Trägheitsmoment – Erklärung, Formel und Beispiel
Das Trägheitsmoment misst die Trägheit eines starren Körpers bei der Änderung seiner Winkelgeschwindigkeit. Erfahre, wie es definiert wird und warum es für Rotationen wichtig ist. Erfahre mehr über Formeln und Beispiele im Text!
Inhaltsverzeichnis zum Thema Trägheitsmoment
Das Quiz zum Thema: Trägheitsmoment
Was gibt das Trägheitsmoment an?
Frage 1 von 5
Wie wird das Trägheitsmoment definiert und erklärt?
Frage 2 von 5
Welche Einheit hat das Trägheitsmoment?
Frage 3 von 5
Kann das Trägheitsmoment negativ sein?
Frage 4 von 5
Was ermöglicht der steinersche Satz?
Frage 5 von 5
Wie willst du heute lernen?
Trägheitsmoment – Definition und Erklärung
Das Trägheitsmoment (auch Massenträgheitsmoment genannt) ist eine Größe, die angibt, welches Drehmoment benötigt wird, um bei der Rotation eines starren Körpers eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit hervorzurufen. Das Trägheitsmoment ist somit vergleichbar mit der Masse eines Körpers, da die Masse angibt, wie viel Kraft benötigt wird, um einen Körper geradlinig zu beschleunigen.
Trägheitsmoment – Formel
Das Trägheitsmoment ist im Allgemeinen leider nur schwer zu berechnen. Die allgemeine Formel für das Trägheitsmoment lautet nämlich:
In dieser Formel bezeichnet den senkrechten Abstand zu einem Punkt und
die Massenverteilung an diesem Punkt. Das Integral wird hierbei über das gesamte Volumen des betrachteten Körpers ausgeführt.
Glücklicherweise gibt es für einige Spezialfälle jedoch vergleichsweise einfache Formeln. Diese wollen wir uns im Abschnitt Trägheitsmoment – Beispiele genauer anschauen.
Wie wir in der allgemeinen Formel sehen, hängt das Trägheitsmoment von der Masse ab. Dies ist sinnvoll, denn je schwerer ein Körper ist, desto schwerer lässt er sich bewegen und das gilt auch für Rotationen. Doch warum der Faktor ? Wie wir bereits kennengelernt haben, gibt das Trägheitsmoment an, wie träge sich ein starrer Körper gegenüber einer Winkelgeschwindigkeitsänderung verhält. Ist der Massenpunkt sehr weit entfernt von der Drehachse, ist bei gleicher Bahngeschwindigkeit des Massenpunkts die Rotationsgeschwindigkeit geringer. Für eine gleiche Bahngeschwindigkeit müsste der Körper, der weiter von der Drehachse entfernt ist, also sehr viel stärker beschleunigt werden. Demzufolge wird eine größere Kraft benötigt.
Analog zu gilt für die Winkelgeschwindigkeit die Formel
.
Dabei bezeichnet das Drehmoment,
das Trägheitsmoment und
die Winkelbeschleunigung.
Trägheitsmoment – Beispiele
Für das Trägheitsmoment gibt es viele Formeln, da die Geometrie und die Massenverteilung je nach Körper variieren kann. Aufgrund dessen sind im Folgenden häufig verwendete Formeln zur Berechnung des Trägheitsmoments einiger Körper aufgelistet.
Für die aufgelisteten Körper wird jeweils eine homogene Massenverteilung innerhalb des Körpers angenommen.
Punktmasse
- Rotation einer Punktmasse im Abstand
um eine Drehachse
Zylinder
- Rotation eines Vollzylinders um die Symmetrieachse:
- Rotation eines Zylindermantels um die Symmetrieachse:
- Rotation eines Hohlzylinders um die Symmetrieachse:
- Rotation eines Vollzylinders um eine Querachse:
Dünner Stab
- Rotation um Querachse
Kugel
- Rotation einer Vollkugel um eine Achse durch den Mittelpunkt
- Rotation einer Hohlkugel um eine Achse durch den Mittelpunkt
- Rotation einer Kugelschale um eine Achse durch den Mittelpunkt
Quader
- Rotation um eine Achse durch den Mittelpunkt, die parallel zur Kante c liegt
Steinerscher Satz
Der steinersche Satz ermöglicht es, das Trägheitsmoment eines Körpers nach einer Parallelverschiebung der Drehachse unter der Kenntnis der Verschiebung
und des ursprünglichen Trägheitsmoments
zu berechnen.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Trägheitsmoment
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