion

Gewinnfunktion und Erlösfunktion im Überblick

  • Die Erlösfunktion wird beschrieben durch die Formel E(x)=p(x) \cdot x.
  • Die Gewinnfunktion G(x) ist die Differenz aus der Erlösfunktion E(x) und der Kostenfunktion K(x).

  • Der Wert von G(x) gibt an, ob es sich um einen Gewinn, Verlust oder den Break-even-Point handelt.

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Quelle: sofatutor.com

Erlösfunktion – Formel

Die Erlösfunktion E(x) gibt an, wie groß der Umsatz durch den Verkauf eines Produkts ist. Manchmal wird die Erlösfunktion deshalb auch Umsatzfunktion genannt. Sie ist das Produkt aus dem Stückpreis p(x) und der Anzahl x der verkauften Produkte. Die Funktion p(x) beschreibt den Stückpreis in Abhängigkeit von der Absatzmenge x. Der Stückpreis hängt von der Absatzmenge ab, weil Kunden z. B. weniger pro Stück bezahlen müssen, je mehr Stück sie abnehmen. Die Funktion p(x) wird daher auch Preis-Absatz-Funktion genannt.

E(x)=p(x) \cdot x

Erlösfunktion – Monopol und Polypol

Wird das Produkt nur von einem Anbieter verkauft, spricht man von einem Monopol. Gibt es mehrere Anbieter, die das gleiche Produkt verkaufen, spricht man von einem Polypol.
Je nachdem ob es sich um ein Monopol oder Polypol handelt, ändert sich die Formel für die Preis-Absatz-Funktion und die Erlösfunktion. Bei einem Monopol verwendet man als Preis-Absatz-Funktion eine lineare Funktion p(x) = mx+b. Bei einem Polypol-Markt ist der Verkaufspreis für alle Anbieter gleich und unabhängig von der Absatzmenge. Daher ist p eine Konstante und keine Funktion von x.

Erlösfunktion E(x)
Monopol Polypol
E(x)=p(x) \cdot x=(m \cdot x+b)x E(x)=p \cdot x

Erlösfunktion – Beispiel

Stell dir vor, du möchtest auf eurem Schulfest Waffeln verkaufen. Eine Waffel soll 1,\!50\,€ kosten – unabhängig davon, wie viele Waffeln jemand kauft. Du verwendest also p=1,\!50 – unabhängig von x. Die Erlösfunktion ist dann E(x)=1,\!50 \cdot x.

Insgesamt verkaufst du 87 Waffeln auf dem Schulfest. Wir berechnen den Umsatz mit der Erlösfunktion:
E(87)=1,\!50 \cdot 87=130,\!50
Somit hast du einen Umsatz von 130,\!50\,€ gemacht.

Graph der Erlösfunktion Beispiel

Gewinnfunktion einfach erklärt

Die Gewinnfunktion G(x) ist die Differenz aus der Erlösfunktion und der Kostenfunktion.

G(x)=E(x)-K(x)
Die Gewinnfunktion beschreibt den Gewinn, den ein Unternehmen mit dem Verkauf eines Produkts in Abhängigkeit von der Absatzmenge x macht.

Die Kostenfunktion ist die Summe aus den fixen und den variablen Kosten des Produkts bei der Absatzmenge x:

K(x)=K_{\text{fix}}-K_{\text{var}}(x)

Für die Gewinnfunktion ergibt sich damit:

G(x)=p(x) \cdot x - (K_{\text{fix}}+K_{\text{var}}(x))

Die Gewinnfunktion gibt also an, ob und wie viel Gewinn oder Verlust mit dem Verkauf eines Produkts erzielt wird.

Ist G(x) > 0, wird ein Gewinn erzielt.
Ist G(x) < 0, handelt es sich um einen Verlust.
Bei G(x)=0 ist der sogenannte Break-even-Point erreicht (E(x)=K(x)).

Gewinnfunktion ableiten – Steigung

Die Steigung der Gewinnfunktion wird beschrieben durch ihre Ableitung G^\prime(x). Bei einem Monopol-Markt kannst du das Maximum der Gewinnfunktion in Abhängigkeit von der Absatzmenge x suchen. Falls die Gewinnfunktion ein relatives Maximum besitzt, liegt dieses an der Nullstelle der Ableitungsfunktion. An dieser Stelle x_0 ist der Gewinn, also die Differenz aus Erlös und Kosten, maximal im Vergleich zu anderen Stellen x in der Nähe.

Um herauszufinden, wie groß der größtmögliche Gewinn ist und für welches x dieser existiert, kannst du dich an den folgenden Schritten orientieren:

Leite die Funktion G(x) ab.
Setze die Ableitung G^\prime(x) gleich null und löse nach der Variablen auf.
Setze das Ergebnis in die Funktion G(x) ein, um den maximalen Gewinn zu berechnen.

Dabei ist x die Absatzmenge, für die der Gewinn maximal wird.

Gewinnfunktion – Beispiel

In dem Beispiel oben zur Erlösfunktion verkaufst du Waffeln auf dem Schulfest zum Stückpreis von 1,\!50\,€ und erzielst beim Verkauf von 87 Waffeln einen Umsatz von 130,\!50\,€. Für den Teig hast du insgesamt 23\,€ bezahlt. Es ist also K_{\text{fix}}=23\,€. Zusätzlich zu einer Waffel gibst du Pappteller für umgerechnet 0,\!10\,€ pro Stück raus. Somit ist k_{var}(x)=x\cdot 0,\!10.

Aus den Fixkosten und den variablen Kosten erhältst du die Kostenfunktion:

K(x) = K_{\text{fix}} + K_{\text{var}}(x) = 23 + x\cdot 0,\!10

Aus der Kostenfunktion und der Erlösfunktion erhältst du die Gewinnfunktion:

G(X) = E(x) - K(x) = x\cdot 1,\!50 - 23\ - x\cdot 0,\!10 = 1,\!40 \cdot x -23

Setze die Absatzmenge x=87 entweder in die Formel für die Gewinnfunktion direkt oder in die Erlösfunktion und in die Kostenfunktion einzeln ein und du erhältst:

G(87) = 130,\!50-23-0,\!1 \cdot 87=98,\!80

Dir bleibt also ein Gewinn von 98,\!80\,€.

Graph von Gewinn- und Kostenfunktion Beispiel

Da du keinen Preisnachlass gibst, wenn jemand mehrere Waffeln kauft, ist der Preis der Waffeln unabhängig von der Absatzmenge x. Du brauchst kein lokales Maximum der Gewinnfunktion zu suchen, denn der Gewinn steigt linear mit der Absatzmenge. Je mehr Waffeln du verkaufst, desto größer ist der Gewinn.
An der Nullstelle der Gewinnfunktion erkennst du zudem, dass du ab 16,\!4 verkauften Waffeln Gewinn machst. Du musst also mindestens 17 Waffeln verkaufen, um keinen Verlust zu machen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Gewinnfunktion und Erlösfunktion

Die Gewinnfunktion ist die Differenz aus Erlösfunktion und Kostenfunktion. Sie ist gegeben durch die Formel G(x)=E(x)-K(x).

Die Erlösfunktion beschreibt den Umsatz, der mit dem Verkauf eines Produkts erzielt wurde. Allgemein gilt E(x)=p(x) \cdot x. Hierbei ist x die Absatzmenge und p(x) der Stückpreis.

Die Gewinnfunktion berechnest du, indem du die Kostenfunktion von der Erlösfunktion abziehst.

Die Erlösfunktion E(x) erhältst du, wenn du den Stückpreis p(x) mit der Absatzmenge x multiplizierst. Die Formel für die Erlösfunktionen lautet E(x)=p(x) \cdot x.

Die Erlösfunktion gibt den Umsatz an, der mit dem Verkauf eines Produkts erzielt wird, während die Gewinnfunktion den tatsächlichen Gewinn angibt.

Die Gewinnfunktion ist die Differenz aus der Erlösfunktion und der Kostenfunktion.

Der Grenzerlös ist die Ableitung der Erlösfunktion E^\prime(x).

Die Gewinnfunktion kannst du wie jede andere Funktion auch ableiten. Da die Gewinnfunktion aus einer Summe besteht, wendest du meistens die Summenregel an.

Die Gewinnfunktion kannst du aufstellen, indem du G(x)=E(x)-K(x) berechnest. Dabei steht E(x) für die Erlösfunktion und K(x) für die Kostenfunktion.
Die Kostenfunktion ist die Summe aus allen fixen und variablen Kosten:
K(x)=K_{\text{fix}}+K_{\text{var}}(x)

Um den maximalen Gewinn mithilfe der Gewinnfunktion zu berechnen, bildest du zunächst die Ableitung G^\prime(x) und setzt diese gleich null. Den Wert, den du für x erhältst, setzt du dann in G(x) ein und erhältst den maximalen Gewinn.

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