Relativistische Massenzunahme – Motivation, Herleitung und Formel

einfach erklärt: Je näher ein Körper sich der Lichtgeschwindigkeit annähert, desto größer wird seine Masse. Erfahre, wie die Formel die Masse für verschiedene Geschwindigkeiten berechnet. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Relativistische Massenzunahme

Relativistische Massenzunahme im Überblick

  • Je näher ein Körper sich der Lichtgeschwindigkeit annähert, desto größer wird seine Masse.

  • Die relativistische Masse für eine bestimmte Geschwindigkeit lässt sich mit m(v) = \gamma \cdot m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} berechnen.

  • Für v = c wäre die Masse unendlich groß.
  • Aufgrund dessen können Körper mit einer Masse sich nicht mit Lichtgeschwindigkeit bewegen.
Relativistische Massenzunahme: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Relativistische Massenzunahme einfach erklärt – anhand eines Beispiels

Hinweis: In diesem Text geht es darum, dir die relativistische Massenzunahme möglichst einfach zu erklären. Du solltest dich deshalb vorher bereits mit den Konzepten der Raum- und Zeitdilatation beschäftigt haben.

In unserem Beispiel wollen wir eine Rakete für einen Crashtest auf geradem Weg in den Mond schießen. Hierfür starten wir unsere Rakete von der Erde mit einer Geschwindigkeit v =0,01\,\text {c} = 3 \cdot 10^6\, \frac{\text{m}}{\text{s}}. Der Mond ist im Mittel 384\,000\,\text{km} von der Erde entfernt, also etwa 1,3\,\text{Ls} (Lichtsekunden). Die Rakete benötigt für die Strecke zum Mond also eine Zeit t =130\,\text{s}. Nach den 130 \,\text{s} schlägt die Rakete auf dem Mond ein und hinterlässt einen kleinen Krater. Die Größe des Kraters hängt mit dem Impuls der Rakete zusammen. Wenn wir annehmen, dass unsere Rakete eine Masse von rund 100\,000\, \text{kg} hatte, dann lässt sich der Impuls über p = m \cdot v zu 3 \cdot 10^{11} \,\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}} berechnen.

Unser Experiment wird gleichzeitig aber auch aus einem Raumschiff beobachtet, das exakt senkrecht zur Flugrichtung unserer Rakete an der Erde mit einer Geschwindigkeit v von rund 0,5\,\text{c} vorbeifliegt. Da das Raumschiff exakt senkrecht zu unserer Rakete fliegt, bleibt die Flugstrecke der Rakete unverändert. Es tritt keine Längenkontraktion auf, da diese nur auf Strecken parallel zur Flugrichtung wirkt. Also legt unsere Rakete auch aus der Sicht des Raumschiffs eine Strecke von 3,884 \cdot 10^8\,\text{m} zurück. Doch aufgrund der hohen Geschwindigkeit des Raumschiffs tritt eine Zeitdilatation auf:

t' = \gamma \cdot t = \frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Diese führt dazu, dass die Flugdauer unserer Rakete für das Raumschiff länger erscheint. Für die Geschwindigkeit des Raumschiffs von v =0,5\,\text{c} ergibt sich eine Zeit t' von 150,1\text{s}.

Nun fällt dir möglicherweise schon etwas auf. Da aus der Sicht des Raumschiffs die Rakete dieselbe Strecke in einer längeren Zeit zurückgelegt hat, schien es der Raumschiffbesatzung so, als ob sich die Rakete mit einer geringeren Geschwindigkeit v' dem Mond nähert. Dies würde aber heißen, dass auch der Impuls p' = m' \cdot v' kleiner ist. Aber auch das Raumschiff sieht den Krater so wie wir auf der Erde. Das heißt also, dass der Impuls gleich geblieben sein muss (p = p'), was bei einer kleineren Geschwindigkeit nur durch eine höhere Masse zu erreichen ist. Die Masse der Rakete muss also aus der Sicht des Raumschiffs tatsächlich zugenommen haben. Dies ist die relativistische Massenzunahme.

Relativistische Massenzunahme – Herleitung und Formel

Da wir in der Motivation bereits gesehen haben, dass sich der Impuls unabhängig von der Geschwindigkeit des Betrachters nicht ändert, ist es ein guter Start, ausgehend von dieser Annahme mit der Herleitung zu beginnen.

Wir wissen also, dass p = p' sein muss. Setzen wir nun die Definition für beide relativistischen Impulse ein, erhalten wir folgende Gleichung:

m \cdot v = m' \cdot v'

Wir wissen zudem, dass für die Geschwindigkeit v gilt v = \frac{s}{t}. Analog gilt für die Geschwindigkeit v' = \frac{s'}{t'}. Einsetzen liefert uns nun folgende Gleichung:

m \cdot \frac{s}{t} = m' \cdot \frac{s'}{t'}

In unserem Beispiel haben wir gesehen, dass sich bei uns die Strecke zwischen Erde und Mond aus der Perspektive des Raumschiffs nicht verändert hat. Es gilt also für dieses Beispiel s = s'. Somit können wir auf beiden Seiten der Gleichung durch s teilen und erhalten:

\frac{m}{t} = \frac{m'}{t'}

Diese Gleichung lässt sich einfach nach m' umstellen.

m' = m\cdot \frac{t'}{t}

Nun müssen wir uns die Formel für die Zeitdilatation hernehmen. Diese lautet:
t' = \frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Setzen wir diese nun in unsere Gleichung ein, sehen wir, dass die Zeit t herausgekürzt werden kann. Wir erhalten auf diesem Weg also:

m' = m \frac{t}{t \cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Dabei ist die verwendete Masse m die Ruhemasse m_0 des Körpers, also die Masse, die in seinem eigenen Ruhesystem bestimmt wird. Unsere Formel für die relative Massenzunahme lautet also nun wie folgt:

m' = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

In der speziellen Relativitätstheorie wird der Faktor \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} in vielen Formeln häufig auch einfach als \gamma und als Lorentzfaktor bezeichnet. 

In der folgenden Grafik ist hier auch noch einmal die relativistische Massenzunahme in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit dargestellt.

Geschwindigkeit in c Masse/Ruhemasse
0 1
0,1 1,005
0,2 1,021
0,3 1,048
0,4 1,091
0,5 1,155
0,6 1,250
0,7 1,400
0,8 1,667
0,9 2,294
0,99 7,089
0,999 22,366

Häufig gestellte Fragen zum Thema Relativistische Massenzunahme

Die Ruhemasse eines Körpers beschreibt die Masse, die ein Körper in seinem eigenen Ruhesystem hat. Die Ruhemasse ist aber auch die Masse, die wir alle aus dem Alltag kennen, da die Geschwindigkeiten, mit denen wir uns bewegen, sehr weit von der Lichtgeschwindigkeit entfernt sind. Dadurch spielt die relativistische Massenzunahme keine merkliche Rolle.

Die relativistische Masse ist die Masse, die ein Körper aus der Sicht eines Betrachters hat, der sich mit einer Geschwindigkeit relativ zu diesem Betrachter bewegt. Hierbei ist es egal, ob man den Körper oder den Betrachter als bewegt ansieht. Relevant wird der Effekt jedoch erst bei Relativgeschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit.

Die relativistische Massenzunahme ist ein Effekt, der die Trägheit eines Körpers erhöht und dafür sorgt, dass man eine immer stärkere Kraft und somit immer mehr Energie benötigt, um den betrachteten Körper weiter zu beschleunigen.

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