Trägheitsmoment – Erklärung, Formel und Beispiel

Das Trägheitsmoment misst die Trägheit eines starren Körpers bei der Änderung seiner Winkelgeschwindigkeit. Erfahre, wie es definiert wird und warum es für Rotationen wichtig ist. Erfahre mehr über Formeln und Beispiele im Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Trägheitsmoment

Trägheitsmoment im Überblick

  • Das Trägheitsmoment gibt die Trägheit eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Winkelgeschwindigkeit an.
  • Das Trägheitsmoment hängt von der Masse des starren Körpers und der Massenverteilung ab.

  • Das Trägheitsmoment hat für die Änderung der Winkelgeschwindigkeit die gleiche Bedeutung wie die Masse bei der „normalen“ Geschwindigkeitsänderung.

  • Das Trägheitsmoment hat die Einheit \text{kg} \cdot \text{m}^2.

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Quelle sofatutor.com

Trägheitsmoment – Definition und Erklärung

Das Trägheitsmoment (auch Massenträgheitsmoment genannt) ist eine Größe, die angibt, welches Drehmoment M benötigt wird, um bei der Rotation eines starren Körpers eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit hervorzurufen. Das Trägheitsmoment ist somit vergleichbar mit der Masse eines Körpers, da die Masse angibt, wie viel Kraft benötigt wird, um einen Körper geradlinig zu beschleunigen.

Trägheitsmoment – Formel

Das Trägheitsmoment ist im Allgemeinen leider nur schwer zu berechnen. Die allgemeine Formel für das Trägheitsmoment lautet nämlich:

J= \int_\text{V} \vec{r_\perp}^2 \cdot \rho(\ve{r}) dV

In dieser Formel bezeichnet \vec{r_\perp} den senkrechten Abstand zu einem Punkt und \rho(\ve{r}) die Massenverteilung an diesem Punkt. Das Integral wird hierbei über das gesamte Volumen des betrachteten Körpers ausgeführt.

Glücklicherweise gibt es für einige Spezialfälle jedoch vergleichsweise einfache Formeln. Diese wollen wir uns im Abschnitt Trägheitsmoment – Beispiele genauer anschauen.

Wie wir in der allgemeinen Formel sehen, hängt das Trägheitsmoment von der Masse ab. Dies ist sinnvoll, denn je schwerer ein Körper ist, desto schwerer lässt er sich bewegen und das gilt auch für Rotationen. Doch warum der Faktor r^2? Wie wir bereits kennengelernt haben, gibt das Trägheitsmoment an, wie träge sich ein starrer Körper gegenüber einer Winkelgeschwindigkeitsänderung verhält. Ist der Massenpunkt sehr weit entfernt von der Drehachse, ist bei gleicher Bahngeschwindigkeit des Massenpunkts die Rotationsgeschwindigkeit geringer. Für eine gleiche Bahngeschwindigkeit müsste der Körper, der weiter von der Drehachse entfernt ist, also sehr viel stärker beschleunigt werden. Demzufolge wird eine größere Kraft benötigt.

Analog zu F = m \cdot a gilt für die Winkelgeschwindigkeit die Formel M = J \cdot \alpha.

Dabei bezeichnet M das Drehmoment, I das Trägheitsmoment und \alpha die Winkelbeschleunigung.

Trägheitsmoment – Beispiele

Für das Trägheitsmoment gibt es viele Formeln, da die Geometrie und die Massenverteilung je nach Körper variieren kann. Aufgrund dessen sind im Folgenden häufig verwendete Formeln zur Berechnung des Trägheitsmoments einiger Körper aufgelistet.

Für die aufgelisteten Körper wird jeweils eine homogene Massenverteilung innerhalb des Körpers angenommen.

Punktmasse

  • Rotation einer Punktmasse im Abstand \text{r} um eine Drehachse
    • J = m \cdot r^2

Zylinder

  • Rotation eines Vollzylinders um die Symmetrieachse:
    • J = \frac{1}{2}\cdot m \cdot r^2
  • Rotation eines Zylindermantels um die Symmetrieachse:
    • J = m \cdot r^2
  • Rotation eines Hohlzylinders um die Symmetrieachse:
    • J = m \cdot \frac{r_\text{außen}^2 + r_\text{innen}^2}{2}
  • Rotation eines Vollzylinders um eine Querachse:
    • J = \frac{1}{2} m \cdot r^2 + \frac{1}{12} m \cdot l^2

Dünner Stab

  • Rotation um Querachse
    • J = \frac{1}{12} m \cdot l^2

Kugel

  • Rotation einer Vollkugel um eine Achse durch den Mittelpunkt
    • J = \frac{2}{5} m \cdot r^2
  • Rotation einer Hohlkugel um eine Achse durch den Mittelpunkt
    • J = \frac{2}{5} m \frac{r_\text{außen}^5 - r_\text{innen}^5}{r_\text{außen}^3 - r_\text{innen}^3}
  • Rotation einer Kugelschale um eine Achse durch den Mittelpunkt
    • J = \frac{2}{3} m \cdot r^2

Quader

  • Rotation um eine Achse durch den Mittelpunkt, die parallel zur Kante c liegt
    • J = \frac{1}{12} m \cdot (a^2 +b^2)

Steinerscher Satz

Der steinersche Satz ermöglicht es, das Trägheitsmoment J_2 eines Körpers nach einer Parallelverschiebung der Drehachse unter der Kenntnis der Verschiebung d und des ursprünglichen Trägheitsmoments J_1 zu berechnen.

J_2 = J_1 + m \cdot d^2

Häufig gestellte Fragen zum Thema Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment ist der Proportionalitätsfaktor zwischen dem Drehmoment und der Winkelbeschleunigung und ist somit vergleichbar mit der Masse, die die Kraft und die Beschleunigung miteinander verbindet.

Das Trägheitsmoment gibt an, wie schwer sich die Winkelgeschwindigkeit eines Körpers bei einer Rotation um eine Drehachse ändern lässt.

Das Trägheitsmoment ist der Proportionalitätsfaktor, der das Drehmoment mit der Winkelbeschleunigung verbindet.

Das Trägheitsmoment ist am kleinsten, wenn sich die gesamte Masse auf der Drehachse befindet oder die Masse gleich null ist.

Der Satz von Steiner ermöglicht die Berechnung des Drehmoments eines Körpers für Drehachsen, die parallel zur Symmetrieachse des Körpers verschoben sind, falls man das Trägheitsmoment für die Rotation um die Symmetrieachse und die Verschiebung kennt.

Die Schwerachse bezeichnet eine Drehachse, die durch den Schwerpunkt eines Körpers verläuft, und wird häufig im Zusammenhang mit dem Satz von Steiner verwendet.

Nein, das Trägheitsmoment kann ähnlich wie die Masse nicht negativ sein.

Das Trägheitsmoment lässt sich mit der allgemeinen Formel J = \int_\text{V} \vec{r_\perp}^2 \cdot \rho(\ve{r}) dV berechnen. Für viele Anwendungen gibt es jedoch vereinfachte Formeln.

Da bei einem Hohlzylinder die Masse im Schnitt weiter von der Rotationsachse entfernt ist, hat der Hohlzylinder ein größeres Trägheitsmoment. Dies führt dazu, dass die Winkelbeschleunigung für den Hohlzylinder verglichen mit einem Vollzylinder kleiner ist.

Ja, Trägheitsmomente können addiert werden. Hierbei muss nur darauf geachtet werden, dass für beide Trägheitsmomente die gleiche Rotationsachse verwendet wird.

Das Trägheitsmoment hat die Einheit \text{kg} \cdot \text{m}^2.

Unter der Massenträgheit versteht man den Widerstand, den ein Körper gegen eine Änderung der Drehbewegung aufbringt.

Die Trägheit bezeichnet den Widerstand eines Körpers gegen die Änderung seiner Bewegungsgeschwindigkeit.

Mit dem Trägheitsmoment kann aus dem Drehmoment die Winkelbeschleunigung berechnet werden und umgekehrt.

Das Trägheitsmoment wirkt entgegen der Winkelbeschleunigung.

Das Massenträgheitsmoment gibt an, wie schwer sich die Rotationsgeschwindigkeit eines Körpers ändern lässt.

Das Massenträgheitsmoment kann bestimmt werden, indem man auf einen Körper ein bestimmtes Drehmoment wirken lässt und dabei die Winkelbeschleunigung des Körpers misst.

Unter dem Massenträgheitsmoment versteht man den Widerstand eines Körpers gegen die Änderung seiner Rotationsgeschwindigkeit.

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