Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung

Erfahre, wie die Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung uns Kreisbewegungen erklären. Winkelgeschwindigkeit zeigt, wie schnell sich ein Winkel ändert, während Winkelbeschleunigung angibt, wie sich die Winkelgeschwindigkeit verändert.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung

Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung im Überblick

  • Die Winkelgeschwindigkeit \omega und die Winkelbeschleunigung \alpha verhalten sich zum Winkel \varphi so wie die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a zur Position x.

  • Die Winkelgeschwindigkeit \omega gibt also an, wie schnell sich ein Winkel \varphi ändert, ist also die zeitliche Ableitung des Winkels.

  • Die Winkelbeschleunigung \alpha gibt an, wie sich die Winkelgeschwindigkeit \omega ändert, und lässt sich somit durch die zeitliche Ableitung aus der Winkelgeschwindigkeit berechnen.

  • Für eine gleichmäßig beschleunigte Rotationsbewegung lautet die Formel für den zurückgelegten Winkel \varphi = \frac{1}{2} \alpha \cdot t^2 + \omega_0 \cdot t + \alpha_0. Diese Formel ähnelt sehr stark der Formel für die geradlinige, gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Der Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit ist \omega = \alpha \cdot t, ebenfalls in Analogie zur geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

  • Die Einheit der Winkelbeschleunigung ist \frac{\text{rad}}{\text{s}^2}, die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist \frac{\text{rad}}{\text{s}}.

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Quelle sofatutor.com

Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung – Motivation und Formeln

Wofür brauchen wir eigentlich die Winkelgeschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung? Die Winkelgeschwindigkeit und auch die Winkelbeschleunigung sind Größen, die uns dabei helfen, Kreisbewegungen zu beschreiben, da die Beschreibung von Kreisbewegungen in kartesischen Koordinaten sehr umständlich ist. Zudem ermöglichen sie es einem, die bereits bekannten Formeln für die geradlinigen Bewegungen zu nutzen, nur eben mit anderen Namen für die Variablen.

So werden aus den Formeln für die Position und die Geschwindigkeit bei einer geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung

x = \frac{1}{2}\cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + x_0
v = a \cdot t

die Gleichungen für den Winkel und die Winkelgeschwindigkeit in einer gleichmäßig beschleunigten Kreisbewegung.

\phi = \frac{1}{2} \cdot \alpha \cdot t^2 + \omega_0 \cdot t + \alpha_0
\omega = \alpha \cdot t + \omega_0

Anmerkung: Die hier genannten Formel gelten nicht nur für den Winkel in den Polarkoordinaten, sondern auch für die Zylinderkoordinaten und die Kugelkoordinaten. Bei den Kugelkoordinaten muss lediglich die Ebene der Drehung beachtet werden, da diese für beide Winkel unterschiedlich ist.

Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung – Beispiel

Ein einfaches und anschauliches Beispiel zur Winkelgeschwindigkeit und zur Winkelbeschleunigung bietet ein Kettenkarussell. Zu Beginn befinden sich alle Personen in Ruhe. Nun wird das Karussell mit einem Radius von r = 5\,\text{m} 10\,\text{s} lang mit einer Winkelbeschleunigung von \alpha = \frac{0,1\,\pi}{\text{s}^{2}} beschleunigt. Wir wollen nun wissen, wie weit sich das Karussell in dieser Zeit gedreht hat und wie hoch die Winkelgeschwindigkeit nach dem Beschleunigungsvorgang ist. Des Weiteren soll auch die nach Ende der Beschleunigungsphase für eine Umdrehung benötigte Zeit sowie die Tangentialgeschwindigkeit der Passagiere berechnet werden.

Beginnen wir mit der Winkelgeschwindigkeit. Da es sich bei diesem Beispiel um eine gleichmäßig beschleunigte Rotation handelt, können wir Gleichungen aus dem vorherigen Abschnitt verwenden. Zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit nutzen wir also die Formel:

\omega = \alpha \cdot t + \omega_0

Da wir ohne eine Winkelgeschwindigkeit starten, folgt, dass \omega_0 = 0 ist.
Setzen wir nun ein, erhalten wir die folgende Rechnung:

\omega = \frac{0,1 \pi}{\text{s}^2} \cdot 10\,\text{s} = 1 \cdot \frac{\pi}{\text{s}} = \frac{180^\circ}{\text{s}}

Unser Karussell dreht sich nach Ende der Beschleunigungsphase in einer Sekunde also eine halbe Umdrehung weiter. Die Berechnung der Zeit für eine Umdrehung lässt sich hier schnell im Kopf berechnen. Wenn eine Sekunde für eine halbe Umdrehung benötigt wird, dauert eine ganze Umdrehung offensichtlich zwei Sekunden. Daher können wir an diesem Beispiel gleich prüfen, ob unsere Ergebnisse, die wir aus der Formel erhalten, überhaupt stimmen können. Die Periodendauer T einer Drehung lässt sich folgendermaßen bestimmen:

T = \frac{2 \pi}{\omega}

Falls die Winkelgeschwindigkeit in Grad angegeben ist, gilt:

T = \frac{360^\circ}{\omega}

Wir nehmen nun die oben berechnete Winkelgeschwindigkeit, die in Radiant gegeben ist, und erhalten:

T = \frac{2 \pi}{\left( 1\cdot \frac{\pi}{\text{s}} \right)} = 2\,\text{s}

Dies entspricht unserer Erwartung.

Unter der Kenntnis der Periodendauer (auch Umlaufzeit genannt) lässt sich auch die Frequenz der Drehung sehr leicht mit der folgenden Formel berechnen:

f = \frac{1}{T}=\frac{1}{2\,\text{s}}=0,5\,\text{Hz}

Nun wissen wir bereits, wie man die Winkelgeschwindigkeit, die Periodendauer und die Frequenz für eine Rotationsbewegung ausrechnen kann. Manchmal ist es aber auch notwendig, zu berechnen, wie weit sich ein Körper während der Beschleunigungsphase gedreht hat. Wir wollen nun also den Winkel \varphi berechnen. Da es sich hier immer noch um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt, können wir auch hier die Formel aus dem vorherigen Abschnitt verwenden.

\varphi = \frac{1}{2} \cdot \alpha \cdot t^2 + \omega_0 \cdot t + \alpha_0

Da wir aus der Ruhe starten und für uns der Anfangswinkel nicht wichtig ist, können wir \omega_0 und \alpha_0 gleich null setzen. Unsere Gleichung vereinfacht sich somit also zu:

\varphi = \frac{1}{2} \cdot \alpha \cdot t^2

Für unser Beispiel ergibt sich durch Einsetzen demnach folgendes Ergebnis:

\phi = \frac{1}{2} \frac{0,1 \pi}}{\text{s}^2} \cdot (10\,\text{s})^2 = 5 \pi = 900^\circ

Dies entspricht 2,5 Umdrehungen!

Für ungleichmäßig beschleunigte Drehungen müsste dieses Problem dann durch Integration gelöst werden. Die Integration soll in diesem Text jedoch nicht behandelt werden.

Nun bleibt nur noch die Frage, wie schnell sich unsere Passagiere am Ende auf dem Karussell bewegen. Hierfür ist es nützlich, die Tangentialgeschwindigkeit auszurechnen. Dies wäre nämlich auch die Geschwindigkeit, mit der sich ein Passagier geradeaus weiter bewegen würde, wenn er vom Karussell abspringen würde.

Die Tangentialgeschwindigkeit oder auch Bahngeschwindigkeit lässt sich mit der folgenden Formel ganz einfach berechnen.

v_\text{tang} = \omega \cdot r

Unsere Winkelgeschwindigkeit haben wir bereits berechnet. Damit in der Formel jedoch mit den Einheiten alles passt, ist es notwendig, hier die Winkelgeschwindigkeit in Radiant einzusetzen.
Wir erhalten für unser Beispiel durch Einsetzen:

v_\text{tang} = \frac{1\pi}{\text{s}} \cdot 5\,\text{m} = 15,7\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 56,5\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung

Die Winkelgeschwindigkeit ist die Rate, mit der sich ein Winkel verändert.

In Zeichnungen wird die Winkelgeschwindigkeit oft entlang der Drehrichtung eingezeichnet. Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit ist aber ganz korrekt parallel zur Drehachse und zwar so, dass der Daumen der rechten Hand die Winkelgeschwindigkeit anzeigt, wenn die gekrümmten Finger in Drehrichtung zeigen.

Die Winkelgeschwindigkeit lässt sich für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegungen durch \omega = \alpha \cdot t + \omega_0 berechnen. Die Winkelgeschwindigkeit kann aber auch aus einer Winkeldifferenz und der dafür benötigten Zeit bestimmt werden (\omega = \frac{\varphi_1 - \varphi_0}{\Delta t}), wenn sie konstant ist.

Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, wie schnell sich ein Winkel ändert.

Die Bahngeschwindigkeit gibt an, welche Strecke pro Zeit zurückgelegt wird. Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, welcher Winkel pro Zeit zurückgelegt wird. Der Zusammenhang zwischen beiden ist:
 v= \omega \cdot r

Die Winkelgeschwindigkeit kann entweder in der Einheit {\frac{\text{rad}}{s}} oder in \frac{\text{Grad}}{s} angegeben werden.

Die Radialbeschleunigung ist die Geschwindigkeitsänderung, die notwendig ist, um einen Körper auf einer Kreisbahn zu halten. Die Radialbeschleunigung zeigt somit immer zum Zentrum der Kreisbewegung. Ihren Ursprung hat die Radialbeschleunigung in der Zentripetalkraft.

Die Bahngeschwindigkeit oder auch Tangentialgeschwindigkeit lässt sich durch v_\text{Bahn} = v_\text{tang} = \omega \cdot r berechnen.

Da es sich bei der Bahngeschwindigkeit um eine zurückgelegte Strecke pro Zeit handelt, wird die Bahngeschwindigkeit in \frac{\text{m}}{\text{s}} angegeben.

Ja, bei der Winkelgeschwindigkeit handelt es sich um einen Vektor, der entlang der Drehachse zeigt. Seine Richtung ist die des rechten abgespreizten Daumens, wenn die gekrümmten Finger in Drehrichtung zeigen.

Legt man zum Beispiel eine positive Drehrichtung fest, kann die Winkelgeschwindigkeit auch negativ sein.

Nein, sobald eine Winkelbeschleunigung wirkt, ändert sich die Winkelgeschwindigkeit.

Die Winkelgeschwindigkeit kann gemessen werden, indem man sich anschaut, wie weit sich ein Körper bei einer Rotation in einer bestimmten Zeit dreht.

Da bei der Winkelgeschwindigkeit nur die Winkeländerung betrachtet wird, spielt der Radius keine Rolle.

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