Relativistische Massenzunahme – Motivation, Herleitung und Formel

Hinweis: In diesem Text geht es darum, dir die relativistische Massenzunahme möglichst einfach zu erklären. Du solltest dich deshalb vorher bereits mit den Konzepten der Raum- und Zeitdilatation beschäftigt haben.

In unserem Beispiel wollen wir eine Rakete für einen Crashtest auf geradem Weg in den Mond schießen. Hierfür starten wir unsere Rakete von der Erde mit einer Geschwindigkeit . Der Mond ist im Mittel von der Erde entfernt, also etwa (Lichtsekunden). Die Rakete benötigt für die Strecke zum Mond also eine Zeit . Nach den schlägt die Rakete auf dem Mond ein und hinterlässt einen kleinen Krater. Die Größe des Kraters hängt mit dem Impuls der Rakete zusammen. Wenn wir annehmen, dass unsere Rakete eine Masse von rund hatte, dann lässt sich der Impuls über zu berechnen.

Unser Experiment wird gleichzeitig aber auch aus einem Raumschiff beobachtet, das exakt senkrecht zur Flugrichtung unserer Rakete an der Erde mit einer Geschwindigkeit von rund vorbeifliegt. Da das Raumschiff exakt senkrecht zu unserer Rakete fliegt, bleibt die Flugstrecke der Rakete unverändert. Es tritt keine Längenkontraktion auf, da diese nur auf Strecken parallel zur Flugrichtung wirkt. Also legt unsere Rakete auch aus der Sicht des Raumschiffs eine Strecke von zurück. Doch aufgrund der hohen Geschwindigkeit des Raumschiffs tritt eine Zeitdilatation auf:

Diese führt dazu, dass die Flugdauer unserer Rakete für das Raumschiff länger erscheint. Für die Geschwindigkeit des Raumschiffs von ergibt sich eine Zeit von .

Nun fällt dir möglicherweise schon etwas auf. Da aus der Sicht des Raumschiffs die Rakete dieselbe Strecke in einer längeren Zeit zurückgelegt hat, schien es der Raumschiffbesatzung so, als ob sich die Rakete mit einer geringeren Geschwindigkeit dem Mond nähert. Dies würde aber heißen, dass auch der Impuls kleiner ist. Aber auch das Raumschiff sieht den Krater so wie wir auf der Erde. Das heißt also, dass der Impuls gleich geblieben sein muss (), was bei einer kleineren Geschwindigkeit nur durch eine höhere Masse zu erreichen ist. Die Masse der Rakete muss also aus der Sicht des Raumschiffs tatsächlich zugenommen haben. Dies ist die relativistische Massenzunahme.

Da wir in der Motivation bereits gesehen haben, dass sich der Impuls unabhängig von der Geschwindigkeit des Betrachters nicht ändert, ist es ein guter Start, ausgehend von dieser Annahme mit der Herleitung zu beginnen.

Wir wissen also, dass sein muss. Setzen wir nun die Definition für beide relativistischen Impulse ein, erhalten wir folgende Gleichung:

Wir wissen zudem, dass für die Geschwindigkeit gilt . Analog gilt für die Geschwindigkeit . Einsetzen liefert uns nun folgende Gleichung:

In unserem Beispiel haben wir gesehen, dass sich bei uns die Strecke zwischen Erde und Mond aus der Perspektive des Raumschiffs nicht verändert hat. Es gilt also für dieses Beispiel . Somit können wir auf beiden Seiten der Gleichung durch teilen und erhalten:

Diese Gleichung lässt sich einfach nach umstellen.

Nun müssen wir uns die Formel für die Zeitdilatation hernehmen. Diese lautet:

Setzen wir diese nun in unsere Gleichung ein, sehen wir, dass die Zeit herausgekürzt werden kann. Wir erhalten auf diesem Weg also:

Dabei ist die verwendete Masse die Ruhemasse des Körpers, also die Masse, die in seinem eigenen Ruhesystem bestimmt wird. Unsere Formel für die relative Massenzunahme lautet also nun wie folgt:

In der speziellen Relativitätstheorie wird der Faktor in vielen Formeln häufig auch einfach als und als Lorentzfaktor bezeichnet. 

In der folgenden Grafik ist hier auch noch einmal die relativistische Massenzunahme in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit dargestellt.