Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung
Erfahre, wie die Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung uns Kreisbewegungen erklären. Winkelgeschwindigkeit zeigt, wie schnell sich ein Winkel ändert, während Winkelbeschleunigung angibt, wie sich die Winkelgeschwindigkeit verändert.
Inhaltsverzeichnis zum Thema Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung
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Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung – Motivation und Formeln
Wofür brauchen wir eigentlich die Winkelgeschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung? Die Winkelgeschwindigkeit und auch die Winkelbeschleunigung sind Größen, die uns dabei helfen, Kreisbewegungen zu beschreiben, da die Beschreibung von Kreisbewegungen in kartesischen Koordinaten sehr umständlich ist. Zudem ermöglichen sie es einem, die bereits bekannten Formeln für die geradlinigen Bewegungen zu nutzen, nur eben mit anderen Namen für die Variablen.
So werden aus den Formeln für die Position und die Geschwindigkeit bei einer geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung
die Gleichungen für den Winkel und die Winkelgeschwindigkeit in einer gleichmäßig beschleunigten Kreisbewegung.
Anmerkung: Die hier genannten Formel gelten nicht nur für den Winkel in den Polarkoordinaten, sondern auch für die Zylinderkoordinaten und die Kugelkoordinaten. Bei den Kugelkoordinaten muss lediglich die Ebene der Drehung beachtet werden, da diese für beide Winkel unterschiedlich ist.
Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung – Beispiel
Ein einfaches und anschauliches Beispiel zur Winkelgeschwindigkeit und zur Winkelbeschleunigung bietet ein Kettenkarussell. Zu Beginn befinden sich alle Personen in Ruhe. Nun wird das Karussell mit einem Radius von
lang mit einer Winkelbeschleunigung von
beschleunigt. Wir wollen nun wissen, wie weit sich das Karussell in dieser Zeit gedreht hat und wie hoch die Winkelgeschwindigkeit nach dem Beschleunigungsvorgang ist. Des Weiteren soll auch die nach Ende der Beschleunigungsphase für eine Umdrehung benötigte Zeit sowie die Tangentialgeschwindigkeit der Passagiere berechnet werden.
Beginnen wir mit der Winkelgeschwindigkeit. Da es sich bei diesem Beispiel um eine gleichmäßig beschleunigte Rotation handelt, können wir Gleichungen aus dem vorherigen Abschnitt verwenden. Zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit nutzen wir also die Formel:
Da wir ohne eine Winkelgeschwindigkeit starten, folgt, dass ist.
Setzen wir nun ein, erhalten wir die folgende Rechnung:
Unser Karussell dreht sich nach Ende der Beschleunigungsphase in einer Sekunde also eine halbe Umdrehung weiter. Die Berechnung der Zeit für eine Umdrehung lässt sich hier schnell im Kopf berechnen. Wenn eine Sekunde für eine halbe Umdrehung benötigt wird, dauert eine ganze Umdrehung offensichtlich zwei Sekunden. Daher können wir an diesem Beispiel gleich prüfen, ob unsere Ergebnisse, die wir aus der Formel erhalten, überhaupt stimmen können. Die Periodendauer T einer Drehung lässt sich folgendermaßen bestimmen:
Falls die Winkelgeschwindigkeit in Grad angegeben ist, gilt:
Wir nehmen nun die oben berechnete Winkelgeschwindigkeit, die in Radiant gegeben ist, und erhalten:
Dies entspricht unserer Erwartung.
Unter der Kenntnis der Periodendauer (auch Umlaufzeit genannt) lässt sich auch die Frequenz der Drehung sehr leicht mit der folgenden Formel berechnen:
Nun wissen wir bereits, wie man die Winkelgeschwindigkeit, die Periodendauer und die Frequenz für eine Rotationsbewegung ausrechnen kann. Manchmal ist es aber auch notwendig, zu berechnen, wie weit sich ein Körper während der Beschleunigungsphase gedreht hat. Wir wollen nun also den Winkel berechnen. Da es sich hier immer noch um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt, können wir auch hier die Formel aus dem vorherigen Abschnitt verwenden.
Da wir aus der Ruhe starten und für uns der Anfangswinkel nicht wichtig ist, können wir und
gleich null setzen. Unsere Gleichung vereinfacht sich somit also zu:
Für unser Beispiel ergibt sich durch Einsetzen demnach folgendes Ergebnis:
Dies entspricht 2,5 Umdrehungen!
Für ungleichmäßig beschleunigte Drehungen müsste dieses Problem dann durch Integration gelöst werden. Die Integration soll in diesem Text jedoch nicht behandelt werden.
Nun bleibt nur noch die Frage, wie schnell sich unsere Passagiere am Ende auf dem Karussell bewegen. Hierfür ist es nützlich, die Tangentialgeschwindigkeit auszurechnen. Dies wäre nämlich auch die Geschwindigkeit, mit der sich ein Passagier geradeaus weiter bewegen würde, wenn er vom Karussell abspringen würde.
Die Tangentialgeschwindigkeit oder auch Bahngeschwindigkeit lässt sich mit der folgenden Formel ganz einfach berechnen.
Unsere Winkelgeschwindigkeit haben wir bereits berechnet. Damit in der Formel jedoch mit den Einheiten alles passt, ist es notwendig, hier die Winkelgeschwindigkeit in Radiant einzusetzen.
Wir erhalten für unser Beispiel durch Einsetzen:
Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung
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