Mischtemperatur berechnen

Erfahre, wie die Mischtemperatur entsteht und wie man sie berechnet. Unterschiedliche Formeln für gleiche und verschieden Materialien werden erklärt. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Mischtemperatur berechnen

Das Thema Mischtemperatur berechnen im Überblick

  • Die Mischtemperatur ist die Temperatur, die sich einstellt, wenn zwei verschieden warme Körper in längeren Kontakt geraten.
  • Die Formel zur Berechnung der Mischtemperatur unterscheidet sich je nachdem, ob die Körper aus den gleichen oder zwei verschiedenen Materialien (Stoffen) bestehen.
  • Sind beide Körper aus dem gleichen Stoff, nutzen wir die Formel:
    \vartheta_\text{M} = \dfrac{m_1 \cdot \vartheta_1 + m_2 \cdot \vartheta_2}{m_1 + m_2}

  • Sind beide Körper aus verschiedenen Stoffen, nutzen wir die Formel:
    \vartheta_\text{M} = \dfrac{c_1 \cdot m_1 \cdot \vartheta_1 + c_2 \cdot m_2 \cdot \vartheta_2}{c_1 \cdot m_1 + c_2 \cdot m_2}

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Mischtemperatur – Definition

Kommen zwei Körper verschiedener Temperaturen miteinander in Kontakt, zum Beispiel dadurch, dass zwei Flüssigkeiten vermischt werden, findet ein Temperaturausgleich vom Warmen zum Kalten statt. Der Körper mit der wärmeren Temperatur gibt Wärmeenergie ab, die der Körper mit der kälteren Temperatur aufnimmt. Das geschieht so lange, bis beide die gleiche Temperatur haben. Diese Temperatur nennen wir Mischtemperatur \vartheta_\text{M}. Die ausgetauschte Wärmeenergie nennen wir auch die Wärme(menge) Q.
Die Regel zur Bestimmung der Mischtemperatur wird auch als richmannsche Mischungsregel bezeichnet. Sie ist nach dem Physiker Georg Wilhelm Richmann benannt.

Mischtemperatur berechnen – Formel bei gleichen und verschiedenen Materialien

Für die Berechnung der Mischtemperatur ist es wichtig zu beachten, ob gleiche oder verschiedene Materialien gemischt werden. Es werden verschiedene Formeln verwendet.

Mischtemperatur Formel – gleiche Materialien
Mischt man zwei gleiche Materialien, lässt sich die Mischtemperatur mit der folgenden Formel berechnen:

\vartheta_\text{M} = \dfrac{m_1 \cdot \vartheta_1 + m_2 \cdot \vartheta_2}{m_1 + m_2}

Dabei ist:

\vartheta_\text{M} die Mischtemperatur in ^\circ \text{C}
m_1 die Masse des ersten Körpers
m_2 die Masse des zweiten Körpers
\vartheta_1 die Temperatur des ersten Körpers in ^\circ \text{C}
\vartheta_2 die Temperatur des zweiten Körpers in ^\circ \text{C}

Mischtemperatur Formel – verschiedene Materialien
Mischt man zwei verschiedene Materialien, lässt sich die Mischtemperatur mit der folgenden Formel berechnen:

\vartheta_\text{M} = \dfrac{c_1 \cdot m_1 \cdot \vartheta_1 + c_2 \cdot m_2 \cdot \vartheta_2}{c_1 \cdot m_1 + c_2 \cdot m_2}

Dabei ist:

c_1 die spezifische Wärmekapazität des ersten Körpers
c_2 die spezifische Wärmekapazität des zweiten Körpers
\vartheta_M die Mischtemperatur in ^\circ \text{C}
m_1 die Masse des ersten Körpers
m_2 die Masse des zweiten Körpers
\vartheta_1 die Temperatur des ersten Körpers in ^\circ \text{C}
\vartheta_2 die Temperatur des zweiten Körpers in ^\circ \text{C}

Mischtemperatur – Herleitung

Die grundlegende Größe für den Prozess ist die Wärme(menge) Q. Diese ist gegeben durch die spezifische Wärmekapazität c des Stoffes, die Masse m des Körpers, der aus dem Stoff besteht, und die Temperaturänderung \Delta T des Körpers.

Q = c \cdot m \ cdot \Delta T

Bei der Mischung entspricht die abgegebene Wärmeenergie Q_\text{ab} des wärmeren Körpers der aufgenommenen Wärmeenergie Q_\text{auf} des kälteren Körpers (die Wärmeübertragung mit der Umgebung wird hierbei vernachlässigt).

Q_\text{ab} = Q_\text{auf}

Die Temperatur des wärmeren Körpers sinkt. Dabei lässt sich die Temperaturdifferenz berechnen mit:

\Delta T_1 = \vartheta_1 - \vartheta_\text{M}

Dabei ist \vartheta_1 die Ausgangstemperatur des wärmeren Körpers und \vartheta_\text{M} die am Ende erreichte Mischtemperatur. Das können wir in die Gleichung zur Berechnung von Q einsetzen und erhalten:

Q_\text{ab} = c_1 \cdot m_1 \cdot \left(\vartheta_1 - \vartheta_\text{M} \right)

Die spezifische Wärmekapazität des wärmeren Körpers (d. h. des Stoffes, aus dem er besteht) wird als c_1 bezeichnet, seine Masse als m_1.

Die aufgenommene Wärme des kälteren Körpers lässt sich analog berechnen.

Q_\text{auf} = c_2 \cdot m_2 \cdot \left(\vartheta_\text{M} - \vartheta_2 \right)

Hierbei ist \vartheta_2 die Anfangstemperatur des kälteren Körpers, c_2 seine Wärmekapazität, m_2 seine Masse. Da die Temperatur des kälteren Körpers kälter als die Mischtemperatur ist, wird \vartheta_2 von \vartheta_\text{M} abgezogen.
Da Q_{ab} = Q_{auf} gilt, können wir beide Gleichungen gleichsetzen und nach \vartheta_\text{M} auflösen:

c_1 \cdot m_1 \cdot \left(\vartheta_1 - \vartheta_\text{M} \right) = c_2 \cdot m_2 \cdot \left(\vartheta_\text{M} - \vartheta_2 \right)

c_1 \cdot m_1 \cdot \vartheta_1 - c_1 \cdot m_1 \cdot \vartheta_\text{M} = c_2 \cdot m_2 \cdot \vartheta_\text{M} - c_2 \cdot m_2 \cdot \vartheta_2

c_1 \cdot m_1 \cdot \vartheta_1 + c_2 \cdot m_2 \cdot \vartheta_2 = c_2 \cdot m_2 \cdot \vartheta_\text{M} + c_1 \cdot m_1 \cdot \vartheta_\text{M}

c_1 \cdot m_1 \cdot \vartheta_1 + c_2 \cdot m_2 \cdot \vartheta_2 = \vartheta_\text{M} \cdot \left(c_1 \cdot m_1+ c_2 \cdot m_2 \right)

\dfrac{c_1 \cdot m_1 \cdot \vartheta_1 + c_2 \cdot m_2 \cdot \vartheta_2}{c_1 \cdot m_1+ c_2 \cdot m_2} = \vartheta_\text{M}

\vartheta_\text{M} = \dfrac{c_1 \cdot m_1 \cdot \vartheta_1 + c_2 \cdot m_2 \cdot \vartheta_2}{c_1 \cdot m_1 + c_2 \cdot m_2}

Handelt es sich um den gleichen Stoff, dann gilt c_1=c_2 und beides kürzt sich raus. Wir erhalten die Formel:

\vartheta_\text{M} = \dfrac{m_1 \cdot \vartheta_1 + m_2 \cdot \vartheta_2}{m_1 + m_2}

Mischtemperatur berechnen – Beispiel

Aufgabe:
Wie hoch ist die Mischtemperatur, wenn man 2\,\text{kg} Luft mit einer Temperatur von 20\,^\circ \text{C} und 0,4\,\text{kg} Luft mit einer Temperatur von 60\,^\circ \text{C} mischt?

Gegeben:

m_1 = 2\,\text{kg}
m_2 = 0,4\,\text{kg}
\vartheta_1 = 20\,^\circ \text{C}
\vartheta_2 = 60\,^\circ \text{C}

Gesucht:

\vartheta_\text{M}

Berechnung:
Um die Mischtemperatur der Luft zu berechnen, nutzen wir die Formel:

\vartheta_\text{M} = \dfrac{m_1 \cdot \vartheta_1 + m_2 \cdot \vartheta_2}{m_1 + m_2} = \dfrac{2\,\text{kg} \cdot 20\,^\circ C + 0,4\,\text{kg} \cdot 60\,^\circ C}{2\,\text{kg} + 0,4\,\text{kg}} = 26,67\,^\circ C

Antwortsatz: Die Mischtemperatur beträgt 26,67\,^\circ \text{C}.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Mischtemperatur berechnen

Die Mischtemperatur ist die Temperatur, die sich einstellt, wenn zwei verschieden warme Körper länger in Kontakt sind, also zum Beispiel zwei Flüssigkeiten gemischt werden.

Sind beide Stoffe aus dem gleichen Material, lässt sich die Mischtemperatur mit der Formel \vartheta_\text{M} = \dfrac{m_1 \cdot \vartheta_1 + m_2 \cdot \vartheta_2}{m_1 + m_2} berechnen. Sind die Stoffe verschieden, nutzen wir die Formel \vartheta_\text{M} = \dfrac{c_1 \cdot m_1 \cdot \vartheta_1 + c_2 \cdot m_2 \cdot \vartheta_2}{c_1 \cdot m_1 + c_2 \cdot m_2} zur Berechnung.

Wie von den anderen Stoffen wird auch für die Berechnung der Mischtemperatur von Wasser die Formel  \vartheta_\text{M} = \dfrac{m_1 \cdot \vartheta_1 + m_2 \cdot \vartheta_2}{m_1 + m_2} genutzt.

Mischt man zwei Körper verschiedener Temperaturen, gibt der wärmere Körper Wärmeenergie ab, die der kältere Körper aufnimmt. Das geschieht, bis beide Körper die gleiche Temperatur besitzen. Dieser Vorgang wird Temperaturausgleich genannt.

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